by 
Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον διαδίδεται ένα κύμα.
Για τα σημεία Α και Β οι θέσεις φαίνονται στο διάγραμμα. Με κόκκινη γραμμή για το Α και μπλε για το Β.
Τα διαγράμματα αναφέρονται σε χρονικές στιγμές για τις οποίες το κύμα έχει περάσει και από τα δύο σημεία.
Την στιγμή μηδέν το κύμα έχει περάσει και από τα δύο σημεία. Δεν απεικονίζονται στιγμές πριν το μηδέν.
Α. Επιλέξατε την σωστή απάντηση.
- Οι εξισώσεις θέσης είναι yA = 0,2.ημ(t) και yΒ = 0,2.ημ(t+π) στο (S.I.)
- Οι εξισώσεις θέσης είναι yA = 0,2.ημ(2t) και yΒ = 0,2.ημ(2t-2π) στο (S.I.)
- Δεν γνωρίζουμε τις εξισώσεις θέσης διότι δεν γνωρίζουμε πως διαδίδεται το κύμα.
Β. Επιλέξατε πάλι την σωστή απάντηση.
- Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά.
- Το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά.
- Δεν γνωρίζουμε πως διαδίδεται το κύμα.
Δεν θα ληφθεί υπ’ όψιν καμία αιτιολόγηση. Είναι ένα θέμα που θα διορθωθεί από μηχάνημα.
Δεν γνωρίζετε αν εγώ έδωσα στο μηχάνημα τις σωστές απαντήσεις ή κάποιος άλλος.
Οι απαντήσεις να είναι του τύπου Α-2 και Β-1 ή Α-3 και Β-2 κ.λ.π.
Φυσικά αυτά στο γραπτό σας, που θα μπορούσε να είναι για τον ΑΣΕΠ.
Στο φόρουμ εννοείται πως οι απαντήσεις σας, οι αναλύσεις σας, οι παρατηρήσεις σας και κάθε κράξιμο, είναι παραπάνω από ευπρόσδεκτα.
Κάνε Χρήστο την υπόθεση εργασίας ότι δίνεις Εξετάσεις ΑΣΕΠ και πέφτει ακριβώς το παρόν θέμα.
Διόρθωση από μηχάνημα, δηλαδή σταυροί σε κουτάκια χωρίς λόγια.
Τι θα απαντούσες;
(Ώστε να γίνει και "τρομακτικότερο" το ερώτημά μου.)
Φυσικά βγαίνοντας έξω θα μπορούσες να κράζεις τους θεματοδότες, λέγων:
-Έλειπαν λύσεις του τύπου y = 0,2.ημ(t+13π).
Ο προβληματισμός που αναδύεται είναι αν:
1. Δύο εξισώσεις θέσης ταυτίζονται όταν για κάθε t προβλέπουν ίδιες θέσεις.
2. Δύο εξισώσεις θέσης ταυτίζονται όταν έχουν την ίδια αλληλουχία συμβόλων.
3. Η απάντηση εξαρτάται από το αν ο ενδιαφερόμενος είναι Φυσικός, Μαθηματικός, ή κάτι άλλο.
Γιάννη συμφωνούμε. Οι μαθηματικοί απλά θα περιγράψουν μαθηματικά. Εμείς πρέπει να δώσουμε και φυσική εξηγηση. Θεωρώ ότι η αρχικη φάση δεν έχει από άποψη φυσικης σημασίας ιδιαίτερο νόημα. Στο πανεπιστήμιο δεν θυμάμαι να επιμένουμε σε αυτό. Στα κύματα ασχολούμασταν με την ενέργεια των κυμάτων, ομαδική ταχύτητα φασικη ταχυτητα κτλ.
Καλημέρα Γιάννη!
Παρακολουθώ την συζήτηση από την αρχή της.
Θα απαντήσω Α3, Β3.
Προφανώς αν έπεφτε κάτι τέτοιο σε ένα μελλοντικό ΑΣΕΠ θα ευχόμουν απλά οι εξεταστές να στέφτονται όπως απάντησα εγώ.
Τώρα το άλλο, "μαλλώνουμε" για το ποια εξίσωση είναι σωστή.
Την πάμε σε κάποιον μαθηματικό και ζητάμε την γνώμη του, πιστεύω θα απαντήσει καμία αφού δεν συνοδεύονται από πεδίο ορισμου.
π.χ. Οι εξισώσεις x = 3 + 2t και x = 3 + 2t
μου δίνουν ίδιες τιμές;
Προφανώς και ναι και όχι αφού δεν ξέρω το πεδίο ορισμου.
Θα μου πει κάποιος
– ε καλά αφού δεν έχει κάτι δίπλα εννοιείται το R (ή κάτι άλλο)
– Ναι αλλά άμα η ερώτηση όπως λες είναι κλειστού τύπου τι θα πω ταυτίζονται ή όχι;
– τι την ψάχνεις τώρα, βάλε την απάντηση θεωρλωντας αυτά που σου πα παραπάνω.
…………………………….
Και μετά από ώρες δεν βλέπω να καταλήγει κάπου η παραπάνω υπθετική κουβέντα.
Καλό είναι αν θέλουμε η απάντηση να είναι μονοσήμαντη η ερώτηση να είναι πλήρης ή αν δεν ισχύει αυτό τότε να μην φτιάχνουμε την ερώτηση στο στιλ
"Η εξίσωση είναι….."
αλλά όπως είπε και ο Διονύσης (Μητρ) παραπάνω
"Η εξίσωση μπορεί να είναι….."
Βασίλη δεν μαλώνουμε.
Το πεδίο ορισμού είναι όλο το R. Έγραψα ότι "δεν απεικονίζονται στιγμές πριν το μηδέν".
Τώρα γνωρίζεις την εξίσωση θέσης;
Αν πάλι εξακολουθείς να μην την γνωρίζεις, σημαίνει ότι θεωρείς πως το ημ(t+π) είναι διαφορετική εξίσωση θέσης από το ημ(ty-π) και το ημ(t+(2κ+1)π).
Αν είναι έτσι αντιλαμβανόμαστε διαφορετικά τον όρο "εξίσωση θέσης".
Επανέρχεται το :
1. Δύο εξισώσεις θέσης ταυτίζονται όταν για κάθε t προβλέπουν ίδιες θέσεις.
2. Δύο εξισώσεις θέσης ταυτίζονται όταν έχουν την ίδια αλληλουχία συμβόλων.
3. Η απάντηση εξαρτάται από το αν ο ενδιαφερόμενος είναι Φυσικός, Μαθηματικός, ή κάτι άλλο.
Χρήστο δεν θα συζητήσω ακόμα για την φάση.
Το ότι δίνουμε φυσικό περιεχόμενο σημαίνει ότι λέμε ότι ημ(t+π) και ημ(t-π) είναι δύο διαφορεετικές εξισώσεις θέσης;
Το ότι είναι διαφορετικές πληκτρολογήσεις είναι φανερό. Είναι διαφορετικές εξισώσεις θεσης;
Πότε ταυτίζονται δύο εξισώσεις θέσης;
Γιάννη, αν ξεκινάς με μια γραφική παράσταση ως δεδομένο, το να πας σε συνάρτηση που περιγράφει αυτή τη γραφική παράσταση είναι απόσταση…
Πρέπει να ορίσεις σύστημα αξόνων, πρέπει να βάλεις το μηδέν, θετική φορά και πρέπει να ορίσεις και τη χρονική στιγμή που ξεκινάς.
Κάθε φορά θα βρεις διαφορετική εξίσωση y=f(t).
Έτσι στο πρόβλημά σου, δεν είναι μια η εξίσωση που περιγράφει κάθε γραφική παράσταση. Είναι πολλές, οπότε πώς με βάζεις να επιλέξω ΜΟΝΟ μία; Μου λείπουν πληροφορίες για την επιλογή αυτή…
Αλλά πια δεν καταλαβαίνω τι κάνουμε, στα αλήθεια.
Ψάχνουμε μαθηματικές λύσεις σε ένα μαθηματικό πρόβλημα;
Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα έχει κάποια σύνδεση με Φυσική;
Αν έχει, τότε:
1. Τον πρώτο λόγο έχει η Φυσική. Έτσι αν το πρόβλημά σου αναφέρεται σε κύμα τα σύμβολά σου και οι εξισώσεις που θα χρησιμοποιήσεις, πρέπει πάνω από όλα να υπηρετούν τη Φυσική πραγματικότητα που φιλοδοξούν να περιγράψουν και να είναι συμβατά με κυματικά μεγέθη που χρησιμοποιούμε κατά τη μελέτη των κυμάτων και να μην έρχονται σε αντίθεση με τη θεωρία μας.
2. Βέβαια είσαι ελεύθερος να χρησιμοποιήσεις και οποιαδήποτε εναλλακτική μαθηματική περιγραφή, αλλά το κάνεις γιατί;
-Θέλεις να φωτίσεις καλύτερα τη φυσική πραγματικότητα του κύματος που αναφέρεσαι;
-Θέλεις να μπερδέψεις και να δημιουργήσεις σύγχυση;
-Θέλεις να υποστηρίξεις ότι όλα αυτά που διδάσκουμε είναι λάθος και ανοησίες;
Αναλόγως τους στόχους που βάζω σε κάθε πρόβλημα, μπορώ να βρω και τα κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία να τους υποστηρίξω…
Στο έγραψα παραπάνω χρησιμοποιώντας την πρέφα. Δεν ξέρω αν εσύ έμαθες πρέφα όντας φοιτητής, στο “φοιτητικό” απέναντι, αλλά εγώ εκεί την “σπούδασα”…
Αν αλλοιώσεις την φάση, για οποιονδήποτε λόγο, είτε επειδή θεωρείς ότι σε βολεύει, είτε επειδή νομίζεις ότι τα μαθηματικά στο επιβάλουν (πράγμα με το οποίο διαφωνώ, τα μαθηματικά επιτρέπουν, δεν επιβάλλουν), θα χάσεις μια χρήσιμη πληροφορία.
Αν δεν σου χρειάζεται η φάση, να την πετάξεις.
Αλλά μην θέλεις στη συνέχεια έχοντας λιγότερες πληροφορίες να πας πίσω στην πλήρη περιγραφή του κύματος…
ΥΓ
Αν πληρώνω το νοίκι μου στην Αυστραλία με τη βδομάδα, με βολεύει το αριθμό των ημερών να τον γράψω Ν=7λ, ώστε ξέροντας το λ να βρίσκω αμέσως τον αριθμό των εβδομάδων. Για παράδειγμα οι 28 μέρες γράφονται 28=7×4 και ξέρω ότι έχω να πληρώσω νοίκι 4 εβδομάδων.
Αν εσύ θέλεις να το γράψεις 28=2×14 ή 28=(4/3)x21 τα μαθηματικά στο επιτρέπουν. Εσύ θα χάσεις τις εβδομάδες…
Καλημέρα σε όλους,
Ίσως πρέπει να ξεκινήσουμε από το ερώτημα "Πότε δύο εξισώσεις είναι ίδιες".
Οι εξισώσεις y=5x+2 και y-2=5x είναι "ίδιες" ή "ισοδύναμες";
Η y=Aημ(ωt+2κπ) όπου κ ακέραιος, είναι μία εξίσωση ή ένα σύνολο ισοδυνάμων εξισώσεων;
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση Μάργαρη θα απαντήσω πρώτα στον έτερο Διονύση μια και έγραψε λιγότερα.
Διονύση δεν με απασχολεί το αν είναι ίδιες ή ισοδύναμες. Η εξίσωση θέσης αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση.
Η συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία. Αν οι αντιστοιχίες είναι ίδιες, δηλαδή σε κάθε t δίνουν οι εξισώσεις ίδιες θέσεις, τότε ταυτίζονται.
Έτσι οι συναρτήσεις y = ημt και y = ημ(t + 2κπ) ταυτίζονται.
Διονύση τι να πρωτοπώ, τη στιγμή μάλιστα που έχω επιλέξει να ακούσω πριν μιλήσω;
Για να δίδονται γραφικές παραστάσεις με θετικές και αρνητικές τιμές, έχουν ορισθεί άξονες. Μας ενδιαφέρει το ποιοι είναι;
Να αρχίσουμε να συζητάμε τώρα για άξονες;
Ο θέσας το πρόβλημα θέλει εξισώσεις που ταιριάζουν με τις γραφικές του παραστάσεις.
Θα μπορούσα να αγνοώ την επιλογή των αξόνων. Βλέπω λ.χ. ότι το Α κινείται από 0 ως π/3 κατά την θετική κατεύθυνση, όποια και αν είναι.
Έπειτα διαβάζω το :
Έτσι στο πρόβλημά σου, δεν είναι μια η εξίσωση που περιγράφει κάθε γραφική παράσταση. Είναι πολλές, οπότε πώς με βάζεις να επιλέξω ΜΟΝΟ μία; Μου λείπουν πληροφορίες για την επιλογή αυτή…
Μιλάω προφανώς άλλη γλώσσα. Θεωρώ ότι οι abs(x) και sqrt(x.x) είναι η ίδια συνάρτηση.
Θεωρώ ότι οι y = ημ(t-π) , y = ημ(t+π) y = ημ(t-15π)και y = συν(1,5.π-t) είναι η ίδια εξίσωση θέσης γραμμένη διαφορετικά.
Ταυτίζω δύο εξισώσεις θέσης αν δίνουν ίδιες θέσεις για κάθε t.
Από όσα γράφεις συμπεραίνω ότι επιλέγεις τις Α-3 και Β-3.
Κάνω λάθος;
Γιάννη και η συνάντηση y1=ημt+συνt ταυτίζεται με την y2= ✓2ημ(t+π/4). Πρόκειται επομένως για την ίδια συνάρτηση;
Όσο για το παράδειγμα με τις εβδομάδες, εγώ δεν άνοιξα την συζήτηση για να μου προταθεί η βολικότερη αναγραφή μιας εξίσωσης θέσης.
Ούτε αναζητώ την καλύτερη μέθοδο αντιμετώπισης προβλημάτων ταλαντώσεων.
Απλή απάντηση αναζητούσα που να λέει είτε ότι όντως οι εξισώσεις είναι αυτές που γράφτηκαν είτε την άλλη απάντηση που λέει ότι αν έχουμε μια γραφική παράσταση αρμονικής συνάρτησης (μαζί με το πεδίο ορισμού), δεν μπορούμε να βρούμε την εξίσωσή της.
Δηλαδή να μου δηλωθεί ότι δεν γνωρίζουμε ποια είναι η παρακάτω συνάρτηση:
Εκτός φυσικά αν αυτή προσδιορίζεται, ενώ οι αρμονικές αποτελούν εξαίρεση.
Μήπως γενικά οι περιοδικές αποτελούν εξαίρεση;
Ένας που δηλώνει ως ορθό το Α-3 μου λέει ότι η γραφική παράσταση αρμονικής συνάρτησης, συνοδευόμενη από το πεδίο ορισμού της, δεν αρκούν για την εύρεση της εξίσωσής της.
Τέτοιες απαντήσεις περιμένω.
Υπάρχει Διονύση κάτι που ισχύει στην μία και όχι στην άλλη;
Έχουν ίδια πεδία ορισμού;
Για κάθε t ισχύει ότι y1 = y2 ;
Οιανδήποτε τιμή που παίρνει η μία, μπορεί να πάρει και η άλλη;
Τότε είναι η ίδια συνάρτηση.
Αν σε οτιδήποτε από τα παραπάνω διαφοροποιούνται, τότε δεν είναι η ίδια συνάρτηση.
Απαντώ έτσι διότι οι συναρτήσεις δεν είναι μαθηματικοί τύποι γραμμένοι στο χαρτί. Είναι αντιστοιχίες. Καρτεσιανά γινόμενα.
Αυτό που έχω αποκομίσει από την μέχρι τώρα συζήτηση είναι ότι οι εκ ταυτότητος ίσες συναρτήσεις διαφέρουν.
Αντιλαμβάνομαι το "είμαστε ίσοι αλλά όχι ίδιοι" αλλά όχι επί συναρτήσεων και επί εξισώσεων θέσης.
Όταν μιλάμε τόσο διαφορετικές γλώσσες, υπάρχει περίπτωση να μπορέσουμε να συζητήσουμε για τη φάση;
Υπάρχει περίπτωση να συνεννοηθούμε για το πόσες πληροφορίες θέλουμε για να βρούμε την φορά του κύματος;