by 
Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δυο πηγές κύματος Ο1 και Ο2, οι οποίες μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με το ίδιο πλάτος Α και με περίοδο Τ=2s. Κάποια στιγμή t0=0, η πηγή Ο1 αρχίζει την ταλάντωσή της, με εξίσωση απομάκρυνσης yΟ1=Α∙ημ(πt), οπότε δημιουργείται ένα κύμα το οποίο φτάνει στο σημείο Σ της μεσοκαθέτου του Ο1Ο2, τη στιγμή t1=4s και το θέτει σε ταλάντωση με πλάτος πλάτος Α1=0,1m.
i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για την ταλάντωση του σημείου Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού.
ii) Η πηγή Ο2 καθυστέρησε κατά Δt=4,5s να ξεκινήσει μια όμοια ταλάντωση με την πηγή Ο1 και να δημιουργήσει ένα δεύτερο κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού.
α) Ποια χρονική στιγμή το 2ο κύμα θα φτάσει στο σημείο Σ και ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού, σε συνάρτηση με το χρόνο;
β) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Σ εξαιτίας και των δύο παραπάνω κυμάτων.
iii) Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t0=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή του Σ. Με την υπόθεση αυτή, να γράψετε νέες εξισώσεις για τις δυο επιμέρους ταλαντώσεις καθώς και την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ λόγω συμβολής.
ή
Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα
Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα
Καλημέρα Διονύση.
Ο τίτλος και μόνο σε κάνει να περιμένεις ένα κόμπο που θέλει ιδιαίτερη προσοχή για να λυθεί χωρίς τη ρήση …"όσα δεν λύονται κόβονται".
Ξεκινώ λοιπόν χωρίς να δω τη λύση σου και λέω:
i) μου δίνει to=0 όταν ξεκινά η πηγή Ο1. Ωραία ,το Σ θα έχει ψ1=Α1ημ2π(t/T-x/λ) …αμάν το x το ξέρω; Η "αγία τριάδα T-λ-2π) εδώ βοηθά ,τα 4s είναι 2*2=2Τ άρα χ=2λ και καταλήγω στην : ψ1=0,1ημ2π(t/2-2) για t>=0
ii)a) Το Σ λόγω του κύματος από την Ο2 ξεκινά την t=4,5+4=8,5s
Τότε με προσοχή πάω πίσω 4,5s (όχι 8,5 αφού πάω μέσω της ψ1) ψ2=0,1ημ2π(t-4,5/2-2) και ψ2=0,1ημ2π(t/2-4,25) για t>=8,5
β) Όπως εσύ
iii) Στην αρχή θεώρησα νέα t=0 τη στιγμή που το Σ ξεκινά την ταλάντωση λόγω του κύματος από την Ο1 (ίσως πρέπει να προσθέσεις αντί του "αυτή" το "λόγω συμβολής"). Είδα την διαφορά στο αποτέλεσμα και επανήλθα ως εξής: Λόγω του κύματος από την Ο2 έχω ψ2=Α1ημ2πt΄ /T δηλ. ψ2=0,1ημ(2πt΄/2) για t΄>=0
Το Σ λόγω του κύματος από την Ο1 προηγείται χρονικά κατά 0,5s άρα: ψ1=0,1ημ[2π(t΄+0.5)/2] δηλ.
ψ1=0,1ημ(2πt΄/2+π/2) για t΄>=0
Απ'εκεί και κάτω …"ωραία μηλέα του κήπου στολίδι"
Είδα το σύνολο της λύσης σου και είπα τι ωραία ,ξεκινά από τη δοθείσα εξίσωση της Ο1 και όχι από την εξίσωση κύματος που ξεκίνησα εγώ και να πω την αλήθεια ,…νοιώθω να μειονεκτεί η δική μου σε σχέση με τη διδακτική σου.
Έγραψα τη δική μου για να σιγουρευτώ πως δεν κάνω "πατάτα"
Να πω και κάτι τελευταίο: έλεγα ,…"τα κύματα πρέπει να τα βλέπεις που τρέχουν και φτάνουν κάπου και καθυστερούν η προηγούνται θέτοντας σε κίνηση …" Νομίζω πως και οι δυό δρόμοι έχουν αντίστοιχες πρακτικές σκέψεις ,άλλωστε φαίνεται από τις διατυπώσεις στη λύση των ερωτημάτων.
Διακρίνονται επίσης ωφέλιμα τα του πλάτους που λες εισαγωγικά και τα σχόλια για την αρχική φάση.
Να'σαι καλά
Καλησπέρα (πια…) Παντελή.
Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση με την άσκηση και το σχολιασμό.
Για το "μπέρδεμα" που αναφέρεις, γράφω:
"Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t0=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή "
Το "η ταλάντωση αυτή" αναφέρεται στη σύνθετη ταλάντωση! Αυτό δεν λέει η πρόταση;
Διονυση ασχολεισαι με θεματα ,που εχουν στο παρελθον αναλυθει , με πολυ ευστοχο τροπο αλλωστε η επαναληψη ποτε δεν εβλαψε κανεναν !!!
Θα σταθω στα εξης :
Το Σ λογω του πρωτου κυματος : ψ1= 0.1 * ημ(πτ – 4π) , τ>= 4 s (1)
Το Σ λογω του δευτερου κυματος : ψ2= 0.1 * ημ(πτ – 8.5π) , τ>= 8.5 s (2)
Το Σ λογω συμβολης (ψ=ψ1+ψ2) : ψ = 0.1*sqrt(2) * ημ(πτ – 6.25π) , τ>= 8.5 s (3)
Παμε παρακατω η συμβολη <———> συνθεση ταλαντωσεων :
(1) και (2) Δφ = 4π +π/2 ===> Α' = 0.1*sqrt(2) m , φ0 = π/4 r
Επομενως :
ψ = Α' * ημ [ω*(τ – τσυμβ) + φ0 ] ===> ψ = 0.1*sqrt(2) * ημ [ π(τ – 8.5) + π/4 ] , τ>=8.5s (4)
Μπορει η (3) να παρει την μορφη της (4) ;;;
(3) : ψ = 0.1*sqrt(2) * ημ(πτ – 6.25π) = 0.1*sqrt(2) * ημ[ π(τ – 8.5) + 8.5π – 6.25π] ==>
ψ = 0.1*sqrt(2) * ημ[ π(τ – 8.5) + 2π + π/4]==>
ψ = 0.1*sqrt(2) * ημ[ π(τ – 8.5) + π/4 ] . Βλεπουμε επομενως οτι απο την (3) –> (4)
Καλό μεσημέρι Κώστα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
"Μπορει η (3) να παρει την μορφη της (4)"
Αυτό είναι ακριβώς το πρόβλημα, Θα πετάξουμε το 2π από το όρισμα του ημιτόνου ή όχι;
Όταν έχεις άσκηση που έχει πέσει σε εξετάσεις, στην οποία δεν γινόταν τέτοια τριγωνομετρική μετατροπή και με βάση τη μορφή της εξίσωσης ο μαθητής θα έπρεπε να δώσει λύση, απλά…υπάρχει πρόβλημα…
Ορθός ο λόγος σου Διονύση…."Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t0=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή του Σ. " Το …αυτή αναφέρεται στη σύνθετη ταλάντωση προφανώς.
Διονύση καλησπέρα
Πολύ ωραίο το θέμα που θίγεις και πολύ κατατοπιστικό στο τελος το σχόλιο περί την αρχική φάση και τη σημασία της
Πολύ καλή η ιδέα σου Διονύση να βάλεις θέμα με πηγές που αρχίζουν να ταλαντώνονται με διαφορά χρόνου! Για μένα, ένα τέτοιο θέμα, είναι εντός ύλης, κι αυτό γιατί η σύνθεση ταλαντώσεων ΕΔΩ εφαρμόζεται!
Θα την κάνω στην τάξη όταν φτάσω στη συμβολή κυμάτων, αξίζει τον κόπο!!
Καλησπέρα Χρήστο, καλησπέρα Πρόδρομε.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και χαίρομαι που η ανάρτηση …πέρασε τις εξετάσεις
Η άσκηση αυτή ως τεχνητό textbook problem που θέλει να δώσει έμφαση στην έννοια της αρχικής φάσης (η οποία δεν έχει κάποια φυσική σημασία στην πράξη όπως και η φάση καθ' αυτή … οι διαφορές φάσεις από την άλλη έχουν τεράστια φυσική σημασία γιατί σε αυτές στηρίζεται ολόκληρο το οικοδόμημα της συμβολής!) είναι οκ … παρόλα αυτά από την παρουσιαζόμενη απάντηση (προσωπικά) εκλαμβάνω ότι η άσκηση δεν περιστρέφεται γύρω από το θέμα της κυματικής διάδοσης απλά, αλλά το φαινόμενο προτιμάται να αντιμετωπίζεται ως φαινόμενο απόκρισης του μέσου διάδοσης σε κάποια τοπική αρμονική διαταραχή … αν ισχύει το τελευταίο δεν μπορώ να καταλάβω γιατί χρησιμοποιείται η λύση της ομογενούς κυματικής εξίσωσης … κανονικά η εξίσωση διάδοσης πρέπει να αναχθεί σε πεδιακή εξίσωση με μη-ομογενή όρο (κατά το σκεπτικό που τοποθετούμε τη δύναμη διεγέρτη στις εξισώσεις κίνησης του εξαναγκασμένου ταλαντωτή) … να δοθούν κατάλληλες αρχικές/συνοριακές συνθήκες και να λυθεί η μη-ομογενής κυματική εξίσωση … πράγμα που γίνεται συστηματικά μέσω των κλασσικών συναρτήσεων Green … ετούτη η προσέγγιση δίνει επακριβώς την απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου διάδοσης ως απόκριση σε κάποια διαταραχή (που εν προκειμένω προκαλείται από τις σημειακές πηγές). Π.χ. αν ένα σημείο του μέσου διάδοσης εξαναγκάζεται σε ταλάντωση τότε πέραν της υστέρησης φάσης λόγω της γεωμετρικής απόστασής του από την πηγή εμφανίζεται και υστέρηση φάσης ως προς τη διεγείρουσα δύναμη (αυτό μαθαίνουμε στη θεωρία των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων … μάλιστα το πλάτος εξαρτάται από τη συχνότητα κτλ.) – στο σημείο αυτό έχω αφήσει στην άκρη τις όποιες μεταβατικές συμπεριφορές του εξαναγκασμένου ταλαντωτή και αναφέρομαι σε steady state forced oscillation solutions. Πέραν αυτού όμως η διάδοση κυμάτων σε υγρά είναι αρκετά πιο περίπλοκη απ' όσο αναφέρεται λίγο στην αρχή της απάντησης … π.χ. μάλλον είναι μία αυθαίρετη προσέγγιση το ότι τα σημεία της επιφάνειας του υγρού εκτελούν γραμμική ταλάντωση (κατακόρυφα) … και για να ενισχύσουμε τον προαναφερθέντα ενδοιασμό ας σκεφτούμε ότι τα σημεία στον πυθμένα του δοχείου που περιέχει το υγρό δεν μπορεί να ταλαντώνονται καν εγκάρσια γιατί αυτό θα σήμαινε ότι το υγρό αποσπάται από το δοχείο πράγμα που δεν συμβαίνει ποτέ … συνεπώς ένα σημείο του υγρού (δεδομένου ότι έχει και περισσότερο από έναν βαθμό ελευθερίας) εκτελεί ενδεχομένως μία πιο σύνθετη περιοδική κίνηση από μια απλή εγκάρσια ταλάντωση … ίσως αν το υγρό περιέχεται σε πολύ βαθύ δοχείο … που σημαίνει ότι τα σημεία της επιφάνειας δρουν πιο ανεξάρτητα από τα σημεία του πυθμένα … η προσέγγιση της κίνησής τους με μια απλή εγκάρσια ταλάντωση να είναι εώς ένα βαθμό σωστή. Το τελευταίο σημείο που χρήζει προσοχής είναι ότι η ομογενής κυματική εξίσωση από μόνη της (χωρίς όρους διεγέρτη ή απόσβεσης) έχει λύση διαφορετική στη μία διάσταση (που είναι η περίπτωση του σχολικού βιβλίου), διαφορετική στις δύο και διαφορετική στις τρεις διαστάσεις (π.χ. για σφαιρικά κύματα προερχόμενα από σημειακή πηγή το πλάτος του κύματος όντως δεν μένει σταθερό και είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης από την σημειακή πηγή … χωρίς απαραίτητα η εξίσωση διάδοσης να εμπεριέχει όρους απόσβεσης). Η προσέγγιση που γίνεται σε πολλές ασκήσεις είναι ότι ενώ στην εκφώνηση έχουμε να κάνουμε με διδιάστατα ή τριδιάστατα προβλήματα … επικαλείται η λύση της μονοδιάστατης ομογενούς κυματικής εξίσωσης … αυτό ενδεχομένως δεν είναι ρεαλιστικό … είναι σίγουρα σωστό όμως σε περίπτωση που η διάδοση μιας διαταραχής περιορίζεται χωρικά σε μία μόνο διάσταση.
Τα παραπάνω σχόλια δεν αφορούν τη συγκεκριμένη άσκηση αλλά είναι εξ' αφορμής της προσπάθειας παρουσίασης της θεωρίας των κυμάτων σε συνδυασμό με της θεωρία των ταλαντώσεων … (πράγματι αυτά τα δύο κεφάλαιο το ένα είναι η λογική επέκταση του άλλου).
Καλησπέρα Παντελεήμων και Χρόνια Πολλά.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την παρέμβαση αν και:
"παρόλα αυτά από την παρουσιαζόμενη απάντηση (προσωπικά) εκλαμβάνω ότι η άσκηση …"
Καταλαβαίνω ότι κάτι δεν σου αρέσει χωρίς να μου είναι ξεκάθαρο, που βλέπεις λάθος αντιμετώπιση και ποια θα ήταν η σωστή.
Ας μην ξεχνάμε ότι η άσκηση απευθύνεται σε παιδιά Λυκείου, προσπαθώντας να πει μερικά πράγματα, όπως ότι το πλάτος δεν παραμένει σταθερό στην επιφανειακή συμβολή και (κυρίως) ότι μετά τη συμβολή έχουμε μια νέα ταλάντωση του σημείου Σ, την οποία πρέπει να αποσυνδέουμε από τα δυο κύματα.
Υπάρχει αντίρρηση ως προς τα σημεία στόχευσης, υπάρχει κατά τη γνώμη σου λάθος αντιμετώπιση; Αν ναι, ποια θα ήταν η σωστή;