by 
Η ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους L ισορροπεί σε κατακόρυφο μη λείο τοίχο και οριζόντιο μη λείο δάπεδο. Ο συντελεστής οριακής τριβής ολίσθησης είναι μ και για τον τοίχο και το δάπεδο. Η ελάχιστη γωνία φ μεταξύ της σκάλας και του οριζόντιου επιπέδου για την οποία οριακά η σκάλα ισορροπεί και τείνει να ολισθήσει ικανοποιεί την σχέση:
Συνέχεια στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Η άσκηση είναι γνωστή δεν θυμάμαι απο ποιο ξενόγλωσσο είναι ή παλιό βιβλίο.
Την κάνω κάθε χρόνο σε πιο καλούς μαθητές και είπα να την ανεβάσω.
Κάποια στιγμή την είχε ανεβάσει και ο Δημήτρης Αναγνώστου αλλά δεδομένου ότι τώρα δεν είναι στο δίκτυο και δεν υπάρχει η ανάρτηση είπα να την ανεβάσω να υπάρχει.
Καλησπέρα Χρήστο .
Μου φαίνεται πως το 'χω δει κι εγώ, όμως τώρα μου'ρθε μια σκέψη που λέει: αν στη σχέση της εφθ που βγάζεις, βάλω μ=0 (λείος τείχος και δάπεδο) προκύπτει εφθ=1 δηλ. θ=π/4 και ισορροπία δεν βλέπω.
Αν ήταν ορθή η εφθ =1/2μ με μ=0 δίνει εφθ τείνει άπειρο άρα θ=π/2 δηλαδή η ράβδος κατακόρυφη και στέκει!
Τι μου συμβαίνει;
Παντελή γιατί βγαίνει εφθ=1 αν μ=0;
Βλέπω το μ στον παρονομαστή.
Εστραβώθηκα λοιπόν Γιάννη και σ'ευχαριστώ για τα
. Όλα καλά Χρήστο.
Καλησπέρα Χρήστο πολύ ωραία εφαρμογή και η όλη παρουσίαση άψογη!
Καλημέρα Χρήστο.
Μία ωραία άσκηση στην οποία εντοπίζω, εκτός και αν μου διέφυγε κάτι (είναι ακόμα πρωί), ένα μικρό ερμηνευτικό πρόβλημα. Συγκεκριμένα πώς ερμηνεύεται η συμπεριφορά της ισορροπίας στην περίπτωση όπου μ>1, όπου εφ(θ)<1, ενώ 0<θ<π/2;
Νομίζω θα ήταν καλύτερο αν στην τελευταία συνεπαγωγή έγραφες το ημ(θ) στην μορφή sqrt(1-συν(θ)^2) και έλυνες ως προς συν(θ) στο διάστημα 0<θ<π/2, οπότε βγαίνει ότι συν(θ)=+(2 μ)/sqrt[1+2 μ^2+μ^4]
ή αν έδινες ως λύση την εφ(θ)=abs[(1 – μ^2)/(2 μ)] (abs η απόλυτη τιμή)
ή τέλος αν έθετες από την αρχή ότι 0<μ<1 (προσωπικά αυτό θα έκανα εφ' όσον η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές).
Ακόμη και τότε όμως, στις δύο πρώτες περιπτώσεις, συμβαίνει το εξής:
Στο κλειστό διάστημα 0<μ<1 αυξάνοντας τον συντελεστή οριακής στατικής τριβής ελαττώνεται η ελάχιστη γωνία από π/2 έως μηδέν (διαισθητικά αναμενόμενη η ελάττωση της γωνίας). Αλλά σε κάποια υλικά μ>1. Για παράδειγμα σε δύο αλουμινένιες επιφάνειες ο συντελεστής στατικής τριβής λαμβάνει τιμές από μ=1.05 έως μ=1.35. Τότε για μ=1.05 προκύπτει ότι θ=2.8 μοίρες και για μ=1.35, θ=17 μοίρες. Δηλαδή αυξάνοντας τον συντελεστή τριβής αυξάνει και η ελάχιστη γωνία!
Καλημέρα σε όλους.
Παντελή, Γιάννη κυρ, Γιάννη και Στάθη καλημέρα και ευχαριστώ για την ενασχόληση.
Στάθη όταν μ>1η εφφ<0 που δεν ξέρω αν έχει νόημα για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ενδεχομένως να βάλω για ασφάλεια το μ μεταξύ του 0 και του 1.
Στο πρόβλημα έχει ενδιαφέρον γιατί αν δεν πάρεις εξ αρχής την τριβή με την οριακή της τιμή είναι αόριστο το συστημα.
Θα επανέλθω γιατί είμαι εκτος σπιτιού και γράφω από το κινητο.
Χρήστο μπράβο, μια κλασσική άσκηση σε διάφορες εκφάνσεις της, πρέπει απαραίτητα να είναι στη φαρέτρα γνώσεων ενός υποψηφίου!!
Ο Στάθης έβαλε καλό θέμα.
Το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι οι σχέσεις είναι ανισώσεις τελικά και όχι εξισώσεις.
Ο Χρήστος δούλεψε επικαλούμενος οριακή περίπτωση. Αν όμως η Τ ουδέποτε μπορέσει να πάρει την τιμή μ.Ν;;
Τότε οι αναγεγραμμένες σχέσεις δεν θα επαληθευθούν.
Να το πω πολύ πιο απλά:
Αν σου πω ότι το πλήθος των μαθητών πρέπει να είναι μεγαλύτερο από -5, τι σου λέω;
Σου λέω ότι μπορεί να είναι οιοδήποτε. Ποια θα βάλεις εσύ ως οριακή τιμή;
Φυσικά δεν θα βάλεις ως οριακό πλήθος το -5. Θα βάλεις το μηδέν, θα βάλεις το 1, πάντως όχι το -5.
Να το πω πιο συγκεκριμένα. Όταν βγάζω ότι μια οξεία γωνία πρέπει να έχει εφαπτομένη μικρότερη από -1, ουσιαστικά σου λέω ότι οποιαδήποτε γωνία σου κάνει και το ραβδί δεν θα πέσει όπως και να το βάλεις.
Δεν έπιασα χαρτί και μολύβι. Ακριβείς ποροσομοιώσεις δείχνουν ότι με μ>1 έχουμε ισορροπία σε πολύ-πολύ μικρές κλίσεις.
Διορθώνω:
Όταν βγάζω ότι μια οξεία γωνία πρέπει να έχει εφαπτομένη μεγαλύτερη από -1, ουσιαστικά σου λέω ότι οποιαδήποτε γωνία σου κάνει και το ραβδί δεν θα πέσει όπως και να το βάλεις.
Πρόδρομε καλησπέρα
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Γιάννη σωστά μόνο στην κατάσταση που επίκειται η ολίσθηση βγαίνει η σχέση αυτή. Με αυτό που λες ''κουμπώνει'' και η ένσταση που είχε αρχικά ο Βαγγέλης Κορφιάτης σε αυτή την ανάρτηση. Τελικά την απάντηση έδωσε ο ίδιος. Το ίδιο θεωρώ ότι ισχύει και εδώ.
Καλημέρα Χρήστο
Τελικά η απορία θα γίνει ένσταση.
Κατ’ αρχάς το πρόβλημα το λύνεις σε κατάσταση ισορροπίας της ράβδου.
Επομένως, η τριβή στα σημεία Α και Γ είναι στατική.
Στην οριακή κατάσταση, που επίκειται ολίσθηση, τουλάχιστον σε ένα από τα δύο η στατική τριβή θα έχει την οριακή της τιμή.
Όταν έχουμε δύο σημεία στα οποία ασκείται στατική τριβή και στο ένα έχει πάρει την οριακή της τιμή δεν είναι βέβαιο ότι την έχει πάρει και στο άλλο.
Ως παράδειγμα θεώρησε την σκάλα του σχήματος, η οποία παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0.6 τόσο με τον τοίχο όσο και με το δάπεδο. Αν για την
Τ2 ισχύει ότι Τ2 = μ Ν2 για την Τ1 ισχύει ότι Τ1 = 5/18 μ Ν1.
Βαγγέλη καλησπέρα
Αυτό που θεωρώ είναι αυτό αυτό που γράφει και ο Δημήτρης παραπάνω, ότι δηλ. η ράβδος βρίσκεται στα πρόθυρα κίνησης όταν επίκειται ολίσθηση και στα δύο σημεία επαφής Α και Γ γι΄αυτό και παίρνουν την οριακή τους τιμή.
Στο πρόβλημα που δίνεις αν κατάλαβα καλά μπορεί στο ένα σημείο να έχει πάρει τη μέγιστη τιμή του αλλά στο άλλο όχι. Μια τέτοια κατάσταση όμως δεν θα είναι ισορροπίας; Εννοώ ότι δεν είναι η ακραία κατάσταση. Δηλ. παρόλο που στο ένα σημείο έχουμε Τ=μΝ, στο άλλο σημείο μη έχοντας πάρει την οριακή του τιμή όπως γράφεις στο παράδειγμα, η ράβδος θα ισορροπεί κανονικά. Η ακραία κατάσταση δεν θα είναι όταν και στα δύο σημεία έχουμε Τ = μΝ και τότε επίκειται ολίσθηση και στα δύο σημεία;
Λύση Βαγγέλη
Καλησπέρα Δημήτρη , καλησπέρα Χρήστο.
Η απάντησή σας δεν με έπεισε αλλά τελικά έχετε δίκιο.
Μάλλον η θητεία μου στο τμήμα Μαθηματικών φρενάρει ( και μάλλον καλά κάνει) την φυσική μου διαίσθηση.
Η βιβλιογραφική αναφορά του Δημήτρη με έβαλε σε προβληματισμό.
Για κάθε θέση του ανθρώπου οι εξισώσεις ισορροπίας αποτελούν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 4 αγνώστους τα Ν1, Ν2, Τ1, Τ2.
Θεωρούμε ως παράμετρο το Ν1 και επιλύουμε το σύστημα ως προς
Τ1, Ν2, Τ2.
Έτσι οι παράμετροι του προβλήματος είναι δύο: Η Ν1 και το x.
Οι ανισώσεις Τ1≤μ Ν1 και Τ2≤μ Ν2 ορίζουν την κίτρινη περιοχή στον χώρο των παραμέτρων.
Για οποιαδήποτε τιμή του x με x>0.2α υπάρχει λύση του συστήματος με Τ1< μ Ν1 και
Τ2< μ Ν2.
Επομένως, η ελάχιστη τιμή του x για την οποία δεν ολισθαίνει είναι 0,2 α.
http://ylikonet.gr/wp-content/uploads/2018/02/Screenshot_2-2.png