by 
Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;
Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.
Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.
Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.
Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!
Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;
Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:
Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:
Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ= μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.
Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.
Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια διαφορά (στο 2ο νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο
Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο
Αφιερωμένη στο Γιάννη Κυριακόπουλο.
Δεν ξέρω αν την διαβάσει, αφού τώρα κάνει τα μπάνια του στο Ρέθυμνο, πίνοντας τις τσικουδιές του με τον Παντελή…
Αλλά για, …. όταν την διαβάσει…
Εξαιρετικό κείμενο Διονύση. ΜΠΡΑΒΟ. Με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να ανοίξει η συζήτηση τι ρόλο παίζει το αντηχείο σε ένα μουσικό όργανο όπως πχ στη κιθάρα. Τα ηχητικά κύματα δεν τα δημιουργεί προφανώς η χορδή αλλά το αντηχείο, αφού από μόνη της η χορδή ίσα-ίσα που ακούγεται. Η χορδή παίζει απλά το ρόλο του διεγέρτη για το αντηχείο. Πως όμως μεταφέρεται η ενέργεια από τη χορδή στο αντηχείο; τι συμβαίνει με την ενέργεια όταν δεν υπάρχει αντηχείο; η ταλάντωση της χορδής διαρκεί περισσότερο χωρίς αντηχείο; Πως το αντηχείο διεγείρεται σε οποιαδήποτε συχνότητα της χορδής με παρόμοιο σχεδόν τρόπο; Δηλαδή πως τα στάσιμα στη χορδή έχουν μία συγκεκριμένη θεμελιώδη ενώ τα στάσιμα στο αντηχείο έχουν θεμελιώδη την εκάστοτε της χορδής; Ποιες αρμονικές συνοδεύουν τη θεμελιώδη ώστε να δίνει την κατάλληλη χροιά στο κάθε όργανο; κλπ κλπ
Καλησπέρα και από εδώ Πάνο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, όσο για τα ερωτήματά σου, νομίζω ότι αξίζουν να γίνουν ένα αυτόνομο θέμα συζήτησης στο φόρουμ!
Ας μείνουμε λίγο στην συρταριέρα και αφού βρεθεί ικανοποιητική απάντηση, βάλε το ερώτημα στο φόρουμ…
Πάνο, Διονύση και λοιποί, καλημέρα.
Μόλις γύρισα από 3ήμερα μπάνια στα Σύβοτα και είδα το ενδιαφέρον αυτό πρόβλημα. Πρόκειται για μια περίπτωση ενός γενικότερου προβλήματος διάδοσης κύματος σε μονοδιάστατο μέσον. Το πρόβλημα είναι το εξής:
Να προσδιοριστεί το οδεύον και το επιστρέφον κύμα σε ένα μέσον όταν στα άκρα του μέσου εφαρμόζονται κάποιες δεδομένες συνθήκες.
Στο πρόβλημα αυτό του Διονύση οι συνθήκες είναι οι εξής: στο αριστερό άκρο έχουμε αρμονική ταλάντωση συγκεκριμένου πλάτους και στο δεξί άκρο ταλάντωση μηδενικού πλάτους. Η συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης (σύστημα δύο εξισώσεων με μιγαδικούς εκθετικούς όρους) προσδιορίζει τα πλάτη του οδεύοντος και του επιστρέφοντος κύματος. Η υπέρθεση των δύο κυμάτων δίνει ένα στάσιμο κύμα που το μέγιστο πλάτος του (το πλάτος στις κοιλίες) είναι συνήθως μεγαλύτερο του πλάτους ταλάντωσης του αριστερού άκρου.
Συνάδελφοι, με λίγα μαθηματικά έχουμε πεντακάθαρη λύση. Αλλά φαίνεται ότι τα μαθηματικά είναι θέμα ταμπού. Ειλικρινά δεν υπάρχει πρόβλημα σ΄ αυτό το "πρόβλημα". 'Η μάλλον θα άξιζε να εξεταστεί το εξής θέμα: έστω ότι η συχνότητα ταλάντωσης είναι τέτοια ότι στο αριστερό άκρο να υπάρχει δεσμός. Τι θα συμβέί τότε;
Και εδώ δυστυχώς χωρίς μαθηματικά θα το συζητάμε μέχρι το 2150 χωρίς να καταλήγουμε κάπου.
Καλημέρα και καλώς επέστρεψες Νίκο.
Θα περίμενε κάποιος μετά τα μπάνια στα Σύβοτα να γύριζες ….πιο χαλαρός
Παραπάνω πρότεινα μια λύση στο πρόβλημα, με την οποία, από ό,τι κατάλαβα, διαφωνείς πλήρως!
Δυο ερωτήματα, μήπως και διαπιστώσουμε γρήγορα και με σαφήνεια το λόγο διαφωνίας.
– Διάβασες την ανάρτηση; Νομίζω ότι δεν το έκανες. Αν το είχες κάνει, θα διαπίστωνες ότι με μια διαφορική ασχολείται και ας λέω αρχικά ότι δεν θα είναι στόχος μας τα Μαθηματικά… Με κατηγορείς ότι αντιμετώπισα το πρόβλημα χωρίς μαθηματικά; Πού το είδες αυτό;
-Στη λύση που προτείνεις (και είναι η λύση που τόσα χρόνια χρησιμοποιούμε όλοι μας!!! με εξαίρεση το Κυριακόπουλο…), προκύπτει ένα πλάτος στις κοιλίες. Αν το ένα άκρο ταλαντώνεται με πλάτος Α, ποιο είναι το πλάτος των κοιλιών;
Είναι Α; Είναι 2Α; Είναι μικρότερο από 2Α; Είναι μεγαλύτερο από 2Α;
Μπορεί ο καθένας μας Νίκο, να προτείνει μια μαθηματική αντιμετώπιση του προβλήματος. Το αν η λύση του είναι σωστή ή όχι, ποιος θα το κρίνει; Είναι σωστή η λύση που έχει τα ανώτερα και περισσότερα μαθηματικά ή είναι άλλο το κριτήριο που θα μας κάνει να επιλέξουμε τη μια ή την άλλη αντιμετώπιση;
Καλημέρα Διονύση.
Ξεκίνησα χτες αργά να διαβάζω τα μαθηματικά σου, αλλά είδα ότι ξεκινάς από την κυματική εξίσωση και είπα: πάει μακριά η βαλίτσα. Ήμουν και κουρασμένος. Αλλά, τώρα που είμαι ξεκούραστος θα κοιτάξω τα μαθηματικά σου και θα σου κάνω κριτική μετά.
Για την ώρα μια περιεκτική μαθηματική αντιμετώπιση του προβλήματος είναι εδώ.
Διονύση διάβασα τα μαθηματικά σου, είναι ΟΚ, αλλά άκουσε και δυο λόγια από κάποιον που είναι «παλιός στην πιάτσα» (διδάσκω για 15 χρόνια «γραμμές μεταφοράς» σε μεταπτυχιακό πρόγραμμα του ΠΙ και όσα ξέρω για κύματα σε 1-διάστατα μέσα είναι από «μεταφορά» από τις γραμμές μεταφοράς).
Ξεκινάς από την κυματική εξίσωση με προφανή σκοπό να δείξεις ότι έχει λύση στάσιμου κύματος και να την προσδιορίσεις. Τη θεωρώ περιττή όλη αυτή την ιστορία. Γιατί είναι γνωστή η λύση της κυματικής εξίσωσης: είναι f(vt-x)+g(vt+x), δηλ. είναι η υπέρθεση ενός οδεύοντος και ενός επιστρέφοντος κύματος. Η γενική μεθοδολογία είναι να ξεκινάμε από αυτά τα δυο κύματα και να τα προσδιορίζουμε χρησιμοποιώντας αφ΄ ενός την «αρχική κυματομορφή», δηλ. την κυματομορφή της χορδής μεταξύ των άκρων της τη στιγμή t=0, και αφ΄ ετέρου τις οριακές συνθήκες.
Στην περίπτωσή μας που οι οριακές συνθήκες είναι αρμονικές ταλαντώσεις κυκλικής συχνότητας ω, το οδεύον και το επιστρέφον κύμα είναι αρμονικά κύματα κυκλικής συχνότητας ω. Το μήκος κύματος λ και το κυματάνυσμα k προκύπτουν από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Για να προσδιορίσουμε το πλάτος του οδεύοντος και του επιστρέφοντος κύματος λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που μας δίνουν οι οριακές συνθήκες.
Τα κύματα σε μονοδιάστατα μέσα δεν πρέπει γενικά να αναλύονται σε τρέχοντα και στάσιμα. Πρέπει να αναλύονται σε οδεύοντα και επιστρέφοντα. Γιατί δεν είναι όλες οι περιπτώσεις σαν αυτές που ξέρουμε απ΄ το σχολείο (είτε σαν καθηγητές είτε σαν πρώην μαθητές). Σε μια γραμμή μεταφοράς πχ μπορεί να βάλεις πηγή αρμονικής τάσης στο ένα άκρο και το άλλο να είναι ανοικτό. Τότε, ναι, δημιουργείς στάσιμο κύμα. Ή μπορεί να βάλεις πηγή αρμονικής τάσης στο ένα άκρο και το άλλο να είναι βραχυκυκλωμένο. Τότε πάλι δημιουργείς στάσιμο κύμα. Αλλά, πες ότι βάζεις πηγή αρμονικής τάσης στο ένα άκρο και στο άλλο κάποιον αντιστάτη. Ο αντιστάτης δίνει κάποια ανάκλαση στο οδεύον αλλά το πλάτος του επιστρέφοντος είναι μικρότερο του οδεύοντος. Το κύμα απ΄ την υπέρθεση πως θα το πεις; Αν ο αντιστάτης έχει αντίσταση ίση με τη χαρακτηριστική της γραμμής (την Z) το επιστρέφον μηδενίζεται.
Όταν έχουμε εγκάρσια ή διαμήκη κύματα σε χορδή, μπορούμε στα αριστερό άκρο να βάλουμε την αρμονική πηγή και στο δεξιό ένα απορροφητικό μέσον. Αυτό το μέσον θα δίνει μια μερική ανάκλαση του οδεύοντος έτσι ώστε να μην δημιουργείται ούτε στάσιμο ούτε οδεύον από αυτή την υπέρθεση. Δημιουργείται ένα κύμα που δεν περιγράφεται με άλλον τρόπο παρά μόνο σαν υπέρθεση δυο αντίθετα διαδιδόμενων κυμάτων. Και όταν η «αντίσταση» του απορροφητικού μέσου προσαρμόζει στην «χαρακτηριστική αντίσταση» της χορδής, υπάρχει πλήρης απορρόφηση της ενέργειας του κύματος από το μέσον. Το ανακλώμενο κύμα μηδενίζεται και υπάρχει μόνο το οδεύον.
Αλλά, αφού τα καταφέρνεις τόσο καλά στα μαθηματικά, όπως μας έδειξες, θα σου δώσω εγώ ένα θέμα να ασχοληθείς. Είναι απλώς μια παραλλαγή του θέματος που μας έβαλες.
Στο ένα άκρο της χορδής η πηγή έχει συχνότητα ω. Στο άλλο άκρο έχει επίσης συχνότητα ω αλλά διαφορετικό πλάτος και φάση. Λύσε το πρόβλημα των ταλαντώσεων των σημείων της χορδής. (αν τα καταφέρεις δώσε διαφορετικές συχνότητες στα δυο άκρα και ξαναδοκίμασε).
Καλησπέρα Νίκο.
Το ξέρω ότι διδάσκεις σε μεταπτυχιακό τμήμα τις γραμμές μεταφοράς, οπότε προφανώς είσαι ειδικός στο θέμα, ενώ αντίθετα δεν διεκδικώ για τον εαυτόν μου, ούτε τον ειδικό πάνω στο θέμα, αλλά και ούτε τον "ειδικό" σε μαθηματικές τεχνικές επίλυσης προβλημάτων.
Έκανα μια προσπάθεια, να δώσω απάντηση στο πρόβλημα που έθετε ο Γιάννης, χρησιμοποιώντας όσα μαθηματικά μου ήταν απαραίτητα, αλλά το "μαθηματικό πρόβλημα" δεν ήταν αυτοσκοπός. Ο σκοπός ήταν να αναδειχθεί το στάσιμο και τα χαρακτηριστικά του, με τρόπο που να μην εγείρει ενστάσεις και άσκοπες αντιπαραθέσεις…
Ρωτάω λοιπόν, σαν ένας άσχετος επί της ουσίας πάνω στο αντικείμενο που διδάσκεις.
Η γραμμή μεταφορά ενός σήματος είναι το ίδιο πράγμα με το μηχανικό κύμα πάνω σε μια τεντωμένη χορδή;
Επί της ουσίας δε πάνω στο θέμα της μελέτης παραπάνω, θα μπορούσαμε να διακρίνουμε το σωστό και το λάθος, αν προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα που έβαλα παραπάνω:
"Αν το ένα άκρο ταλαντώνεται με πλάτος Α, ποιο είναι το πλάτος των κοιλιών;
Είναι Α; Είναι 2Α; Είναι μικρότερο από 2Α; Είναι μεγαλύτερο από 2Α;"
Καλησπέρα Διονύση.
Από την τελευταία μου εξίσωση (την (11)) προκύπτει ότι η μέγιστη απομάκρυνση και ως προς x και ως προς t είναι |a|/sin(kl). Επειδή |a| είναι η μέγιστη απομάκρυνση στο αριστερό άκρο, καταλήγουμε ότι η μέγιστη απομάκρυνση στην κοιλία είναι τουλάχιστον |a| και δεν έχει άνω όριο. Πρέπει όμως να διερευνηθεί και η περίπτωση του τι γίνεται όταν η πηγή είναι σε δεσμό. Προφανώς δεν θα υπάρχει στάσιμη κατάσταση σ΄ αυτή την περίπτωση.
Στις γραμμές μεταφοράς και στα κύματα στη χορδή, υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία. Στις γραμμές μεταφοράς διαδίδονται κυματικά δυο ποσότητες: η τάση και η ένταση. Στα κύματα σε χορδή η ωκύτητα (δηλ. η τοπική ταχύτητα) και η δύναμη. Έτσι, και τα δύο αυτά συστήματα περιγράφονται από δυο διαπλεκόμενες πρώτης τάξης γραμμικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες καταλήγουν σε δυο μη διαπλεκόμενες δευτέρας τάξης ΓΔΕ, τις κυματικές εξισώσεις. Στις γραμμές μεταφοράς η ταχύτητα κύματος είναι η c διαιρεμένη με την τετρ. ρίζα της διηλεκτρικής σταθεράς του διηλεκτρικού της γραμμής.
Καλησπέρα Νίκο.
Τελικά δεν βλέπω να υπάρχει διαφορά στα αποτελέσματα, έστω και αν ο τρόπος αντιμετώπισης είναι διαφορετικός.
Εσύ βρίσκεις πλάτος στις κοιλίες |a|/sin(kl) ενώ εγώ είχα βρει:
Τι γίνεται αν η πηγή είναι σε δεσμό; Νομίζω ότι αναφέρεται στο τελευταίο μέρος των συμπερασμάτων.
Τότε έχουμε κάποια από τις ιδιοσυχνότητες και θεωρητικά το πλάτος στις κοιλίες απειρίζεται…
Πρακτικά βέβαια έχουμε απλά ένα μεγάλο πλάτος.
Διονύση καλησπέρα,
χωρίς να έχω να προσθέσω τίποτα στην ανάλυσή σου, σημειώνω τα εξής γνωστά (δυστυχώς χωρίς την δυνατότητα σχήματος, γράφω από κινητό):
Ο τύπος του σχολικού βιβλίου, y = 2A συν(kx) ημ(ωt), όπου 2Α το πλάτος σε μία κοιλία δίνει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με αυτές στην ανάρτησή σου.
Έστω χορδή ΑΒ μήκους L με το Β ακίνητο. Σε απόσταση λ/4 από το Β υπάρχει κοιλία Μ στην θέση x = L – λ/4 (x=0 το Μ). Τότε το άκρο Α ικανοποιεί την εξίσωση
y = 2A συν(k(L-λ4)) ημ(ωt),
με "πλάτος"
Β = 2A |συν(k(L-λ/4)) |= 2Α |ημ(kL)|.
Άρα αν θέσουμε με Γ=2Α το πλάτος μίας κοιλίας, τότε
Γ = Β/ημ(kL)
δηλαδή ότι το πλάτος της κοιλίας εξαρτάται από το μήκος της χορδής και το μήκος κύματος.
Καλησπέρα Στάθη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Συμφωνώ με την παραπάνω ανάλυση, η οποία ουσιαστικά είναι η απόδειξη που παραπάνω έδωσε ο Νίκος. Άλλωστε η εξίσωση του βιβλίου προέκυψε ως επαλληλία δύο οδευόντων κυμάτων που κινούνται αντίθετα, λογική με την οποία και ο Νίκος δούλεψε, έστω και με χρήση ανώτερων μαθηματικών.
Η "διαφορά" μας, που ελπίζω να πάψει να υφίσταται είναι η εξής:
Ποιο είναι το πλάτος της "πηγής"; Δηλαδή ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης με το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται το ένα άκρο της χορδής, με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί το πρώτο κύμα που οδεύει προς το σταθερό σημείο, στο οποίο θα ανακλαστεί;
Η συνήθης πρακτική (και του βιβλίου) μιλάει για πλάτος ταλάντωσης Α, που οδηγεί σε στάσιμο πλάτους 2Α. Και αυτό το σημείο διερεύνησα παραπάνω. Αυτή η πρακτική, δεν είναι σωστή.
Μια δεύτερη "πρακτική" είναι να αναγάγει την κατάσταση σε ηχητικό σωλήνα, όπου στο ένα άκρο είναι ανοικτός και στο άλλο κλειστός, έστω και αν δεν το ομολογούμε… Στην περίπτωση αυτή "επιβάλουμε" δεσμό στο σταθερό άκρο της χορδής και κοιλία στο ελεύθερο άκρο που τίθεται σε ταλάντωση. Αλλά τότε το πλάτος της πηγής, είναι το πλάτος μιας κοιλίας, ίσο με Α ή αν προτιμάς φαίνεται τελικά το ελεύθερο άκρο να ταλαντώνεται με πλάτος διπλάσιο της πηγής…
Καμία διαφωνία Διονύση. Τώρα διάβαζα και την ανάρτηση του Γιάννη, πολύ καλή όπως το συνηθίζει. Όσον αφορά το σχολικό, ουδέν σχόλιο…
Λες Διονύση " Πρακτικά βέβαια έχουμε απλά ένα μεγάλο πλάτος. " Εννοείς ότι λόγω της απόσβεσης δε θα έχουμε απειρισμό.
Εμένα με ενδιαφέρει η περίπτωση χωρίς απόσβεση. Απειρισμός υπάρχει στη στάσιμη κατάσταση αλλά αυτή θα συμβεί σε άπειρο χρόνο. Το θέμα είναι τι θα έχουμε όλα τα προηγούμενα χρόνια
Είναι όπως και στο συντονισμό. Ούτε εκεί υπάρχει απειρισμός αλλά συνεχής αύξηση της απομάκρυνσης. Αλήθεια, ισχύει η κυματική εξίσωση όταν βάλουμε πηγή στο δεσμό; Νομίζω πως όχι! Νομίζω πως το θέμα αποκτά άλλη πλοκή. Δημιουργείται εξαναγκασμένο κύμα. Η κυματική εξίσωση χάνει την ομογένειά της.
Κάποιος θεωρητικός εδώ γύρω;
Καλησπέρα Νίκο.
Αν δεν υπάρχουν αποσβέσεις;
Υποψιάζομαι!!!, ότι θα έχουμε κάτι αντίστοιχο με την εξαναγκασμένη ταλάντωση, μια συνεχή αύξηση του πλάτους, χωρίς να τελειώνουν ποτέ τα "μεταβατικά φαινόμενα"!!!!
Προφανώς η κυματική εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει, από ένα σημείο και μετά, αφού η "ήπια διαταραχή" δεν θα ισχύει, οπότε οι προϋποθέσεις που τέθηκαν (για τη διαμόρφωσή της), δεν θα ισχύουν.
Αλλά τότε δεν μπορούμε να στηριχτούμε ούτε στη λύση της διαφορικής, η οποία προφανώς δεν μπορεί να ισχύει.
Από κει και πέρα, εσύ είσαι θεωρητικός, εγώ τι να προσθέσω;