by 
Η ενεργός μάζα λάστιχου ή ελατηρίου “δουλεύει” μόνο σε ταλαντώσεις ή σε κάθε πρόβλημα που το πραγματικό λάστιχο εμπλέκεται;
Δεν γνωρίζω την απάντηση.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Η ενεργός μάζα λάστιχου ή ελατηρίου “δουλεύει” μόνο σε ταλαντώσεις ή σε κάθε πρόβλημα που το πραγματικό λάστιχο εμπλέκεται;
Δεν γνωρίζω την απάντηση.
Γεια σου Γιάννη. Πας να μας τρελάνεις ή μου φαίνεται;
Γράφεις:
Γιατί ασκείται ίδια δύναμη σε όλα τα τμήματα του λάστιχου;
Ο νόμος της ελαστικότητας μιλάει για ισορροπία και όχι για επιτάχυνση κάθε τμήματος…
Γεια σου Γιάννη,
καθώς τεντώνει το λάστιχο η γραμμική του πυκνότητα, νομίζω δεν παραμένει σταθερή δηλαδή ισχύει το dm=(m/L)dx;
Δεν παραμένει σταθερή όμως η ταχύτητα είναι ανάλογη του μήκους. Δηλαδή V(x) = x.υ/L
Κάθε στιγμή η γραμμική πυκνότητα έχει μία τιμή κοινή σε όλα τα τμήματα.
Πιστεύεις Διονύση ότι η επιμήκυνση ενός τμήματος δεν είναι ανάλογη του μήκους του;
Δηλαδή ότι η σχέση V(x) = x.υ/L που χρησιμοποιείται στην απόδειξη της ενεργού μάζας δεν ισχύει;
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει θέμα. Η κινητική ενέργεια δεν είναι (1/2)(1/3).m.υ.υ ;
Βλέπω όλες τις πηγές να καταλήγουν στην σχέση αυτήν.
Εξ' άλλου το θέμα είναι γεωμετρικόν μάλλον.
Αν ένα λάστιχο επιμηκυνθεί κατά 10% δεν επιμηκύνεται κατά 10% κάθε τμήμα του;
Ας μην δεχθούμε σταθερότητα δύναμης λόγω επιταχύνσεων.
Αν δηλαδή η άκρη έχει μετατοπισθεί κατά 10cm, το μέσον δεν έχει μετατοπισθεί κατά 5cm;
Αυτό μας αρκεί. Η όποια διαφορά στις δυνάμεις λόγω επιταχυνόμενης κίνησης θα προκαλέσει διαφορετική επιμήκυνση στο μέσον;
Θα μετακινηθεί δηλαδή κατά 4cm ή κατά 6cm ;
Γιάννη, καλησπέρα
Διατυπώνω μια σκέψη μου, χωρίς να είμαι απόλυτα σίγουρη:
Θεωρώ την ενεργό μάζα του λάστιχου συγκεντρωμένη στο cm, δηλαδή στο μέσον του.
Η δύναμη που δέχεται εκεί είναι F/2 και η επιτάχυνση α/2
Άρα έχω σε μάζα m/3 να φτάνει μια δύναμη F/2 από δεξιά και μια δύναμη F' από αριστερά.
Παίρνω Β' νόμο Νεύτωνα;
F/2 – F'= m/3 a/2 άρα kx/2 + ma/6 – F' = ma/6 άρα F'=kx/2
Επομένως για x=0 είναι F'=0
Εάν Κατερίνα η ενεργός μάζα τοποθετηθεί στη μέση θα έχει ταχύτητα υ/2.
Τότε η κινητική ενέργεια θα είναι (1/2)(1/3).m.(υ/2)^2 = (1/2)(1/3)(1/4).m.(υ)^2 και όχι (1/2)(1/3).m.(υ)^2.
Εκτός από την απόδειξη που παρέθεσα, όλες οι πηγές (βιβλία, paper, σημειώσεις κ.λ.π.) αναφέρουν ως ενέργεια ελατηρίου-λάστιχου την (1/2)(1/3).m.(υ)^2.
Επίσης η παραδοχή σου δεν δικαιολογεί την F-F΄ = m.αcm =m.α/2.
Θα μας έδινε ότι F-F΄ =m.α/3.
Το τελευταίο πως ισχύει;
Σε κάθε σύστημα σωμάτων η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων δεν είναι ίση με m.αcm ;
Θεώρησα την ενεργό μάζα στο κέντρο μάζας γιατί στο νόμο του Νεύτωνα πήραμε επιτάχυνση του κέντρου μάζας.
Αυτά προς το παρόν…
to be continued…
Γιάννη το dx/dt δεν είναι u, αλλά x/L.u ή κάνω λάθος;
Αυτό Νίκο οφείλεται σε (κακή) αλλαγή συμβολισμού. Στην απόδειξη χρησιμοποιήθηκε το x ως κάτι μικρότερο του L.
Όμως (κακώς εκ μέρους μου ίσως) στη συνέχεια ως x θεωρείται η επιμήκυνση. Επομένως dx/dt είναι η ταχύτητα υ του άκρου.
Η δυναμική ενέργεια είναι 1/2k.x.x και η κινητική 1/2mεν.υ^2 , όπου υ η ταχύτητα του άκρου.
Η σχέση αυτή αναγράφεται σε κάθε πηγή. Έχει και πειραματικά επιβεβαιωθεί (λ.χ. Βαγγέλης).
Βλέπουμε στην Βικιπέδεια:
Ναι αυτό με μπέρδεψε. Βέβαια όλες οι πηγές ( έχω δει και εγώ κάποιες) μιλούν για ταλάντωση όταν χρησιμοποιούν την meff
Ουδέν παράδοξο βλέπω ..αυτό που βλέπω είναι 2 λάθη που δεν ξέρω αν είναι σκόπιμα ή έχουν διαφύγει της προσοχής .
Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη, ας δούμε τι γράφει η Wikipedia:
Χρησιμοποιεί πράγματι ενεργό μάζα, την οποία θεωρεί όχι στο κέντρο μάζας του ελατηρίου, αλλά στο άκρο του. Στην αρχική Lagrangian νομίζω ότι είναι σαφές.
Αλλά πού προχωρά; Στην εξίσωση:
Αυτός είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Η δύναμη -kx είναι η δύναμη που δέχεται το σύστημα σώμα-ελατήριο από το ταβάνι, όχι η εσωτερική δύναμη από το ελατήριο στο σώμα Μ και η επιτάχυνση ΔΕΝ είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας, αλλά η επιτάχυνση του άκρου του ελατηρίου.
Με άλλα λόγια μιλάμε για ενεργό μάζα, την οποία θεωρούμε συγκεντρωμένη στο άκρο του λάστιχου-ελατηρίου, όχι στο κέντρο μάζας του.
Καλημέρα παιδιά.
Η απόδειξη για την κινητική ενέργεια μάλλον στέκει. Δεν ξέρω αν υπάρχει λάθος στο κομμάτι με την ισχύ.
Πάντως το ολοκλήρωμα-εμβαδόν δίνει την ολική ενέργεια.
Πρέπει φυσικά να υπάρχει κάποιο λάθος. Δεν το βρίσκω.
Πρέπει μάλλον η διαφορά των δύο δυνάμεων να είναι ίση με m.α/2.
Καλημέρα Γιάννη
Γράφαμε μαζί, οπότε διάβασε το παραπάνω σχόλιό μου