by 
Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, σταθερής παροχής Π=40L/s. Ο φαρδύς κυλινδρικός σωλήνας έχει διατομή Α1=400cm2, ενώ ο λεπτός Α2=100cm2. Η πίεση στο σημείο Κ παραμένει σταθερή και ίση με p1=1,2∙105Ρa, ανεξάρτητα αν η μικρή διακλάδωση του δικτύου κλείνεται με τάπα ή ο μικρός σωλήνας είναι ανοικτός και το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Με κλειστή την τάπα, να βρεθούν:
- Οι ταχύτητες ροής του νερού υ1 στο φαρδύ σωλήνα και υ2 στον λεπτό σωλήνα, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
- Η πίεση στο σημείο Μ, στο κάτω άκρο του κατακόρυφου ανοικτού σωλήνα, ο οποίος έχει συνδεθεί στο λεπτό σωλήνα, όπως στο σχήμα.
- Το ύψος του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα.
- Ανοίγουμε την τάπα του λεπτού σωλήνα με αποτέλεσμα να εξέρχεται νερό όγκου 2L/s, χωρίς αυτό να μεταβάλλει την συνολική παροχή στο φαρδύ σωλήνα. Σε ποιο ύψος ανέρχεται τώρα το νερό στον κατακόρυφο σωλήνα;
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3, οι ροές μόνιμες, η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ρa, ενώ g=10m/s2.
Μετά τη συζήτηση που ακολούθησε, προέκυψε ότι η παραπάνω λύση οδηγεί σε “παράλογα” συμπεράσματα, αφού στην πραγματικότητα ξεκινά από αντιφατικά δεδομένα.
Αφιερωμένη στον Κώστα Ψυλάκο.
Ωραία Διονύση και η σκέψη ,με τις σχέσεις στα μετόπισθεν ,ρέει : …ανοίγω την τάπα – μειώνεται η παροχή στο Α2 – μειώνεται η υ2 – αυξάνεται η Ρ2 -αυξάνεται το ύψος στο σωληνάκι .
Καλό μεσημέρι
Καλημέρα σε όλους,
Διονύση είχαμε τη συζήτησή της με τον Κώστα χθες βράδυ.
Δεν φαίνεται κάπως περίεργο να …. τρυπάει κάπου ένας σωλήνας και η πίεση μετά την τρύπα να μεγαλώνει αντί να μικραίνει; Δεν μπορέσαμε όμως να βρούμε λάθος
.
(Μήπως η τρύπα προκαλεί αύξηση στην αρχική παροχή, ενώ εμείς την υποθέτουμε σταθερή; Ή τί άλλο;)
… Η απορία μου είναι δηλαδή τί συμβαίνει στην πράξη σε ένα σωλήνα αν τρυπήσει.
Μήπως αυξάνεται η συνολική παροχή και ίσως πέφτει και η αρχική πίεση p1;
Διονυση σε ευχαριστω για την αφιερωση !
Πραγματικα εχθες ,αρκετα αργα , ειχαμε αυτην την συζητηση με τον Δ.Μητροπουλο . Απο την αρχη κατι μου δημιουργουσε εναν προβληματισμο . Αυτα που γραφεις εκτιμω οτι δεν εχουν καποιο σφαλμα απλα το συμπέρασμα ειναι λιγο σε συγκρουση με αυτο ισως που θα περιμεναμε οπως γραφει πιο πανω και ο Διονυσης !
Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα Κώστα.
Διονύση όταν το πρωί μου έστειλε το θέμα ο Κώστας, η πρώτη μου σκέψη ήταν τι σημαίνει διαρροή και τι αποτελέσματα έχει αυτή στις πιέσεις.
Αν πάρουμε το παραπάνω τμήμα, και ανοίξουμε μια τρύπα στο σημείο Ο, τότε η πίεση στο σημείο αυτό θα γίνει ίση με την ατμοσφαιρική, οπότε και η πίεση στο Κ θα γίνει επίσης ατμοσφαιρική με αποτέλεσμα να μειωθεί και η πίεση στο Μ.
Αν η τρύπα υπάρξει στο σημείο Σ, τότε και πάλι η πίεση στο Μ θα γίνει ίση με την ατμοσφαιρική οπότε και πάλι θα πέσει η στάθμη του νερού στο σωλήνα.
Βέβαια αν ο αγωγός είναι υπόγειος μπορεί στο Ο να υπάρξει τρύπα που θα βγει το νερό στο χώμα, θα το «ποτίσει», χωρίς η πίεση να αποκτήσει τιμή ίση με την ατμοσφαιρική και πολύ σύντομα θα έχουμε μια αυξημένη πίεση (στη «λιμνούλα» που θα σχηματισθεί), πολύ κοντινή φαντάζομαι, στην πίεση στο Κ.
Το ίδιο αποτέλεσμα θα είχαμε αν η τρύπα ήταν στο σημείο Σ.
Έτσι οδηγήθηκα στην ανάρτηση αυτή, που βέβαια δεν υπάρχει καμιά διαρροή, αλλά μια διακλάδωση, όπως το να τροφοδοτείται μια οικία και κάποια στιγμή να ανοίγει η βρύση στο ισόγειο.
Αλλά όταν ανοίγουμε την βρύση στο ισόγειο, αυτός που είναι στον πρώτο όροφο λέει ότι «έπεσε η πίεση του νερού» εννοώντας όχι βέβαια την τιμή της πίεσης, αλλά την ταχύτητα εκροής του νερού. Αλλά αν μειώνεται η ταχύτητα εκροής στο Μ, αυτό δεν συνεπάγεται αύξηση της πίεσης, μιας και μπορούμε να πάρουμε μια ρευματική γραμμή που να οδηγεί από το Κ στο Μ και ο νόμος Bernoulli θα δώσει αυξημένη πίεση;
Βέβαια υπάρχουν κάποιες «προϋποθέσεις» όπως η ίδια παροχή και ίδια πίεση στο Κ.
Υπάρχουν στην πράξη αυτές οι «προϋποθέσεις»; Μπορούν να ισχύσουν, να επιβληθούν στην πράξη;
Αυτό απλά …δεν το ξέρω…
Καλησπέρα Παντελή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Παραπάνω εστίασα την απάντησή μου στους…υπαίτιους
Καλησπέρα Διονύση,
Τελικά όλους μου φαίνεται μας έχει λίγο πολύ προβληματίσει αυτό που λέει ο Διονύσης Μ.
Εγώ ξεκίνησα από το πρόβλημα τι παροχή έχει μια βρύση στο σπίτι. Λοιπόν αυτό που λέμε πίεση δικτύου το όρισα ως την τιμή του πολυωνύμου Bernoulli -patm. Σκεπτόμενος τα καμποχώρια εδώ στη Θεσσαλία με τους υδατόπυργους , θεωρώντας ότι η ταχύτητα που κατέρχεται η στάθμη στον υδατόπυργο είναι σχεδόν μηδέν, το πολυώνυμο Bernoulli με σημείο αναφοράς το έδαφος έχει την τιμή po=patm+ρgH. Όπου H το ύψος του υδατόπυργου. Επομένως νομίζω εκείνο που μένει σταθερό είναι το p+1/2ρu^2 και όχι η παροχή. Θεωρώντας οτι το υγρό είναι ιδανικό , η ταχύτητα εκροής είναι ίδια για κάθε βρύση του σπιτιού. Συνεπώς αν έχεις μια βρύση ανοιχτή και ανοίξεις και μία δεύτερη, η πίεση και η παροχή στο σωλήνα διακλάδωσης της πρώτης βρύσης παραμένουν σταθερές ενώ στον κεντρικό σωλήνα η παροχή αυξάνει και η πίεση ελαττώνεται. Συνεπώς το "παράδοξο" του βγάζεις είναι τεχνητό γιατί εσύ θεωρώντας και την πίεση και την παροχή σταθερές.Όμως έτσι αλλάζεις την τιμή του πολυωνύμου Bernoulli. Μπορεί με κάποιο τρόπο να το κάνεις αυτό, όμως δεν ξέρω αν ανταποκρίνεται στο δίκτυο νερού. Πο λογικό είναι αυτό που λέει ο Διονύσης Μ.Υπό συζήτηση όλα.
Σε ευχαριστώ για την παρέμβαση Νίκο.
Περιμένω και άλλες τοποθετήσεις φίλων
ΥΓ
Τις προϋποθέσεις δεν τις έβαλα εγώ, αλλά το ερώτημα που μου μετέφερε ο Κώστας Ψυλάκος…
Διονύση καλησπέρα.
Τα δεδομένα σου δεν αποκλείουν την παρακάτω υλοποίηση:
Θα δούμε επίσης το σωληνάκι να έχει το νερό ψηλότερα από την δεξαμενή.
Να διορθώσω κάτι:
Γράφω "η πίεση πέφτει σε μια άλλη τιμή…".
Ήθελα να πω:
"η πίεση ανεβαίνει σε μια άλλη τιμή…".
Ευχαριστώ Γιάννη για το σχολιασμό.
Το θέμα δεν είναι αν η πίεση στο Μ είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική. Μπορεί να είναι.
Το ερώτημα είναι αν ανοίξουμε την τάπα, θα αλλάξει η πίεση στο Μ;
Αν έχουμε σταθερή πίεση στο Κ και σταθερή παροχή, τότε θα αυξηθεί η πίεση στο Μ.
Αλλά αυτά τα δύο μπορούν να εξασφαλιστούν;
Θέλω να ρωτήσω κάτι. Αν ανοίξω μία τρύπα και χύνεται νερό όπως στο σχήμα το παραπάνω του Διονύση δεν θα έχω ρυθμό μεταβολής της μάζας διαφορετικό του μηδέν; μπορώ να εφαρμόσω εξίσωση συνέχειας με την μορφή που την εφαρμόζω και όταν εχω αρχή διατήρησης της μάζας;
Διονύση δεν ανακατεύω την ατμοσφαιρική και δεν καταλαβαίνω τι εννοείς.
Πολύ απλά λέω ότι ένα παράδειγμα που ανταποκρίνεται στα δεδομένα της άσκησης καταλήγει σε ένα παράδοξο.
Το σημείο Β να έχει πίεση μεγαλύτερη από Pατμ + ρ.g.h1.
Το τι θα γίνει αν ανοίξουμε τρύπα, είναι δυσκολότερο θέμα.
Νομίζω ότι η εξίσωση Bernoulli εφαρμόζεται λανθασμένα.
Δηλαδή αν πάρουμε δύο φλέβες, μία από το Κ ως το Μ, και μία από το Κ ως την τρύπα, θα έχουμε την ιδιορρυθμία να μην έχουν οι δύο φλέβες ίδια ταχύτητα στο Κ. Αυτό δεν αποκλείεται σε στρωματική ροή. Στην μία φλέβα η ταχύτητα στο Κ είναι υ1α και στην άλλη υ1β.
Έτσι η παροχή είναι όχι υ1.Α1 αλλά υ1α.Α1α+υ1β.Α1β.
Ποιες είναι οι Α1α και Α1β ;