by 
Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου στο δεξιό άκρο, το νερό εκρέει με ταχύτητα υ1=2m/s. Στους δύο οριζόντιους σωλήνες έχουν συνδεθεί δύο άλλοι λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, κλειστοί στα κάτω άκρα τους, οι οποίοι στηρίζονται στο έδαφος, με ύψη h1=3m και h2=1m. Οι δυο οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α1=2cm2 και Α2=4cm2.
- Να υπολογιστεί η παροχή του δικτύου καθώς και η ταχύτητα ροής στο σημείο Ο, πάνω από τον κατακόρυφο σωλήνα με ύψος h2.
- Να βρεθεί η πίεση στα σημεία Κ και Λ, στη βάση των δύο λεπτών σωλήνων.
Η ροή να θεωρηθεί μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού με πυκνότητα ρ=1.000kg/m3, g=10m/s2, ενώ η ατμοσφαιρική πίεση είναι pατ=105Ρa.
ή
H φλέβα και ο νόμος Bernoulli.
H φλέβα και ο νόμος Bernoulli.
Η παραπάνω ανάρτηση είχε και ένα 3ο ερώτημα, το οποίο μετά την συζήτηση που διεξήχθη (βλέπε παρακάτω) αφαιρέθηκε, αφού η αποδεικτική αξία μιας “εις άτοπον απαγωγής” έχασε την …αξία της.
Μπορείτε να δείτε την αρχική εκδοχή και με το ερώτημα που αφαιρέθηκε από εδώ.
Στάθη καλησπέρα.
Θα σε παραπέμψω στην περσινή ανάρτησητου Μιχαήλ Μιχαήλ. Δες το βίντεο του καθηγητή που εξηγεί πως το νερό μετά την έξοδο από το σωλήνα εντός του δοχείου βρίσκεται σε ηρεμία. Αυτό γιατί διαχέεται η ενέργεια και δεν μπορεί να δημιουργήσει ροή φλέβας.
Φαντάσου ένα μεγάλο δοχείο που γεμίζει με νερό. Στην έξοδο του σωλήνα θα υπάρχουν στρόβιλοι σε πραγματικό ρευστό αλλά από εκεί και μετά γύρω από αυτή τη περιοχή επικρατεί ηρεμία.
Χρήστο καλησπέρα.
Η φωτογραφία που έστειλα πριν, δείχνει μια φλέβα νερού εντός νερού.
Χωρίς διάχυση. Απλώς είναι οριζόντια και δεν "ανεβαίνει".
Επομένως καλά κατάλαβα.
Όμως η φωτογραφία που έστειλα πριν δείχνει μια οριζόντια φλέβα σταθερής διατομής.
Φυσικά η φλέβα χτυπάει σε τοίχωμα, το νερό αλλάζει πορεία, περιδινίζεται και η ροή θα επεκταθεί σύντομα παντού (ως περιδίνηση περίπου).
Ως μη στρωτή ροή. Έτσι θα έχουμε ίσως σε κάποιο χρονικό διάστημα (όχι στην αρχή βέβαια) κινήσεις μαζών νερού και στον πυθμένα.
Όμως η πίεση στην περιοχή αυτήν δεν αλλάζει επειδή κάποια μάζα κινείται. Η πίεση εντός της κόκκινης φλέβας είναι ίδια με αυτήν του περιβάλλοντός της, διαφορετικά θα είχαμε εισροή γειτονικού νερού σ' αυτήν.
Εξαίρεση φυσικά έχουμε σε περιδινήσεις (κεντρομόλος δύναμη επί μαζών νερού).
Καλησπέρα. Το θεμα δεν είναι απλό φυσικά. Το ποσό μακριά θα φτάσει η φλέβα εξαρτάται σίγουρα από την ταχύτητα εισρεει το υγρό από την οπή Β. Μπερνουλι μπορώ να εφαρμόσω και μόνο σε μια ρευματικη γραμμή όχι απαραίτητα σε φλέβα.
Νίκο μπορείς και σε δύο σημεία να εφαρμόσεις που δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή αρκεί το ρευστό να είναι αστροβιλο.
Χρήστο προβληματίζομαι για τις προϋποθέσεις ισχύος αυτού που είπες.
Η ροή της φωτογραφίας είναι αστρόβιλη.
Εφαρμόζω την σχέση Μπερνούλι μεταξύ δύο σημείων που δεν ανήκουν στην ίδια γραμμή:
Δηλαδή ρευστό θα πάει από την περιοχή του Β προς αυτήν του Α;
Η φλέβα θα συμπιεστεί;
Δεν φαίνεται κάτι τέτοιο.
Όταν έχουμε ροές όπως αυτές:
να δεχθούμε διαφορετική πίεση.
Όμως σε ροές όπως αυτή:
δεν είμαστε υποχρεωμένοι να δεχθούμε ίδια πίεση στα Α και Β;
Τότε όμως εφαρμόζεται η σχέση Benoulli μεταξύ τους;
Γιάννη και Χρήστο γεια σας.
Να ξεκαθαρίσω κάποιες από τις απόψεις μου.
1) Εξετάζουμε στο πρόβλημα του δοχείου την μόνιμη ροή ενός ασυμπίεστου υγρού χωρίς να λαμβάνουμε υπ' όψιν μας το ιξώδες. Συμπεραίνω ότι η ροή μάλλον θα είναι αστρόβιλη (ο στροβιλισμός του πεδίου ταχύτητας προκύπτει συνήθως από το ιξώδες. Για παράδειγμα σε πραγματικό υγρό που εισέρχεται στο δοχείο, η τριβή μίας ποσότητας νερού με μία ακίνητη ποσότητα νερού μέσα σε αυτό, θα το αναγκάσει να περιστραφεί γύρω από τον εαυτό του. Χωρίς ιξώδες αυτός ο μηχανισμός δεν υφίσταται). Για να γίνω πιο συγκεκριμένος ο στροβιλισμός είναι το εξωτερικό γινόμενο του πεδίου της ταχύτητας με τον τελεστή ανάδελτα. Για να είμαστε σίγουροι αν το εξωτερικό γινόμενο είναι μηδέν, πρέπει κάποιος να υπολογίσει το πεδίο της ταχύτητας σε όλον τον χώρο του δοχείου.
2) Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει μόνον από την εξίσωση της συνέχειας, δηλαδή από το εσωτερικό γινόμενο του τελεστή ανάδελτα με το πεδίο της ταχύτητας σε όλον τον όγκο του δοχείου.Με τις παρούσες συνοριακές συνθήκες δεν το αποτολμώ.
3) Αν το πεδίο είναι όντως αστρόβιλο μπορώ να εφαρμόσω την εξίσωση μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων του, ανεξάρτητα από το αν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή. Αν όχι, μόνον κατά μήκος μίας υπαρκτής ρευματικής γραμμής. Συνεπώς στις φωτογραφίες που ανάρτησες Γιάννη, δεν μπορώ να την εφαρμόσω για να σημεία Α και Β, γιατί το πραγματικό νερό έχει ιξώδες, άρα το πεδίο της ταχύτητας είναι στροβιλώδες.
4) Τα παραπάνω είναι απλά κάποιες σκέψεις, δεν ξέρω πώς είναι η ροή στο δοχείο. Αλλά δεν βλέπω κανένα προφανή λόγο η ταχύτητα των σημείων του πυθμένα να είναι παντού μηδέν. Ίσως και να είναι, αλλά αυτό εξαρτάται από την ένταση της παροχής στην είσοδο (σημείο Β), από το ύψος του νερού στο δοχείο, από την γεωμετρία των οπών εισόδου και εξόδου και από την θέση τους (τα ύψη τους).
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Τελειώνοντας τη βάρδια μου με τον μικρό, επιστρέφω….
Χρήστο και Στάθη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χρήστο η περσινή ανάρτηση που αναφέρεις παραπάνω είναι η:
Πάμε να γεμίσουμε ένα μεγάλο δοχείο με νερό
Στάθη, δεν βλέπω να είναι όλο το δοχείο μια μεγάλη φλέβα με νερό που ρέει με "στόχο" να φτάσει στην έξοδο, στην οπή.
Ο Γιάννης παραπάνω έδωσε την εικόνα της πορείας μιας φλέβας του νερού. Είναι οριζόντια.
Για να μην γράφω τα ίδια, λέει ο Γιάννης:
"Φυσικά η φλέβα χτυπάει σε τοίχωμα, το νερό αλλάζει πορεία, περιδινίζεται και η ροή θα επεκταθεί σύντομα παντού (ως περιδίνηση περίπου).
Ως μη στρωτή ροή. Έτσι θα έχουμε ίσως σε κάποιο χρονικό διάστημα (όχι στην αρχή βέβαια) κινήσεις μαζών νερού και στον πυθμένα.
Όμως η πίεση στην περιοχή αυτήν δεν αλλάζει επειδή κάποια μάζα κινείται. Η πίεση εντός της κόκκινης φλέβας είναι ίδια με αυτήν του περιβάλλοντός της, διαφορετικά θα είχαμε εισροή γειτονικού νερού σ' αυτήν."
Αλλά να δώσω μια παραλλαγή του δοχείου.
Αν ο σωλήνας εισόδου του νερού, δεν ήταν στην θέση που έχω βάλει, αλλά ήταν στο ίδιο ύψος με την οπή, στα 3m, θα υπολόγιζες και κει πίεση στον πυθμένα που να οφείλεται στο ρεύμα που θα δημιουργηθεί;
Δηλαδή προβλέπεις η πίεση στα σημεία του πυθμένα που έχω βάλει στο σχήμα να επικρατεί διαφορετική πίεση; (αφού προφανώς αν υπάρχουν ρευματικές γραμμές που φτάνουν στην βάση, θα έχεις διαφορετικές κλίσεις και διαφορετικές μερικές παραγώγους για τις ταχύτητες, σε κάθε περιοχή).
Στάθη γράφαμε μαζί… Τώρα είδα το τελευταίο σου σχόλιο.
Στάθη ιξώδες υπάρχει φυσικά, αλλά το πεδίο ταχυτήτων δεν είναι στροβιλώδες. Η ροή είναι στρωτή.
Οι φωτογραφίες είναι από αναπαραγωγή του πειράματος του Reynolds. Αναφέρεται ρητά ότι η ροή είναι στρωτή, από τον πειραματιστή.
Στροβιλώδες είναι στις άλλες δύο φωτογραφίες.
Πέραν αυτών, η εφαρμογή της σχέσης Bernoulli θέλει προσοχή. Την παρερμηνεύουμε τις περισσότερες φορές.
Η σχέση λέει απλά ποια ταχύτητα θα αποκτήσει μια μαζούλα αν πάει από το Α στο Β.
Αν όμως την εφαρμόσεις εδώ:
θα βγάλεις μια τερατώδη ταχύτητα υ2 και μια τερατώδη παροχή.
Φυσικά ο Bernoulli δεν φταίει αν εμείς υποθέσουμε ότι (επειδή το ρευστό της άσκησης είναι ιδανικό) η μαζούλα που φτάνει στο Β έχει την ίδια ταχύτητα με όλες τις μαζούλες της επιφάνειας.
Ότι δηλαδή απουσία ιξώδους πρέπει να προβλέψουμε τερατώδη παροχή.
Το μοντέλο μας (ιδανικό υγρό) δεν μπορεί να “αφίσταται” τόσο πολύ του νερού που τελικά έχει μικρό ιξώδες.
Αν προβλέπουμε καταστάσεις που διαψεύδονται πανηγυρικά, εφαρμόζουμε λανθασμένα το μοντέλο μας.
Δηλαδή μεταφέρουμε σχέσεις που ισχύουν κάπου σε περιπτώσεις που δεν ισχύουν.
Τα ρευστά παρουσιάζουν πολλά τέτοια συμπτώματα.
Στο άλλο που λες για την ροή στον πυθμένα:
-Αρχικά (τα πρώτα 2 δευτερόλεπτα) δεν μπορεί να έχουμε κίνηση μαζών στον πυθμένα.
Όχι. Αν η ροή δεν είναι ροή εξωφρενικής ταχύτητας (πιεστικό δυνατό) όλα τα όργανα θα δείξουν ίδιες πιέσεις στον πυθμένα.
Θα είναι όλες Pατμ+ρ.g.h , όσες θα είναι και σε περιοχές που δεν βρίσκονται κάτω από την ροή.
Εγώ βλέπω να υπάρχει φλέβα μεταξύ των οπών εισροής και εκροής. Δηλαδή η ροή εντός του υγρού είναι όπως στο παρακάτω σχήμα
Διονύση, αν δεν υπήρχε φλέβα, πως φαντάζεσαι τις ροές εντός του υγρού; μπορείς να σχεδιάσεις τις ρευματικές γραμμές τους;
Εξάλλου, όπως λέει και ο Νίκος Κ. αρκεί μία ρευματική γραμμή για να πάρεις μπερνούλι. (βέβαια αν έχεις έστω 1 ρευματική γραμμή θα έχεις και φλέβα)
Φαντάζομαι Διονύση πως αν και αναφέρεσαι σε νερό, υπονοείς πως ισχύει το μοντέλου ρευστού, χωρίς στροβίλους κτλ
Γιάννη δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια φλέβα. Είναι απλά μια νοητική κατασκευή.
Δες τις φωτογραφίες που έστειλα. Όλες δείχνουν οριζόντιες φλέβες.
Η παραδοχή ύπαρξης τέτοιων φλεβών, όπως αυτές που σχεδίασες, οδηγούν σε παράδοξα. Περίεργες πιέσεις, εξωφρενικές παροχές.
Ας το σκεφτούμε απλά:
-Για ποιο λόγο να "ανηφορίσει" μια μάζα ρευστού που έχει οριζόντια ταχύτητα;
Η διαφορά πιέσεων απλά εξουδετερώνει το βάρος μιας μαζούλας. Γιατί να υπάρξει δύναμη που θα την εκτρέψει από την οριζόντιοα πορεία;
Εξ ' άλλου οι φωτογραφίες είναι εύγλωττες.
Διονύση, έχω την ίδια δεξαμενή με τη δική σου. Δεν έχω ατμόσφαιρα. Στο Β δεν έχω κρουνό εισροής αλλά μία απλή τρύπα όπως στο Γ.
Ακολουθώ την ίδια πορεία που είχες προτείνει κατά τη λύση του δικού σου προβλήματος:
PP=PΒ+ρgy2 και PP=PΓ+ρgy1
Επειδή PΒ=PΓ=Pατμ=0, προκύπτει ότι y1=y2 άτοπο.
Τι πήγε στραβά και καταλήξαμε σε άτοπο; Η σχέση PP=PΒ+ρgy2 (και η αντίστοιχη για το Γ) δεν ισχύει εδώ αφού δεν έχουμε στατική κατάσταση για το υγρό. Αντίθετα στην περίπτωση του πρώτου προβλήματός σου (με τα δύο σωληνάκια), το υγρό εντός αυτών δεν κινείται, οπότε εκεί δικαιούμαστε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση αυτή.