by 
Σώμα Σ₁ μικρών διαστάσεων και μάζας m₁ = 2 kg βρίσκεται πάνω στην αριστερή άκρη λείας σανίδας Σ₂ που έχει μάζα m₂ = 8 kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 4000 N/m είναι πάνω στη σανίδα, στερεωμένο με το ένα του άκρο σε προεξοχή που έχει η δεξιά άκρη της σανίδας. Το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου απέχει από το σώμα Σ₁ απόσταση S = 2 m.
Στις θέσεις αυτές, οι αρχικές ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι υ₁ = 10 m/s, με κατεύθυνση προς το ελατήριο, και υ₂ = 0. Ζητούνται:
- Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.
- Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων τη στιγμή που το ελατήριο επανακτά το φυσικό του μήκος.
- Το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το σώμα Σ₁ βρίσκεται πάνω στη σανίδα χωρίς να εφάπτεται στο ελατήριο.
Καλημέρα σε όλους,
Γνωστό και κυκλοφορημένο το θέμα, το ανέβασα κυρίως για το τελευταίο ερώτημα που μου φάνηκε ενδιαφέρον.
Καλημέρα Διονύση.
Πράγματι ενδιαφέρον το τελευταίο ερώτημα, υπό το πρίσμα της παρατήρησής σου. Να είσαι καλά!
καλημέρα σε όλους
πράγματι πολύ καλή άσκηση
(μικρή ένσταση: "το φαινόμενο έχει πλήρη αναλογία με την κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων"
το φαινόμενο, καλύτερα με την παραλλαγή του όπου το σώμα m2 δεν έχει διαστάσεις, όπως και το m1, και βρίσκεται δεξιά από το ελατήριο, δεν έχει απλά πλήρη αναλογία με την κεντρική ελαστική κρούση, είναι η κεντρική ελαστική κρούση, οι άλλες κρούσεις δεχόμαστε ότι έχουν πλήρη αναλογία…)
Τουλάχιστον εντυπωσιακή!
Καλημέρα Διονύση.
Τελικά το 3ο ερώτημα, δεν είναι απλά "όλα τα λεφτά" αλλά το σημείο εκείνο που πολύ εύκολα, ακόμη και ένας άριστος μαθητής, κινδυνεύει να κάνει το λάθος…
Αλλά ακόμη και αν υποψιαστεί την κίνηση της σανίδας και την επίδρασή της στον απαιτούμενο χρόνο, η λύση με τις σχετικές ταχύτητες είναι …μακράν η καλύτερη!
Έδωσες το κάτι άλλο Διονύση στο τρίτο ερώτημα "δείχνοντας" ότι ο συντελεστής κρούσης είναι μονάδα χωρίς να το πείς!!!
Καλημέρα Διονύση
Πήρες κάτι που θεωρούταν γνωστό και το πηγές ένα βήμα παραπέρα.
Kαλημερα ! Τελικα το θεμα αυτο εχει πολλες και ενδιαφερουσες παραλλαγες !
Διονυση (Μητρ.) ωραια τα ερωτηματα σου αλλα και ο τροπος που τα λυνεις . Το τελευταιο ερωτημα ειναι οντως διαφορετικο απο τα αυτα που συνανταμε συνηθως . Για το δευτερο χρονικο διαστημα χρειαστηκε να κανω ενα σχημα για να "δω" αυτο που γραφεις . Βεβαια οι σχετικες ταχυτητες που γραφεις στο τελος καθαριζουν το θεμα άμεσα.
Παρακατω εχω ακολουθησει μια πιο συνθετη λυση .
Δειχνω οτι οταν η δυναμικη ενεργεια του ελατηριου γινει μεγιστη τοτε τα σωματα εχουν ισες ταχυτητες.
Στο τελος εχω προσθεσει το ποση ειναι η δυναμικη ενεργεια του ελατηριου οταν μηδενιστει η ταχυτητα του Σ1.
Καλημέρα σε όλους,
Αποστόλη, Βαγγέλη, Γιάννη, Διονύση, Τάσο, Χρήστο, Κώστα σας ευχαριστώ για τα σχόλια
Βαγγέλη έχεις δίκιο, ήταν λίγο "άχρωμη" η αναφορά!
Διονύση νομίζω ότι η σχετική ταχύτητα θα έπρεπε να διδάσκεται από την Α΄ Λυκείου. Ήδη αναφέρει στα εισαγωγικά ότι "όλες οι κινήσεις είναι σχετικές"!
Τάσο πράγματι, το σχολικό αποδεικνύει τη σχέση υ₁ + υ₁' = υ₂' + υ₂ χωρίς να της δίνει κάποια φυσική ερμηνεία.
Κώστα πολύ όμορφη λύση. Το τριώνυμο είναι … εργαλείο για τα μέγιστα ή τα ελάχιστα
Καλησπέρα
Αξιώθηκα να την διαβάσω κι εγώ …
Όμορφο παιχνίδι βλέπω σε αυτήν την άσκηση. Μπράβο Διονύση και ευχαριστούμε.
Ίσως αν κάποιος την άφηνε στην επανάληψη μετά τις ταλαντώσεις να μπορούσε να θέσει και το ερώτημα του χρόνου συνολικά μαζί με αυτόν της ημιπεριόδου ταλάντωσης.
Βέβαια θα έπρεπε να βρει ένα τρόπο να βρει την ημιπερίοδο της ταλάντωσης χωρίς να αναφερθεί σε ανηγμένη μάζα μ του συστήματος . (Καμιά ιδέα 😉
Καλησπέρα Δημήτρη, σ' ευχαριστώ για τα σχόλια.
Με την ταλάντωση πάς την άσκηση σε … άλλο επίπεδο!
Γίνεται και χωρίς ανηγμένη μάζα αλλά, αν τη δει κανένας μαθητής, θα μας … βάλει τις φωνές
Όσο το Σ1 είναι σε επαφή με το ελατήριο, υπάρχει μια σπείρα του ελατηρίου που κάνει ΕΟΚ.
Αν θεωρήσουμε για ευκολία το Σ2 σημειακό και δεμένο στο δεξί άκρο του ελατηρίου, τότε η εν λόγω σπείρα συμπίπτει με το CM των δύο σωμάτων, που κάνει κι αυτό ΕΟΚ λόγω ΑΔΟ.
Το CM όμως διαιρεί νοητά το ελατήριο σε δύο τμήματα με μήκη αντιστρόφως ανάλογα των μαζών,
δηλαδή ℓ1/ℓ2 = m2/m1 = 4. Επειδή και ℓ1 + ℓ2 = ℓο προκύπτει:
ℓ2 = ℓο/5 και ℓ1 = 4ℓο/5
Μα η σταθερά ενός ελατηρίου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους του, έτσι:
k1 = (ℓο/ℓ1)k = 1,25 k = 5000 N/m και k2 = (ℓο/ℓ2)k = 5 k = 20000 N/m
Το κάθε τμήμα "ευθύνεται" για την ταλάντωση της αντίστοιχης μάζας (ως προς το CM).
Έτσι, η περίοδος κίνησης του κάθε σώματος είναι:
Τ1 = 2π√(m1/k1) = 0,02π sec και Τ2 = 2π√(m2/k2) = 0,02π sec
ίδια προφανώς για τα δύο σώματα.
Καλημέρα Διονύση.
Έχεις δίκιο. Δεν είναι για μαθητές.
Ακολούθησες την ίδια διδικασία με την απόδειξη του τύπου με την ανηγνένη μάζα για ελατήριο με μάζες στα δυο άκρα… και κράτησες έξυπνα την μ πίσω στα παρσκήνια κρυμμένη .
Εγώ ευχαριστώ.
Έγινε στην τάξη σήμερα με επιτυχία.
Δημήτρη, Γιάννη νά 'στε καλά
Γιάννη χαίρομαι!
Καλησπέρα Διονύση
Ωραιότατο θέμα και επίκαιρο.