by 
Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Στο πάνω μέρος της υπάρχει κρουνός. Αν τον ανοίξουμε ρίχνει νερό με σταθερή παροχή και γεμίζει την δεξαμενή σε 2 ώρες. Αυτό εφ’ όσον ο άλλος κρουνός που βρίσκεται κοντά στον πάτο της δεξαμενής, είναι κλειστός.
Ο άλλος κρουνός έχει τέτοια διάμετρο ώστε αν τον ανοίξουμε η δεξαμενή να αδειάζει σε 3 ώρες, εφ’ όσον δεν τροφοδοτείται από τον πάνω κρουνό.
Έστω ότι η δεξαμενή είναι άδεια και ότι ανοίγουμε ταυτόχρονα και τους δύο κρουνούς.
Θα γεμίσει η δεξαμενή;
Αν ναι, σε πόση ώρα;
Αν όχι, ποιο τμήμα της θα γεμίσει και σε πόση ώρα;
Η απάντηση έχει σχεδόν γραφεί.
Καλημέρα Παντελή
Καλημέρα Διονύση
Τη μαθηματική μου αδυναμία και τα όριά μου τα κατέχω ,όμως μ'αρέσουν οι ''μάχες'' με τα μαθηματικά εργαλεία …έστω και σαν θεατής.
Να'σαι καλά
Παρουσιάζει πάντως κάποια αναλογία με τη γνωστή λύση των χρονοκυκλωμάτων.
Νά 'σαι καλά Παντελή
Μας έχει σώσει το … WolframAlpha και το Graph
Καλημέρα παιδιά.
Η άσκηση γράφτηκε (σε απλούστερη εκδοχή) χάριν της κυκλοφορούσης:
"Μια δαξαμενή γεμίζει σε 3 ώρες αν ανοίξουμε τον κρουνό Α. Σε 6 ώρες αν ανοίξουμε τον Β.
Αδειάζει σε 4 ώρες αν ανοίξουμε τον Γ. Σε πόση ώρα θα γεμίσει αν ανοίξουμε και τους τρεις κρουνούς;"
Κυκλοφορεί λύση με σταθερή την παροχή του Γ κρουνού:
-Σε 1 ώρα ο Α έχει γεμίσει το 1/3. Ο Β το 1/6. Ο Γ έχει αδειάσει το 1/4. Έτσι σε μια ώρα έχει γεμίσει το 1/3+1/6-1/4=1/4 της δεξαμενής. Συνεπώς αυτή γεμίζει σε 4 ώρες.
Κάτι συνηθισμένο στην πρακτική αριθμητική, όπου οι παροχές είναι σταθερές και το πρόβλημα απομακρύνεται από την Φυσική.
Με τον κρουνό Γ στη βάση, φαίνεται εύκολα ότι η δεξαμενή γεμίζει σε άπειρο χρόνο. Όμως το νερό θα φτάσει ψηλά.
Έτσι άλλαξα τα δεδομένα ώστε να μην γεμίσει πλήρως.
Γιάννη και οι Διονύση καλησπέρα.
Βγάζω λύνοντας την διαφορική,
t = 2.25 ln (3/(3-4k))-3 k,
όπου h = k^2 h0, k μεταξύ μηδέν και 0.75 και h0 το αρχικό ύψος στην δεξαμενή και h το ύψος και με τους δύο κρουνούς ανοικτούς.
Δυστυχώς γράφω από κινητό και δεν μπορώ να δώσω αναλυτική λύση (το βράδυ αν προλάβω).
Η συνάρτηση t απειρίζεται στο άνω άκρο, οπότε καταλήγω στα ίδια αποτελέσματα με εσάς.
Καλησπέρα Στάθη.
Ο απειρισμός είναι αναμενόμενος σε κάθε ανάλογο θέμα. Η "ταχύτητα" εισροής τείνει στο μηδέν αλλά δεν μηδενίζεται ποτέ.
Πρακτικά σε κάποιο πρόβλημα πρέπει να ανεχθούμε μια προσέγγιση της τάξης του 1/1000 του όγκου που θα γεμίσει.
Γιάννη γειά σου και πάλι.
Τον απειρισμο μπορούμε να τον καταλάβουμε και πριν την διαφορικη εξίσωση; Εννοώ προκύπτει από κάπου αλλού που δεν έχω σκεφτεί; Γιατί αρχικά πίστευα ότι ο χρόνος θα προεκυπτε πεπερασμενος.
Στάθη μπορούμε να τον καταλάβουμε σχεδόν πάντοτε διαισθητικά.
Παράδειγμα πρώτο:
Δεξαμενή αδειάζει. Όταν το νερό φτάσει σε μικρό ύψος (όσο η διάμετρος του σωλήνα εκροής) όλα τελειώσανε.
Αν μάλιστα έχουμε τρύπα στον πάτο, αυτονόητα αναμένουμε πεπερασμένο χρόνο.
Παράδειγμα δεύτερο:
Η φόρτιση πυκνωτή. Όταν η διαφορά δυναμικού πλησιάζει την ΗΕΔ της πηγής, η "ταχύτητα" της φόρτισης τείνει στο μηδέν.
Ποτέ δεν θα γίνει μηδέν, ποτέ δεν θα τελειώσει (μαθηματικά) το φαινόμενο. Όμως όταν φτάνουμε να μιλάμε για φορτία της τάξης του φορτίου του ηλεκτρονίου που δεν έχουν ακόμα αποτεθεί, καταλαβαίνουμε ότι το φαινόμενο τελείωσε. Έτσι μιλάμε για τις 8-6 σταθερές χρόνου. Στις 5 σταθερές χρόνου έχει αποτεθεί το 99,32% του φορτίου. Στις 6 το 99,75% του φορτίου. Στις 10 σταθερές χρόνου το 99,99%.
Το τρίτο παράδειγμα είναι η παρούσα περίπτωση. Μας είναι οικεία από καζανάκια που "τρέχουν". Τα ακούς να γεμίζουν συνεχώς.
Γιάννη το τελευταίο παράδειγμα με το καζανακι που "τρέχει" είναι ακριβώς η περίπτωση που εξετάζουμε. Έχεις δίκιο.
Αναρωτιέμαι αν η συγκεκριμένη συμπεριφορά μπορεί να προβλέπτει εξ αρχής και όχι διαισθητικα…
Διόρθωση: εξ' αρχών είναι το σωστό και όχι εξ αρχής.
Υπάρχει η σχέση αιτίου-αποτελέσματος. Για παράδειγμα ένας τύπος πέφτει από το αεροπλάνο χωρίς να ανοίξει το αλεξίπτωτο.
Θα σταθεροποιηθεί η ταχύτητά του;
Για να γίνει αυτό πρέπει να μηδενισθεί η επιτάχυνση. Για να μηδενισθεί η επιτάχυνση πρέπει να σταθεροποιηθεί η ταχύτητα.
Επομένως ποτέ δεν θα σταθεροποιηθεί (μαθηματικά) η ταχύτητά του.
Όμως μιλάμε για κάποιες σταθερές χρόνου διότι απειροστές αυξήσεις ταχύτητας είναι μη ανιχνεύσιμες.
Έτσι στην παρούσα ανάρτηση όταν ζητούσα από το Graph να υπολογίσει το ολοκλήρωμα μέχρι τα 9/16 μου έλεγε ότι δεν υπάρχει (error).
Όταν του έλεγα όμως μέχρι 0,56 ή μέχρι 0,5625 έβγαζε αποτελέσματα που διέφεραν αισθητά.
Το πρόβλημα με τους τρεις κρουνούς δεν το έλυσα με Graph. Κατάλαβα πάλι τον απειρισμό με την λογική αιτίου-αιτιατού.
Καλησπέρα σε όλους.
Λίγο καθυστερημένα η λύση που προτείνω εδώ.