Σπύρο καλημέρα, πολύ ωραίο πρόβλημα και εξαιτερική η αντιμετώπισή του εκ μέρους σου.
Μια βοήθεια / διευκρίνηση (έχω παρα πολύ καιρό να ασχοληθώ με λογισμό των μεταβολών):
Εφ' όσον θέλουμε την ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της δυναμικής ενέργειας U, με έναν περιορισμό για το μήκος της χορδής, γιατί πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ στο ολοκλήρωμα Ι; Εννοώ ποια αρχή τον επιβάλλει στο πρόβλημά μας; Γιατί στο ίδιo αποτέλεσμα για το σχήμα της χορδής καταλήγουμε αν εφαρμόσουμε την εξίσωση Euler – Lagrange, απ' ευθείας στο συναρτησιακό U και όχι στο Ι.
Ίσως στο σημείο αυτό
"…
Έτσι το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποιήση του συναρτησιακού,
Καλησπέρα Στάθη. Είναι δικαιολογημένη η απορία σου. Δέν είναι υποχρεωτική χρήση της μεθόδου των πολλαλπασιαστών Lagrange για να προκύψει το αποτέλεσμα. Είναι απλά θέμα επιλογής. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα μάλιστα η λύση έχει περίπου την ίδια δυσκολία με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το πλεονέκτημα είναι ότι ενσωματώνεις από την αρχή τους όποιους περιορισμούς και στη συνέχεια μένει μόνο το τεχνικό κομμάτι της επίλυσης της εξίσωσης Euler – Lagrange. Απ' όσο θυμάμαι στα πιο πολλά προβλήματα η μέθοδος των πολλαπλασιαστών πλεονεκτεί σαφώς, ειδικά αν η συνάρτηση περιορισμού είναι πολύπλοκη.
Καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα, αλλά η μέθοδός μου ήταν διαφορετική.
Επειδή οι y συνιστώσες της F είναι ίσες στα δύο κομμάτια, η συνολική y συνιστώσα της δύναμης είναι 2Fy.
Αλλά κάθε Fy αποτελείται από δυο μέρη: Το ένα είναι η y συνιστώσα της τριβής και το άλλο η y συνιστώσα της κάθετης δύναμης. Το άθροισμα αυτών επί 2 είναι αντίθετο του βάρους του σχοινιού. Οι x συνιστώσες των δυνάμεων είναι αντίθετες και δεν τις λαμβάνω υπ΄ όψιν.
Οι δυο y συνιστώσες που περιέγραψα υπολογίζονται εύκολα και η εξίσωση του 2Fy με το βάρος του σχοινιού μας δίνει το μήκος του κάθε κομματιού του σχοινιού που είναι απλωμένο στο κάθε επίπεδο. Αφαιρώντας το 2πλάσιο αυτού του μήκους από το μήκος l, παίρνουμε το αιωρούμενο μήκος.
by 
Καλησπέρα Σπύρο.
Το σχοινί είναι συμμετρικά τοποθετημένο στα δυο κεκλιμένα επίπεδα;
Για το αιωρούμενο μήκος βρίσκω l-l/[συνθ(μημθ+συνθ)].
Καλησπέρα Νίκο.
Αποδεικνύεται ότι για να έχουμε μεγιστοποίηση πρέπει να είναι συμμετρικά τοποθετημένο.
Το αποτέλεσμα που δίνεις είναι σωστό.
Σ' ευχαριστώ που ασχολήθηκες.
Ήταν ενδιαφέρον το πρόβλημα.
Καλησπέρα Χρήστο.
Πολύ ωραίο πρόβλημα, μπράβο!
Με την αλυσοειδή καμπύλη, είχε ασχοληθεί παλιότερα και ο Βαγγέλης Κορφιάτης, γράφοντας για:
Τι σχήμα έχουν τα καλώδια της ΔΕΗ;
Σπύρο καλημέρα, πολύ ωραίο πρόβλημα και εξαιτερική η αντιμετώπισή του εκ μέρους σου.
Μια βοήθεια / διευκρίνηση (έχω παρα πολύ καιρό να ασχοληθώ με λογισμό των μεταβολών):
Εφ' όσον θέλουμε την ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της δυναμικής ενέργειας U, με έναν περιορισμό για το μήκος της χορδής, γιατί πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ στο ολοκλήρωμα Ι; Εννοώ ποια αρχή τον επιβάλλει στο πρόβλημά μας; Γιατί στο ίδιo αποτέλεσμα για το σχήμα της χορδής καταλήγουμε αν εφαρμόσουμε την εξίσωση Euler – Lagrange, απ' ευθείας στο συναρτησιακό U και όχι στο Ι.
Ίσως στο σημείο αυτό
"…
Έτσι το πρόβλημα ανάγεται στην ελαχιστοποιήση του συναρτησιακού,
Ι=
…"
να χρειάζεται μία παραπομπή ή μία διευκρίνηση.
Καλησπέρα Στάθη. Είναι δικαιολογημένη η απορία σου. Δέν είναι υποχρεωτική χρήση της μεθόδου των πολλαλπασιαστών Lagrange για να προκύψει το αποτέλεσμα. Είναι απλά θέμα επιλογής. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα μάλιστα η λύση έχει περίπου την ίδια δυσκολία με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το πλεονέκτημα είναι ότι ενσωματώνεις από την αρχή τους όποιους περιορισμούς και στη συνέχεια μένει μόνο το τεχνικό κομμάτι της επίλυσης της εξίσωσης Euler – Lagrange. Απ' όσο θυμάμαι στα πιο πολλά προβλήματα η μέθοδος των πολλαπλασιαστών πλεονεκτεί σαφώς, ειδικά αν η συνάρτηση περιορισμού είναι πολύπλοκη.
Σ' ευχαριστώ για το σχόλιο.
Σπύρο καλησπέρα.
Καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα, αλλά η μέθοδός μου ήταν διαφορετική.
Επειδή οι y συνιστώσες της F είναι ίσες στα δύο κομμάτια, η συνολική y συνιστώσα της δύναμης είναι 2Fy.
Αλλά κάθε Fy αποτελείται από δυο μέρη: Το ένα είναι η y συνιστώσα της τριβής και το άλλο η y συνιστώσα της κάθετης δύναμης. Το άθροισμα αυτών επί 2 είναι αντίθετο του βάρους του σχοινιού. Οι x συνιστώσες των δυνάμεων είναι αντίθετες και δεν τις λαμβάνω υπ΄ όψιν.
Οι δυο y συνιστώσες που περιέγραψα υπολογίζονται εύκολα και η εξίσωση του 2Fy με το βάρος του σχοινιού μας δίνει το μήκος του κάθε κομματιού του σχοινιού που είναι απλωμένο στο κάθε επίπεδο. Αφαιρώντας το 2πλάσιο αυτού του μήκους από το μήκος l, παίρνουμε το αιωρούμενο μήκος.