by 
Αγαπητοι συναδελφοι παρατηρησα οτι στη λυση του 3ου ερωτηματος αναφερεται πως δεν μπορει να εφαρμοστει το θεωρημα Τορικελι..εχετε καμια ιδεα γιατι ? επισης στο 5ο ερωτημα καταληγει πως η πιεση στο σημειο Γ ειναι μεγαλυτερη της ατμοσφαιρικης..πως ειναι δυνατον αυτο αφου στο ακραιο σημειο ( τα 2 σημεια ανηκουν στην ιδια ρευματικη γραμμη και στην περιπτωση αυτη δεν υπαρχει διαφορα υψους ) η ταχυτητα ειναι ιση με την ταχυτητα στο Γ ωστε η παροχη να διατηρειται σταθερη.
Εν πάση περιπτώσει εντόπισε το λάθος μου. Πες μου π.χ. ότι το κόκκινο νερό έχει σε όλη του τη μάζα μηδενική ταχύτητα.
Διότι μόνο αν σε όλη του τη μάζα έχει μηδενική ταχύτητα θα προκύψει ταχύτητα ρίζα (2g.h).
Που κάνω λάθος στην διατήρηση της ενέργειας;
Γιάννη, πραγματικά δεν καταλαβαίνω. Τα δικά μου έγραψα και δεν προσπάθησα να απαντήσω με βάση τη δική σου λογική;
Για να το πάρουμε λέξη-λέξη
Αυτή δεν είναι η πρώτη σου λύση αυτή; Δεν έδωσες ταχύτητα στη μαζούλα; Η μαζούλα αυτή δεν την έχεις βάλει σε ύψος h; Αλλά τότε δεν είναι "σχεδόν" στην επιφάνεια; Τι διαστρέφω;
Αυτή δεν είναι η 2η λύση σου; Δεν μιλάς για δυναμική ενέργεια του βαμμένου νερού που μειώνεται; Δεν μιλάς για μάζα που "χάθηκε" και που είχε κινητική ενέργεια 1/2 dm.(υ^2/4);
Αυτό αμφισβήτησα. Δεν υπάρχει αυτή η μάζα που έχει αυτή την αρχική κινητική ενέργεια. Αφού όταν έχουμε εκροή νερού μάζας m, η μάζα που "χάνεται" δεν είναι από το βαμμένο νερό της στήλης που λες, αλλά από μια πολύ μεγαλύτερου εμβαδού στήλη, που περιλαμβάνει και τα δύο δοχεία…
Στο πρώτο:
Αυτή δεν είναι η πρώτη σου λύση αυτή; Δεν έδωσες ταχύτητα στη μαζούλα; Η μαζούλα αυτή δεν την έχεις βάλει σε ύψος h; Αλλά τότε δεν είναι "σχεδόν" στην επιφάνεια; Τι διαστρέφω;
Δεν με ενδιαφέρει η επιφάνεια ή το σχεδόν στην επιφάνεια. Δεν θέλησα να με ενδιαφέρει διότι διαφωνούμε για την ταχύτητά της.
Έτσι τοποθέτησα την μαζούλα σε περιοχή κόκκινη. Περιοχή που υπάρχει ροή. Η μαζούλα επομένως έχει ταχύτητα υ/2, ασχέτως του ποια ταχύτητα έχει η επιφάνεια. Αν θέλεις δεν είναι στην επιφάνεια αλλά κάποια χιλιοστά πιο κάτω. Πιστεύεις ότι το εκεί νερό είναι ακίνητο;
Διότι μόνο με ακίνητο νερό βγαίνει ρίζα(2g.h).
Γιάννη λες ότι δεν ασχολείσαι με φλέβες αλλά:
«Ηθελημένα δεν ασχολούμαι με φλέβες. Ασχολούμαι με την κινητική ενέργεια του βαμμένου νερού. Δεν έχει κινητική ενέργεια;»
Παίρνω το σχήμα σου και θέλω να δούμε τι γίνεται με τις ενέργειες του νερού που έχω χρωματίσει πράσινο, στις 3 θέσεις του σχήματος.
Έχει σε κάποια θέση μεγαλύτερη ταχύτητα, κινητική ενέργεια; Η δυναμική του ενέργεια είναι ίδια; Πώς θα εφάρμοζες τη διατήρηση της ενέργειας για την ποσότητα αυτή; Πώς θα απαντούσες στο επιχείρημα ότι:
"Η μαζούλα επομένως έχει ταχύτητα υ/2, ασχέτως του ποια ταχύτητα έχει η επιφάνεια."
Κινείται το πράσινο νερό με σταθερή ταχύτητα προς τα κάτω και μειώνεται η δυναμική του ενέργεια;
Στη συνέχεια λες:
Αυτή δεν είναι η 2η λύση σου; Δεν μιλάς για δυναμική ενέργεια του βαμμένου νερού που μειώνεται; Δεν μιλάς για μάζα που "χάθηκε" και που είχε κινητική ενέργεια 1/2 dm.(υ^2/4);
Αυτό αμφισβήτησα. Δεν υπάρχει αυτή η μάζα που έχει αυτή την αρχική κινητική ενέργεια. Αφού όταν έχουμε εκροή νερού μάζας m, η μάζα που "χάνεται" δεν είναι από το βαμμένο νερό της στήλης που λες, αλλά από μια πολύ μεγαλύτερου εμβαδού στήλη, που περιλαμβάνει και τα δύο δοχεία…
Δεν ασχολούμαι με το νερό που αναπλήρωσε το κόκκινο νερό που χύθηκε. Θα ασχοληθώ με αυτό αργότερα ίσως.
Δεν χύθηκε dm μάζα κόκκινου νερού;
Δεν κατέβηκε κατά ένα dx μάζα dm κόκκινου νερού;
Δεν μειώθηκε η δυναμική ενέργεια του κόκκινου νερού κατά dm.g.h ;
Το κόκκινο νερό δεν έχει ταχύτητα;
Δεν ισχύει η συνέχεια εδώ;
Καλησπέρα φίλοι.
Προσπαθώ από χθες να καταλάβω …και νομίζω ότι εντόπισα την πηγή της διαφωνίας ( άσχετη με το 5ο ερώτημα αλλά σχετικό με το 3ο ερώτημα της άσκησης )
Ασφαλώς η ισχύς του πορίσματος Torricelli προϋποθέτει μηδενική ταχύτητα στην επιφάνεια.
Το ερώτημα είναι αν η ταχύτητα είναι στην επιφάνεια μηδενική όταν υπάρχει και μικρή διαφορά διατομών και βρύση που αναπληρώνει το νερό που κατεβαίνει ή είναι ίση με την ταχύτητα που έχει και στο μέσο της δεξαμενής.
Το επιχείρημα του Γιάννη τραβώντας το στα άκρα.
Έχω μια βρύση που γεμίζει ένα ακίνητο κλειστό δοχείο με νερό ανυψώνοντας την στάθμη μέσα σε αυτό κατά 1 cm /s . Προφανώς το νερό πέφτωντας στην εκάστοτε ελεύθερη επιφάνεια αποκτά ταχύτητα 0=μηδενική.
Επαναλαμβάνω το πείραμα με δοχείο που πέφτει με σταθερή ταχύτητα 1cm/s . Προφανώς το νερό και πάλι γεμίζει το δοχείο ώστε αν και πέφτει ο πυθμένας με 1 cm/s … η στάθμη να παραμένη στο ίδιο ύψος αφού προστίθεται συνεχώς 1 cm/s νερό
Ποια είναι η ταχύτητα του νερού αμέσως μετά την ενσωμάτωσή του στο δοχείο ; Μηδέν ή 1cm/s προς τα κάτω μαζί με όλο το υπόλοιπο δοχείο ;
Γράφαμε μαζί, αλλά είναι φανερό ότι τελευταίο σχόλιο είναι το δικό μου… προτελευταίο.
Αλλά και τελευταίο για απόψε, αφού πρέπει να πάω και και θερινό…
Ο φλοίσβος περιμένει…
Το πράσινο νερό που σχεδίασες έχει ταχύτητα σταθερή διότι η άνωση είναι ίση με το βάρος.
Η ταχύτητά του αυξάνει την στιγμή της εκροής.
Όμως δεν ασχολήθηκα με το πράσινο νερό. Για να βγάλουμε άκρη πρέπει να εντοπίσουμε δύο λάθη. Ένα στην πρώτη μου απόδειξη και ένα στη δεύτερη.
Η μαζούλα μου έχει σταθερή ενέργεια διότι δεν παράγεται έργο επ' αυτής και η δυναμική της ενέργεια γίνεται κινητική. Που είναι το λάθος;
Που είναι το λάθος στην άλλη λύση με την διατήρηση ενέργειας του κόκκινου νερού;
Επαναλαμβάνω ότι για να βγει ρίζα(2gh) πρέπει να θεωρήσουμε όλο το κόκκινο νερό ακίνητο. Είναι;
Μήτσο πιστεύω ότι το ενσωματούμενο νερό αποκτά την ταχύτητα του σωλήνα.
Όπως στην κυλιόμενη σκάλα. Όποιος μπαίνει μπαίνει με την ταχύτητα της σκάλας.
Η συζήτηση δεν έβγαζε άκρη. Είχε καταλήξει σε:
-Είναι μηδέν!
-Όχι είναι υ/10!
Έτσι για να βγει μια άκρη παρέκαμψα την επιφάνεια. Πήρα ένα τμήμα του νερού το οποίο δεν μπορεί να έχει μηδενική ταχύτητα.
Έβγαλα κάτι.
Έπειτα λέω ότι για να προκύψει ταχύτητα ρίζα(2gh) θα πρέπει υποχρεωτικά όλο το κόκκινο νερό να έχει μηδενική ταχύτητα.
Αυτό παραβιάζει την συνέχεια. Και τμήμα μόνο του νερού να έχει ταχύτητα, θα προκύψει ταχύτητα εκροής μεγαλύτερη από ρίζα(2g.h).
Καλή διασκέδαση Διονύση.
Κάνω μια υπόθεση εργασίας που καταλήγει σε άτοπο:
Αν λοιπόν δεν κάνω λάθος και έχουμε παράλογο συμπέρασμα, τότε η ταχύτητα δεν μπορεί να είναι τόση όση υπολογίζεται από το θεώρημα Τορικέλι. Πρέπει να είναι μεγαλύτερη.
Περιμένω και εντοπισμό λάθους που έχω κάνει στο παρόν σχόλιο.
Γιάννη καλησπέρα.
Θυμάμαι και μία παλιά συζήτηση για το θεώρημα Torricelli. Τείνω να συμφωνήσω με τον Διονύση. Τότε είχα γράψει αυτό.
Όλο το κόκκινο νερό είναι ακίνητο, και ροή έχω στην πραγματικότητα μόνον στην οριζόντια φλέβα της βάσης του δεξιού δοχείου. Στο απέναντι της οπής τοίχωμα η πίεση ισούται με pat +ρ g h και η ταχύτητα είναι μηδενική. Στην οπή η πίεση πέφτει σε pat και η ταχύτητα εξόδου ισούται με sqrt(2 g h). Αυτή κατά την γνώμη είναι η βασική προσέγγιση που κάνουμε με το θεώρημα.
Έρχομαι τώρα στο τι γίνεται με την πλεονάζουσα ενέργεια μίας μαζούλας νερού που εισέρχεται με κάποια κινητική ενέργεια στο κόκκινο δοχείο από το πάνω μέρος. Νομίζω η απάντηση είναι στάσιμα κύματα στην επιφάνεια. Εγκλωβίζεται σε αυτά. Έτσι δεν υπάρχει ροή. Αν συνεχιστεί για αρκετό χρόνο το φαινόμενο και δεν υπήρχαν αποσβέσεις και η στάθμη του κόκκινου δοχείου δεν αλλάξει, τότε το νερό θα πιτσιλιέται εκτός του δοχείου (όπως έγραψε παλιότερα και ο Διονύσης Μητρόπουλος).
Ας το δούμε και διαφορετικά. Αν Α2 η διατομή εισόδου νερού στο κόκκινο δοχείο και Α1 η διατομή εξόδου στην βάση του, τότε η εξίσωση της συνέχειας είναι
Α2 υ2 -Α1 υ1 = A (dh/dt),
όπου Α η διατομή βάσης του κόκκινου δοχείου και h το ύψος της στάθμης. Έτσι η ταχύτητα καθόδου της επιφάνειας του νερού ισούται με dh/dt και είναι πολύ μικρή γιατί Α1 << Α και Α2 << Α. Η εξίσωση αυτή ισχύει για οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας του κόκκινου νερού, άρα όλα τα σημεία της έχουν σχεδόν μηδενική ταχύτητα ροής.
Κλείνω με κάθε επιφύλαξη και καταλήγοντας ότι με τα ρευστά ποτέ δεν μπορεί να είσαι σίγουρος…
Γιάννη αν και τείνω να συμφωνήσω με το σκεπτικό σου ( ταχύτητα επιφάνειας μη μηδενική)
ωστόσο το τελευταίο επιχείρημα σου περί άτοπου δεν το καταλαβαίνω.
Το σύστημα είναι ανοικτό. Σε χρόνο dt μια μάζα dm εξέρχεται με Κ=dmgh ( κάτω) και εισέρχεται μια μάζα dm με δυναμική U=dmgh (πάνω)…. προφανώς η ροή εντός του δοχείου είναι μόνιμη και η ενέργεια παραμένει σταθερή διότι όση εισέρχεται τόση εξέρχεται …
Δεν βλέπω κάποιο άτοπο σε αυτό.
Βέβαια δεν θα ήταν και άτοπο αν σε χρόνο dt μια μάζα dm εξέρχεται με Κ΄=Κ+dmgh ( κάτω) και εισέρχεται μια μάζα dm με κινητική Κ και δυναμική U=dmgh ( πάνω ) και…. προφανώς η ροή εντός του δοχείου είναι μόνιμη και η ενέργεια παραμένει σταθερή διότι όση εισέρχεται τόση εξέρχεται …
όπως υποστηρίζεις εσύ
Δεν είμαι σίγουρος και θα το συζητήσουμε ποιο είναι το σωστό αλλά νομίζω πως ΓΕΝΙΚΑ είτε έχουμε είτε δεν έχουμε αναπλήρωση ισχύει :
Στάθη θα διαφωνήσω.
Η συνέχεια επιβάλλει ροή σε όλο το κόκκινο υγρό. Με ταχύτητα υ/2.
Η αναπλήρωση νερού μπορεί να γίνει με οιονδήποτε τρόπο. Με την διάταξη που πρότεινε ο Διονύσης και επεξεργάστηκα πριν δεν βλέπω στάσιμα.
Επίσης άλλο πράγμα είναι η ταχύτητα της επιφάνειας του νερού και άλλο η ταχύτητα του νερού της επιφάνειας.
Πέραν αυτών ποιο λάθος έχω κάνει πριν;
Ηθελημένα απέφυγα πιέσεις και τα σχετικά και περιορίστηκα στην πολύ κατανοητή γλώσσα της ενέργειας.
Που είναι το λάθος;
Γιατί συμφωνούν οι δύο επεξεργασίες;
Πως αίρεται το άτοπο που παρουσιάζω στο προηγούμενο σχόλιό μου;
Μήτσο δεν είναι ακριβώς έτσι. Το νερό που κάθεται προσφέρει έργο dm.g.dy δηλαδή δεύτερη τάξη, δηλαδή αμελητέο.
Η δυναμική ενέργεια όμως του συστήματος μειώνεται κατά dm.g.h και όχι κατά dm.g.dy.
Ασχολούμαστε με το κόκκινο νερό. το σύστημα δεν είναι ανοιχτό. Είναι σύστημα σταθερής μάζας. Η ενέργειά του διατηρείται (προσφορά απειροστού έργου) .
Αν το "κάθισμα" του μπλε νερού πρόσφερε ενέργεια (ας το δεχθούμε στιγμιαία) θα είχαμε ακόμα μεγαλύτερη ταχύτητα.
Αν η ταχύτητα είναι ρίζα(2g.h) τότε αναγκαστικά θα πρέπει το κόκκινο νερό να μην έχει ταχύτητα.
Στάθη άλλο πράγμα είναι το να προσεγγίζουμε με μηδέν την ταχύτητα του νερού στο δοχείο ως ασήμαντη προ της ταχύτητας εκροής και άλλο το να δεχόμαστε πως είναι μηδενική.
Αν ήταν μηδενική η ταχύτητα του νερού στην επιφάνεια, πόση είναι 1mm πιο κάτω;
Πόση 10cm πιο κάτω;
Καταλαβαίνεις που οδηγεί η ιστορία αυτή.
Πέραν τούτου, ποιο λάθος έχω κάνει;