by 
Η τροχαλία του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς δίσκους με ακτίνες R και r=0,2m αντίστοιχα. Στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη μέτρου F1=4Ν, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή που το σημείο Α έχει κατέβει κατά h1=2,5m, έχει ταχύτητα υ=1m/s.
- Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στην τροχαλία μέσω της δύναμης F1, καθώς και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας.
- Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τυλίγουμε το νήμα στο μεγάλο δίσκο και τραβάμε το άκρο Α πλάγια, ασκώντας σταθερή δύναμη F2, η ροπή της οποίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι τ2=1,6Ν∙m, μέχρι τη στιγμή t2 που η τροχαλία ολοκληρώνει (8/π) περιστροφές. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t2.
- Τυλίγουμε τώρα δύο παρόμοια νήματα, ένα στον μεγάλο και ένα στο μικρό δίσκο, ασκώντας τις ίδιες δυνάμεις F1 και F2 στα άκρα τους Β και Γ, όπως στο τρίτο σχήμα. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που το άκρο Β θα έχει μετακινηθεί κατά h2=0,4m.
ή
Έργα και ροπές σε μια τροχαλία
Έργα και ροπές σε μια τροχαλία
Καλημέρα Διονύση.
Προτιμώ το "δύναμη επί σχοινί που ξετυλίχτηκε" από το τ.Δφ. Ιδίως όταν θα υπάρξει ολίσθηση του σχοινιού.
Καλό μήνα Γιάννη.
Αν ήθελες την ενέργεια που πήρε η τροχαλία ή την κινητική της ενέργεια, θα έπαιρνες ξανά το FΔl;
Επί της ουσία τώρα, παραπάνω δίνω μια πρόταση διδασκαλίας που ο μαθητής να μεταβεί εύκολα από το γνωστό τύπο για το έργο, όπως το έχει μάθει στην Α' τάξη, στο έργο ροπής, χωρίς να πιστεύει ότι είναι κάτι διαφορετικό…
Καλό μήνα Διονύση.
Ναι πρέπει να φανεί ότι δεν είναι κάτι διαφορετικό. Όταν γίνεται η απόδειξη της W = τ.Δφ φαίνεται καλά.
Ποιος όμως διαβάζει αποδείξεις;
Τώρα το άλλο που λες με το F.Δl θέλει άσκηση.
Γιάννη το ότι το F.Δl μπορεί να είναι διαφορετικό από το τ.φ πράγματι θέλει άσκηση, αλλά δεν νομίζω ότι πρέπει να το κάνουμε.
Αν αρχίσουν να γλιστράνε τα νήματα, ανοίγουμε ασκούς…
Εδώ υπάρχουν διαφωνίες, αν μπορεί να γλιστρήσει ο τροχός
Εξαιρετική πρόταση διδασκαλίας για το έργο…
Θα μου άρεσε και ως θέμα εξετάσεων.
Μια ερώτηση:
Το έργο είναι εσωτερικό γινόμενο και έχει ως μονάδα στο S.I 1N*1m=1Joule
Η ροπή είναι εξωτερικό γινόμενο και έχει ως μονάδα στο S.I 1N*1m που δεν
είναι ίσο με 1Joule
Όμως το έργο ροπής είναι 1N*1m*rad=1Joule
Πώς αυτό το διδάσκουμε;
Καλησπέρα κι από εδώ
Παιδιά υπάρχει ένα θέμα πράγματι στον τρόπο που το σχολικό παρουσιάζει το έργο της ροπής μιας δύναμης, ξεκινώντας από τον ορισμό του έργου, W = F·S.
Όχι ότι είναι λάθος, αλλά αφήνει περιθώρια για παρανοήσεις.
Ας δούμε τα πιο κάτω σχήματα:
Στο 1ο, η οριζόντια συνιστώσα Fx της δύναμης του άξονα δεν επιτρέπει την κίνηση του CM. Έτσι η ασκούμενη στο νήμα δύναμη F στρέφει μόνο, χωρίς να μεταφέρει. Το έργο της W = F·S = F·R·Δθ = τ·Δθ μπορεί να ειδωθεί και ως έργο της ροπής της ως προς το CM του δίσκου, από το οποίο διέρχεται και ο άξονας περιστροφής.
Στο 2ο σχήμα όμως, παρόλο που ο δίσκος έχει στραφεί κατά την ίδια γωνία Δθ, το έργο της F δεν συμπίπτει με το έργο της ροπής της ως προς CM:
W = F·S = F·(Δx + R·Δθ) = F·Δx + τ·Δθ
Πώς μπορεί να γίνει κατανοητό στα παιδιά γιατί δεν μπορούμε πάντα να βλέπουμε το έργο μιας δύναμης και ως έργο της ροπής της;
Από το σχολικό δεν είναι αυτό ξεκάθαρο.
Νομίζω ότι πρώτα πρέπει να απαντηθεί το ερώτημα:
«Πώς μπορεί μια δύναμη να στρέφει μόνο και όχι και να μεταφέρει;»
Η απάντηση είναι ότι ο δίσκος του 1ου σχήματος στρέφεται μόνο χωρίς να μεταφέρεται διότι δεν ασκείται πάνω του η δύναμη F, αλλά το ζεύγος των δυνάμεων F, Fx , που δεν είναι δύναμη, αλλά «καθαρή ροπή» τ = F·R.
Αυτό που υπολογίσαμε λοιπόν ως W = τ·Δθ δεν είναι «το έργο της F», αλλά το «το έργο της ροπής ζεύγους τ».
Πιστεύω ότι γενικότερα η σχέση W = τ·Δθ αναφέρεται σε έργο «καθαρής ροπής» σε έργο ζεύγους. Τότε έχει εξάλλου και πρακτική αξία.
Π.χ. μέσω ενός κινητήριου άξονα μεταφέρεται ροπή και θέλουμε να υπολογίσουμε το έργο της ή την ισχύ της.
Υπό αυτό το πρίσμα, έχει ξεκάθαρη λογική και η ισοδύναμη αντικατάσταση μιας δύναμης F που ασκείται σε ένα στερεό σώμα, με μία ίση F' στο CM και με μια ροπή ζεύγους τ = F·R.
Διαχωρίζουμε έτσι τους ρόλους. Η δύναμη F' ασκούμενη στο CM μόνο μεταφέρει, ενώ η ροπή ζεύγους τ μόνο στρέφει:
Καλησπέρα Θοδωρή, τώρα είδα το σχόλιό σου.
Νομίζω η απάντηση είναι η εξής:
Η στοιχειώδης γωνιακή μετατόπιση dθ είναι διανυσματικό μέγεθος, στη διεύθυνση του άξονα περιστροφής.
Το έργο ροπής είναι εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, dW = τ·dθ είναι δηλαδή μονόμετρο μέγεθος.
Μπορεί να είναι διαστατικά ίδιο με τη ροπή, αλλά έχει διαφορετική φυσική σημασία και εκφράζει μεταφορά ενέργειας, γι' αυτό και η χρήση της μονάδας 1 Joule.
Καλημέρα και από Θοδωρή. Καλημέρα Διονύση.
Όσον αφορά το ερώτημα του Θοδωρή, νομίζω το καλύπτει πλήρως η απάντηση του Διονύση. Δεν είναι θέμα μονάδων.
Όσον αφορά το πρόβλημα του έργου, που θέτεις Διονύση, η ανάλυσή σου νομίζω ερμηνεύει με τον καλύτερο τρόπο την κατάσταση. Η μεταφορά της δύναμης στο κ.μ. και η αντικατάστασή της από μια δύναμη και μια ροπή ζεύγους, δεν αφήνει καμιά αμφιβολία.
Αλλά, δεν ξέρω πόσο χρησιμοποιείται στην εκπαιδευτική διαδικασία, αφού δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο και οι περισσότεροι συνάδελφοι αρνούνται να παρέμβουν εμπλουτίζοντας τη διδασκαλία τους…
Θα μπορούσε λοιπόν, εκ των ενόντων, να διδάξει κάποιος, με βάση την εξής λογική.
Το πρώτο πράγμα που εξετάζουμε είναι αν το στερεό εκτελεί μόνο στροφική κίνηση ή έχουμε και μεταφορά του κ.μ.
Αν η κίνηση είναι καθαρά στροφική, μπορεί ο μαθητής να δουλέψει, είτε παίρνοντας το έργο της ροπής, είτε υπολογίζοντας το έργο από την πρωταρχική εξίσωση W=FΔx συνα, όπου Δx η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης.
Αν όμως έχουμε σύνθετη κίνηση και μετατόπιση του κέντρου μάζας, τότε ασφαλέστερος δρόμος είναι αυτός που εφαρμόζει την παραπάνω εξίσωση (W=FΔx συνα) αφήνοντας στην άκρη το έργο της ροπής.
ΥΓ
Βέβαια αν θέλουμε να εμπλέξουμε την "μεταφορική" και την "περιστροφική" κινητική ενέργεια, τότε θα μπορούσαμε "υπολογιστικά" να σπάσουμε και το έργο, σε έργο κατά τη μεταφορά και έργο κατά την περιστροφή.
Υπολογιστικά θα είμαστε "σωστοί", επί της ουσίας θα έχουμε κάποιο προβληματάκι, αλλά ποιος νοιάζεται;
Καλημέρα Διονύση. Η διδακτική σου προσέγγιση με βρίσκει σύμφωνο. Το πρώτο που πρέπει να ελέγχει ένας μαθητής είναι το είδος της κίνησης. Αν είναι αμιγώς στροφική, δεν έχει σημασία αν θα ονομάσει το έργο «έργο δύναμης» ή «έργο ροπής». Σημασία έχει πως θα το υπολογίσει. Αν η κίνηση είναι σύνθετη, έχω παρατηρήσει ότι οι μαθητές μπαίνουν πιο εύκολα στη λογική δύο «ξεχωριστών» έργων, παρά στο έργο της δύναμης, διότι συνήθως δυσκολεύονται στην εύρεση της μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της.
Θα συμφωνήσω ότι πρέπει να δοθεί έμφαση στο γεγονός ότι το έργο είναι ένα και να δοθούν ενναλακτικές ανάλογα με την περίσταση, πράγμα που διαπραγματεύεσαι πού σωστά. Επίσης στο SI το rad είναι αδιάστατο μέγεθος
Καλημέρα Αποστόλη και Τάσο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χαίρομαι για τη συμφωνία και τον παράλληλο τρόπο…σκέψης!
Διονυση καλησπέρα
Απόλυτα διδακτικό. Και εγώ συμφωνώ το έργο είναι ένα τώρα ανάλογα με την περίσταση το εκφράζουμε όπως μας βολεύει. Για παραδειγμα το έργο του βάρους στις ράβδους αποκλειστικά θα λέγαμε το γράφουμε ως διαφορά δυναμικής ενέργειας.
Καλησπέρα Χρήστο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα και πάλι και ευχαριστώ για την απάντηση…
Προφανώς και το rad εφόσον δεν αποτελεί μονάδα φυσικού μεγέθους εμφανίζεται
ή όχι κατά βούληση…
Δηλαδή Διονύση, στο εσωτερικό γινόμενο dW = τ·dθ , το rad δεν εμφανίζεται αλλά
η φυσική σημασία του μεγέθους μας υποχρεώνει να "βαφτίσουμε" το N*m ως Joule;
Νομίζω πως σε κάποια βιβλία μηχανικών το έργο μετριέται σε N*m χωρίς να αναφέρεται
ο όρος Joule. Ξέρεις κάτι Διονύση;
Αν ισχύει αυτό, τότε παρόλο που έχει διαφορετική φυσική σημασία από την ροπή,
εκφράζεται με τον ίδια μονάδα….και μπερδεύει λίγο τα πράγματα….
Καλησπέρα Θοδωρή,
Έχεις δίκιο για το rad, αποτελεί μεν μονάδα μέτρησης γωνίας, αλλά επειδή είναι αδιάστατο το παραλείπουμε κατά … όπως μας βολεύει.
Πράγματι η χρήση της μονάδας 1 N·m ως μονάδας έργου μπορεί να προκαλέσει σύγχυση, γι' αυτό και αποτρέπεται από την iupac η χρήση της στο S.I.
Οι Μηχανικοί / Μηχανολόγοι όμως συχνά ξεφεύγουν, πιθανώς από τη δύναμη της συνήθειας ή για πρακτικούς λόγους.
Υπάρχει και πιο … χτυπητό παράδειγμα από μέρους τους
:
Από τη σχέση W = τ·Δθ, λύνοντας ως προς τ προκύπτει τ = W/Δθ, από όπου και η μονάδα ροπής 1 Joule/rad !!
Δηλαδή το 1 Joule/rad είναι η ροπή εκείνη που προσφέρει στον στρεφόμενο άξονα 1 Joule ενέργειας για κάθε ακτίνιο στροφής. Έχει τη λογική του, δεν λέω …