Η Αρχή Pascal, εξίσωση Συνέχειας, νόμος Bernoulli

Ο τίτλος αυτός, «Η Αρχή του Pascal, η εξίσωση Συνέχειας και ο Νόμος του Bernoulli» νομίζω είναι η συνηθισμένη φρασεολογία από τους περισσότερους. Έτσι όμως μεροληπτούμε υπέρ του Pascal, υποβαθμίζουμε το Νόμο της Συνέχειας σε εξίσωση και μόνο στον Bernoulli αποδίδουμε τον τίτλο που του αναλογεί.

Συχνά όταν ρωτάς τους μαθητές πώς θα υπολογίσουμε την επιτάχυνση, σου απαντούν:

-Θα πάρουμε τον τύπο της επιτάχυνσης
-Ποιος είναι αυτός ρε παιδιά;
– O τύπος ΣF=ma
-Αυτός παιδιά δεν είναι τύπος. Είναι Νόμος. Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής

Τα παιδιά δεν διακρίνουν τις διαφορές, ανάμεσα στις σχέσεις ορισμού των μεγεθών, a=Δυ/Δt, των Νόμων που διδάσκονται, ΣF=ma και των «τύπων» που χρησιμοποιούν σε προβλήματα, υ=υο+aΔt
Δεν έχουν συνειδητοποιήσει πως οι «τύποι» προκύπτουν από τους νόμους και τις σχέσεις ορισμού των μεγεθών.

Στη διδασκαλία των ρευστών, κάποιες φορές τα «μπερδεύουμε» και εμείς, αφού και για εμάς υπάρχει ακόμα κάτι…που θέλει βελτίωση

Εκτιμώ ότι τόσο στον Pascal, όσο και στη Συνέχεια και τον Bernoulli, πρέπει να αποδίδουμε τον τίτλο Νόμος. Ας τα δούμε ένα-ένα ξεχωριστά.

Ο Pascal διατύπωσε πως: «Κάθε μεταβολή της πίεσης ακίνητου ασυμπίεστου ρευστού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλη την έκτασή του»

Προφανώς αυτό δεν έχει τη βαρύτητα μιας Αρχής της Φυσικής. Αν και προηγήθηκε χρονικά, προκύπτει ως άμεση συνέπεια του 2ου Νόμου Νεύτωνα, στην ισορροπία του εμβόλου στο οποίο ασκείται η πρόσθετη δύναμη που προκαλεί την αύξηση της πίεσης στο υγρό, καθώς και της ασυμπιεστότητας του υγρού, του γεγονότος δηλαδή ότι το υγρό διατηρεί σταθερό τον όγκο του.

Και αν πάλι θεωρούμε σκόπιμο να συνεχίζουμε να λέμε «Αρχή του Pascal” για λόγους ιστορικής ακολουθίας, ας τους εξηγήσουμε πως αυτή η Αρχή δεν έχει την βαρύτητα ούτε της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας ούτε της Αρχής Διατήρησης της Ορμής

Η εξίσωση της Συνέχειας, συνιστά νόμο για τη ροή ενός ιδανικού ρευστού και προκύπτει από το γεγονός ό,τι σε φαινόμενα ροής ασυμπίεστων υγρών, η παροχή κατά μήκος μιας φλέβας έχει σταθερή τιμή.

Ο Νόμος της συνέχειας προϋποθέτει μόνο ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο, δηλαδή έχει σταθερή πυκνότητα σε όλη του την έκταση,
ή αλλιώς ο όγκος του δεν εξαρτάται από την πίεσή του.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Το σχολικό στη σελίδα 94, πάνω-πάνω, γράφει:

«Επειδή Π=Αυ, η (3.8) (δηλαδή η Α₁υ₁ = Α₂υ₂ ) γράφεται και Π₁ = Π₂ ή Π = σταθερό (3.9)

Η σχέση (3.9) ισχύει για σωλήνα αλλά και για φλέβα και διατυπώνεται ως εξής:

Κατά μήκος ενός σωλήνα ή μιας φλέβας η παροχή διατηρείται σταθερή.»

Τι θα μπορούσε να γίνει αντιληπτό μέσα από μια τέτοια διατύπωση;

Πως επειδή ισχύει ότι Α₁υ₁ = Α₂υ₂, παραμένει σταθερή η παροχή. Δηλαδή αντιστροφή της αιτίας και του αποτελέσματος.

Θα πρέπει να διευκρινίζεται πως επειδή το υγρό είναι ασυμπίεστο, κατά μήκος ενός σωλήνα ή μιας φλέβας η παροχή διατηρείται σταθερή (Νόμος Συνέχειας) Επειδή επίσης η παροχή μπορεί να εκφραστεί Π=Αυ, ο Νόμος της Συνέχειας, εκφράζεται με την εξίσωση: Π₁ = Π₂ => Α₁υ₁ = Α₂υ₂

Τέλος ο Νόμος του Bernoulli, αποτελεί άμεση συνέπεια της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας και όταν:
α) Το υγρό είναι ασυμπίεστο
β) Η ροή είναι μόνιμη και στρωτή (*)
γ) Δεν υπάρχει εσωτερική τριβή, δηλαδή το ρευστό είναι ιδανικό, εκφράζεται με την εξίσωση: p+½ρυ2+ρgh=σταθερό

(*) Η προϋπόθεση (γ) της Μη ύπαρξης εσωτερικής τριβής, πρέπει να αναφέρεται διότι δεν εμπεριέχεται στην προϋπόθεση της στρωτής ροής.

Στρωτή ονομάζεται η ροή στην οποία μπορούμε να διακρίνουμε στρώματα ορισμένης ταχύτητας, όπου το ένα κινείται παράλληλα στο άλλο. Το μοντέλο της στρωτής ροής δεν αποκλείει την ύπαρξη εσωτερικής τριβής.

Όταν το ρευστό δεν είναι ιδανικό και υπάρχει εσωτερική τριβή, τότε αφενός ΔΕΝ ισχύει ο Νόμος Bernoulli και αφετέρου επειδή οι ταχύτητες σε μια διατομή του σωλήνα ροής είναι διαφορετικές λόγω τριβής, η παροχή εκφράζεται με τη μέση ταχύτητα των σημείων της διατομής, η οποία είναι μικρότερη από την ταχύτητα στον άξονα, που είναι μέγιστη, δηλαδή η παροχή στη διατομή (3) δεν είναι Π=Α∙υ3,
αλλά Π=Αυμ, όπου υμ η μέση ταχύτητα των σημείων της διατομής

Για τη μόνιμη και στρωτή ροή ιδανικού ρευστού στο ροόμετρο Ventouri, εφαρμόζοντας το Νόμο Συνέχειας Π=Αυ=σταθερό ,το Νόμο Bernoulli p + ½ρυ² = σταθερό και το Νόμο Pascal (ή το Νόμο υδροστατικής ισορροπίας εναλλακτικά) στους κατακόρυφους σωλήνες όπου το υγρό ισορροπεί, μπορούμε να αιτιολογήσουμε την υψομετρική διαφορά του υγρού στους σωλήνες

Όλα τα παραπάνω είναι σκέψεις και προβληματισμοί, χωρίς να διεκδικούν ούτε κάτι ιδιαίτερα πρωτότυπο, ούτε φυσικά και το αλάθητο.