by 
Έχουμε ένα σφαιρικό κάτοπτρο κέντρου Κ και δύο σημεία Β και Γ.
Πως θα σχεδιάσουμε την διαδρομή μιας φωτεινής ακτίνας που ξεκινά από το Β, ανακλάται στο κάτοπτρο και διέρχεται έπειτα από το Γ;
Αντιλαμβανόμαστε πως τα Κ, Β, Γ ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο θα εργασθούμε.
Προφανές είναι το ότι οι γωνίες φ και θ πρέπει να είναι ίσες.
Λύση μπορούμε να δώσουμε με χρήση κινηματικής γεωμετρίας.
Αν ζούσε ο Fermat θα είχε κάτι να μας πει γι΄ αυτή την ανάκλαση.
Καλά λες Νίκο.
Παρέλειψα να γράψω πως είναι η συντομότερη διαδρομή. Χρονικά αλλά (στην συγκεκριμένη περίπτωση) και χωρικά.
Δηλαδή το άθροισμα (ΒΔ)+(ΔΓ) έχει την ελάχιστη τιμή του ακριβώς εκεί.
Αντιγράφω από το «Σφαιρικά Κάτοπτρα – Επίπεδοι Φόνοι»:
«το συνθετότερο πρόβλημα των νόμων της ανάκλασης για σφαιρικά κάτοπτρα, δεν επιλύεται ευκλείδεια με κανόνα και διαβήτη. Ο Αλ Χαϊθάμ πρότεινε λύση με τη χρήση υπερβολής, που δεν είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη»
και έρχεσαι να εισηγηθείς ένα διπλό διαβήτη για να βγάλεις από το αδιέξοδο τον Κλαύδιο Πτολεμαίο, που εισηγήθηκε το πρόβλημα.
Δεν παίζεσαι!
ούτε και απ όσους σε ξέρουμε χρόνια και εκτός ylikonet
Γιώργο η Κινηματική Γεωμετρία είναι ανφαίαρ πλέυ.
Δες μια διάταξη τριχοτόμησης γωνίας:
Το γοητευτικό στα θέματα αυτά είναι οι αποδείξεις πως με κανόνα και διαβήτη τα προβλήματα αυτά θα παραμείνουν άλυτα.
Ελπίζω να μην με καθαρίσει κάποιος (όπως στα Πυθαγόρεια εγκλήματα) ως βαναύσως κακοποιούντα την όμορφη, καθαρή Γεωμετρία που απορρίπτει τις αρκουδιές, επιτρέπουσα μόνον κανόνα (όχι φραγέντα) και διαβήτη με σταθερά μήκη σκελών.
Διότι αρκουδιά είναι ότι έγραψα και πλάκα.
Παρεξήγησα το κείμενό σου. Νόμισα αρχικά ότι είπες πως απλό πρόβλημα είναι το σφαιρικό κάτοπτρο.
Ξαναδιαβάζοντας είδα πως το επίπεδο λύνεται με κανόνα και διαβήτη.
Θα ήθελα να ήξερα πως προκύπτει υπερβατικός αριθμός στο παρόν πρόβλημα και καθίσταται άλυτο.
Αυτό που παρέλειψες να γράψεις Γιάννη, και που θα το έλεγε ο Fermat, είναι ακριβώς το αντίθετο. Ότι είναι η μέγιστη διαδρομή.
Μέγιστη;
Το φως δεν ακολουθεί την συντομότερη (χρονικά) οδό;
Η πράσινη διαδρομή δεν είναι συντομότερη από την κόκκινη;
Από τον Ανδρέα:
Το λήμμα περιγράφει ιστορικά το πρόβλημα και αναφέρει ότι ανάγεται σε εξίσωση 4ου βαθμού.
Στα επίπεδα κάτοπτρα είναι ελάχιστη και στα κοίλα μέγιστη. Κάποτε το είχαμε συζητήσει. Το είχες κάνει και με ip.
Το συμπέρασμα ισχύει σίγουρα όταν τα Γ και Β είναι στη ιδια διάμετρο.
Καλημέρα Γιάννη.
Γιατί η κινηματική Γεωμετρία είναι ανφέρ;
Κινηματική είναι η γεωμετρία της καθαρής κίνησης, όπου με την έννοια κίνηση εννοούμε αυθαίρετη κίνηση χωρίς να γίνεται αναφορά σε δύναμη ή σε μάζα.
Πιο συγκεκριμένα, δηλώνει τη μεταβολή της θέσης των υλικών σωμάτων σε σχέση με τη ροή του χρόνου. «Ξέρεις Σιμπλίτσιο, ο filosofo geometra που θέλει να αναγνωρίσει στο συγκεκριμένο τα αποτελέσματα που έχει αποδείξει στο αφηρημένο, πρέπει να αφαιρέσει τα υλικά εμπόδια» (Galileo Galilei ,Διάλογος πάνω σε δύο νέα συστήματα, «Un filosofo geometra») ήταν η απάντηση του δασκάλου Γαλιλαίου (1564-1642) στην ερώτηση «τί ακριβώς είσαι;».
Ο Γαλιλαίος, μελετώντας τη φύση , χρησιμοποιεί μια πληθώρα γεωμετρικών αντικειμένων και μαζί με αυτά την ευκλείδεια γεωμετρία και τον μετρούμενο χρόνο ώστε να περιγράψει την κίνηση.
Στην πραγματικότητα, οικοδόμησε μια Επιστήμη για την περιγραφή της Κίνησης, βασιζόμενος στην πεποίθηση ότι το βιβλίο της κίνησης είναι γραμμένο στη γλώσσα των κύκλων και των ευθειών, μετατρέποντάς τα ως τα βασικά εργαλεία της νεογέννητης τότε κινηματικής. Μέσα από τις διερευνητικές του εργασίες παντρεύει την «πλατωνική γεωμετρία» με τον χρόνο, ολοκληρώνοντας την πριν κάνει την εμφάνιση της η αδράνεια της ύλης.
Στους αιώνες που ακολούθησαν σε όλα τα σχολεία του κόσμου, η διδασκαλία της κινηματικής γεωμετρίας ξεκινάει με την περιγραφή της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης και ολοκληρώνεται με εκείνη της κυκλικής.
Μερικές δεκαετίες αργότερα από τον Γαλιλαίο, ο Νεύτωνας (1643-1727), ισχυρίζεται πως οι αρχαίοι έκαναν διακρίσεις μεταξύ της Γεωμετρίας και της Μηχανικής ως ορθολογική και αφηρημένη την πρώτη σε αντίθεση με τις «χειρωνακτικές τέχνες», όπως χαρακτηρίζει τη Μηχανική. Μέσα από 245 σχήματα στα βιβλία του I και II παρατηρούμε ευθείες, κύκλους, κωνικές τομές, σφαίρες επίπεδα, γεγονός που αποδεικνύει πως η Γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου μαζί με την Αναλυτική Γεωμετρία βρίσκονται βαθειά εγκατεστημένες στο εσωτερικό της Φυσικής.
Η μεταβλητότητα όμως συνυπάρχει με την έννοια της κίνησης, και αυτή η βαθύτερη αντίληψη της συνεχούς μεταβολής πάντα απασχολούσε τόσο τους φιλοσόφους όσο και τους θετικούς επιστήμονες ανά τους αιώνες.
Από την εποχή των Ελεατών φιλοσόφων, υπήρξαν οι πρώτες αμφισβητήσεις της κινητικής αντίληψης του κόσμου . Ο Παρμενίδης (6ο αι.π.Χ.) και ο Ζήνωνας (5ο π.Χ) υποστήριζαν την ακινησία του κόσμου, τη σταθερότητα των νόμων και των αναλλοίωτων στοιχείων, τα οποία παραμένουν όπως έχουν πέρα από τη φαινομενική κινητικότητα σε αντίθεση με 10 άλλους φιλοσόφους όπως ο Ηράκλειτος (535-475π.Χ.) και οι Ίωνες φυσικοί φιλόσοφοι που υποστήριζαν την αέναη μεταβλητότητα του κόσμου.
Η κινηματική γεωμετρία γεννήθηκε στη αρχαία Ελλάδα με τη νεύση του Αρχιμήδη. Με τον όρο «νεύση» εννοούμε την τοποθέτηση ενός ευθύγραμμου τμήματος με δοσμένο μήκος ανάμεσα σε δύο καμπύλες έτσι ώστε το τμήμα να «νεύει», να «κλίνει» προς ένα δοσμένο σημείο, έτσι ώστε δύο τμήματα (το ένα ή και τα δύο από αυτά να ορίζονται από την ευθεία) να είναι ίσα.
Στο βιβλίο του Απολλώνιου «Νεύσεις», παρουσιάζονται όλα τα προβλήματα που λύνονται με νεύση, και επιδρούν σε αυτά με κατασκευές στο επίπεδο. Ο Νικομήδης αντικατέστησε τη νεύση στον διπλασιασμό του κύβου με την κογχοειδή καμπύλη. Η νεύση χρησιμοποιείται για την τριχοτόμηση των γωνιών , τον διπλασιασμό του κύβου και την χάραξη της εφαπτομένης σε μια σπείρα επιτρέποντας μ’ αυτόν τον τρόπο να εισέλθουν στα μαθηματικά κατασκευές στις οποίες εμπλέκονται κωνικές τομές, υποβιβάζοντας έτσι τη μέθοδο επίλυσης της νεύσης σε μια εναλλακτική μέθοδο. Η ενασχόληση των αρχαίων Ελλήνων με την κινηματική γεωμετρία, οφείλεται κυρίως στην αδυναμία επίλυσης των τριών μεγάλων προβλημάτων με χρήση του κανόνα και διαβήτη.
Η νομιμοποίηση των κατασκευών αυτών σχολιάστηκε ιδιαίτερα από τον Πάππο (300 μ.Χ.), καθώς δεν υπάρχουν επαρκείς αποδεικτικές μέθοδοι που να πιστοποιούν την εγκυρότητα της χρήση τους με αποτέλεσμα πολλές φορές οδηγούνταν σε προβληματικές καταστάσεις. Ο Πάππος στο βιβλίο του Συναγωγή έχει ταξινομήσει τα προβλήματα της μη επίπεδης γεωμετρίας σε 3 βασικές κατηγορίες .
Σε προβλήματα του επιπέδου, σε προβλήματα στερεών και σε γραμμικά προβλήματα. Η ταξινόμηση έγινε με το κριτήριο τη μέθοδο επίλυσης. Έτσι, τα προβλήματα του επιπέδου λύνονται με κύκλους και ευθείες γραμμές, τα προβλήματα στερεών με κωνικές τομές και τα γραμμικά με καμπύλες μεγαλύτερης τάξης.
Τα μή επίπεδα προβλήματα, δεν ανήκουν στις παραπάνω κατηγορίες. Γι’αυτά, υπάρχουν τρεις μέθοδοι επίλυσης: με τη χρήση νεύσης, με όργανα που επινοήθηκαν με σκοπό την επίλυση τους καθώς και με τη χρήση καμπυλών που διαγράφουν γραμμές από κίνηση ή συνδυασμό κινήσεων.
Στις μέρες μας, η κινηματική γεωμετρία χρησιμοποιείται κατά κύριο λόγο στον σχεδιασμό μηχανών. Παρόλο που οι κινηματικοί μηχανισμοί είναι κρυμμένοι μέσα σε πολύπλοκες κατασκευές, είναι πολύ χρήσιμοι ως μέρη πολλών τεχνολογιών όπως στη ρομποτική, στην αεροναυπηγική ,στους δορυφόρους ,σε ηλεκτρονικά ευρείας κατανάλωσης καθώς και σε βιομηχανικές μονάδες . Ιδρυτής της σύγχρονης κινηματικής θεωρείται ο Franz Rouleaux (1829-1905) ο οποίος την αποκάλεσε « τη μελέτη της κίνησης οποιουδήποτε σώματος…τη μελέτη των γεωμετρικών αναπαραστάσεων της κίνησης» («Kinematics of achinery»,1956).
πηγή
Νίκο δεν συζητάμε αυτό.
Ποια είναι η διατύπωση της αρχής Fermat;
Διαβάζω από τον Ανδρέα:
Ο επίσης Γάλλος Fermat ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής, έσκυψε στο παλιό ερώτημα για τα μονοπάτια του φωτός και απέδειξε τεκμηριωμένα ότι
το φως σε όλα τα ταξίδια του ακολουθεί τη πορεία την χρονικά πιο σύντομη .
Αρχή του ελάχιστου χρόνου ή Αρχή του Fermat .
Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui minimise le temps de parcours
Είναι ανφαίαρ διότι είναι αποτελεσματική μεν, ολίγον κλοπή δε.
Η Γεωμετρία είναι ένα παιγνίδι με κανόνες. Όπως στο σκάκι που ο βασιλιάς δεν πηδάει 5 τετράγωνα φερ' ειπείν.
Το παιγνίδια αυτό οξύνει το μυαλό όσων ασχολούνται με αυτό.
Όταν λύνεις ένα πρόβλημα με κινηματική Γεωμετρία έχεις εύκολη δουλειά.
Παλιότερα είχα δόσει μια άλλη τριχοτόμηση γωνίας.
Όπως βλέπεις είναι πολύ εύκολη διαδικασία. Με καρούλι και νήμα μπορώ να δώσω και άλλην.
Είχα στείλει και στο παλιό υλικονέτ και έναν τετραγωνισμό κύκλου.
Μηχανικά μπορείς να λύσεις ένα κάρο προβλήματα αλλά η χάρη της λύσης χάνεται.
Πάντως έχεις δίκιο στο θέμα του μήκους.
Διαβάζουμε στους Χαλιντέυ-Ρέσνικ:
Η αρχή του Φερμά, όπως την διατυπώνουμε σήμερα, λέει:
Μια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται από ένα σημείο σε άλλο θα ακολουθήσει τον δρόμε εκείνο για τον οποίο, σε σχέση με γειτονικούς δρόμους, ο απαιτούμενος χρόνος είναι είτε ελάχιστος, είτε μέγιστος, είτε χρονικά αμετάβλητος (δηλαδή είναι σταθερός).
Δεν γνωρίζω ποια διατύπωση είχε δώσει ο Fermat αλλά καλώς επενέβης.
Αρχή του Ήρωνα ή αρχή του ελαχίστου δρόμου:
«Ο δρόμος τον οποίο ακολουθεί μια φωτεινή ακτίνα κατά τη διέλευσή της μεταξύ δύο σημείων , είναι ο συντομότερος δυνατός» ή πιο απλά το φως ακολουθεί , κατά τη διάδοσή του τη διαδρομή ελαχίστου μήκους
Αρχή του Fermat ή αρχή ελάχιστου χρόνου:
«Κατά τη μετάβασή του από ένα σημείο σε ένα άλλο , το φως επιλέγει να ακολουθήσει το δρόμο εκείνο που καθιστά το χρόνο της διαδρομής ελάχιστο».
Γενίκευση της αρχής του Fermat:
Ακτίνα φωτός που ταξιδεύει από ένα σημείο σε ένα άλλο, ανεξαρτήτως του υλικού ή των υλικών που εμπεριέχονται, ακολουθεί τη διαδρομή για την οποία ο οπτικός δρόμος εμφανίζει ακρότατο.
Πηγή:14 – Τμήμα Φυσικής
Γιάννη είναι έυκολο να καταλάβεις γιατί ο δρόμος που κάνει η ακτίνα όταν ξεκινά από το σημείο Α, ανακλάται στο σημείο Β του κοίλου κατόπτρου και φτάνει στο Γ είναι ο μεγαλύτερος από όλους τους δρόμους που η ακτίνα πάει από το Α στο Γ μέσω κατόπτρου.
Πες ότι το Α και το Β είναι τα άκρα του τόξου ΑΒ. Έστω Μ το μέσο του τόξου. Η διαδρομή ΑΜΒ είναι μεγαλύτερη από κάθε διαδρομή ΑΓΒ. Αν το Γ είναι κοντά στο Α ή στο Β, αυτό είναι προφανές.
Αν τα Α και Β είναι σημεία διαμέτρου και το Μ το σημείο για το οποίο οι ΑΜ και ΒΜ σχηματίζουν αντίθετες γωνίες σε σχέση με την ακτίνα ΚΜ, με μαθηματικά Γ΄ λυκείου αποδεικνύεται ότι η διαδρομή ΑΜΒ είναι μέγιστη.