by 
Ας υποθέσουμε ότι ένα δοχείο περιέχει υγρό σταθερής πυκνότητας και βρίσκεται σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Λόγω του βαρυτικού πεδίου, η δυναμική ενέργεια στο σημείο Α είναι mgh και η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα όγκου) σε αυτή τη θέση είναι ρgh (1). Σε ένα τυχαίο σημείο Β η δυναμική ενέργεια είναι mgh1, με ενεργειακή πυκνότητα ρgh1, και η πίεση στο ίδιο σημείο είναι ρgh2 . Το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας στη θέση Β και της υδροστατική πίεσης στην ίδια θέση Β είναι:
ρgh1+ ρgh2 =ρg( h1+h2)= ρgh (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας και της υδροστατικής πίεσης, σε κάθε σημείο του υγρού, σταθερής πυκνότητας και μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο, είναι σταθερή. Σε σημείο στον πυθμένα του δοχείου η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν και η πίεση ίση με ρgh (επίπεδο αναφοράς ο πυθμένας του δοχείου), όσο δηλ. η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας σε σημείο της επιφάνειας. Αν το δούμε διαφορετικά: δηλ. η διαφορά πυκνοτήτων δυναμικής ενέργειας μεταξύ αυτών των δύο σημείων ισούται με την υδροστατική πίεση (ή γενικότερα με τη διαφορά των αντίστοιχων υδροστατικών πιέσεων), και αν μου επιτρέπετε απλά «ότι χάνει σε πυκνότητα δυναμικής ενέργειας το κερδίζει σε πίεση».
Νομίζετε ότι μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι από αυτά; Ή προκύπτει κάτι που θα μπορούσε να μας βοηθήσει; Μπορεί να δίνει λύση σε ερωτήματα που μας έχουν απασχολήσει; Μπορεί να προκύψει από “σοβαρότερη” μαθηματική μαθηματική επεξεργασία;
με ιδιαίτερη εκτίμηση και (καθυστερημένες) ευχές για υγεία και ευτυχία σε όλους
Παναγιώτης Κουμαράς
Καλησπέρα Παναγιώτη.
Δεν είμαι σίγουρος αν θέλεις κάτι σαν το παρακάτω:
Η πίεση ως πυκνότητα ενέργειας.
Περιοριζόμενος Παναγιώτη στην σταθερότητα του αθροίσματος που αναφέρεις, μπορούμε μα συμπεράνουμε ότι μια “μαζούλα” νερού που έχει κάποια ταχύτητα σε σημείο Α ακίνητου υγρού, θα έχει την ίδια ταχύτητα σε οιοδήποτε άλλο σημείο του.
Αν δε υπάρχει ροή η διαφορά των δύο πιέσεων επί τον όγκο της μαζούλας, εκφράζει το έργο που προσφέρθηκε σ’ αυτήν.
Ισούται με την μεταβολή της μηχανικής του ενέργειας, δηλαδή την μεταβολή του όρου ρ.δV.h+1/2ρ.δV.υ^2.
Όμως ίσως σκέφτεσαι κάτι άλλο από αυτά.
Καλή χρονιά Παναγιώτη.
Χαίρομαι που σε βλέπω σχολιάζοντα!
Επί των ερωτημάτων που βάζεις, μια πρώτη σκέψη:
Αν μια στοιχειώδης μάζα μετακινηθεί από το Α στο Β, πράγματι μειώνεται η δυναμική της ενέργεια αφού “χαμηλώνει” αλλά ταυτόχρονα η μετακίνησή της αυτή, “προσθέτει” βάρος υπερκειμένου υγρού, δηλαδή την οδηγεί σε περιοχή αυξημένης πίεσης.
Αυτό πρέπει να μας οδηγήσει σε παραπέρα σύνδεση;
Χρόνια πολλά Παναγιώτη.
Η σχέση που αναφέρεσαι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της υδροστατικής πίεσης. Διάβασε εδώ.
Καλησπέρα Νίκο.
Προφανώς ισχύει η μαθηματική σχέση.
Νομίζω ότι ο Παναγιώτης κάπου αλλού στοχεύει, αλλά δεν ξέρω πού…
Καλησπέρα παιδιά.
Ακόμα δεν ξέρω τι θέλει να αναδείξει ο Παναγιώτης. Σκέφτομαι πως θέλει να θεωρηθεί η εξίσωση Μπερνούλι ως μια εξίσωση μεταξύ ενεργειακών πυκνοτήτων.
Ο όρος 1/5ρ.υ^2 είναι πυκνότητα κινητικής ενέργειας.
Ο όρος ρ.g.h είναι πυκνότητα δυναμικής ενέργειας.
Ο πίεση P είναι ενεργειακή πυκνότητα, με την έννοια ότι ΔP.δV είναι το έργο που παράγεται από την ροή πάνω σε μαζούλα όγκου δV. Δηλαδή είναι προσφερόμενη ενέργεια.
Θα δούμε αν αυτό θέλει να αναδειχθεί.
Καλησπέρα.
Σε ένα συντηρητικό δυναμικό πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας στο σημείο. Σε ένα στατικό ρευστό η δύναμη ανά μονάδα όγκου σε ένα σημείο του είναι το -grad της πίεσης στο σημείο. Όταν το ρευστό είναι μέσα στο πεδίο, η δύναμη ανά μονάδα όγκου είναι το -grad του αθροίσματος της πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και της πίεσης. Η πηγή του φαινομένου που ανακάλυψε ο Παναγιώτης είναι ακριβώς αυτή.
Καλησπέρα σε όλους.
Αυτό που γράφεις είναι μια οριακή περίπτωση της εξίσωσης Bernoulli στην ισορροπία. Επειδή το στατικό υγρό είναι υποχρεωτικά αστρόβιλο, ισχύει σε δύο οποιαδήποτε σημεία του. Δηλαδή αυτό που έγραψε ο Γιάννης και ο Νίκος με διαφορετικό τρόπο. Θα ίσχυε το ίδιο αν είχαμε ομοιόμορφη ροή κατά μήκος του οριζοντίου άξονα με έναν όρο επιπλέον, τον 0.5ρυ^2.
Καλημέρα παιδιά.
Σε αυτό που γράφει ο Στάθης.
Η εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β μας δίνει
που οδηγεί στην ίδια μαθηματική εξίσωση, αφού έχουμε σταθερή ταχύτητα ροής στα δυο σημεία.
Διονύση καλημέρα και πάλι.
Παρόμοια συμπεριφορά έχουν πολλά είδη ροών, αρκεί να είναι αστρόβιλες, δηλαδή αρκεί το πεδίο ταχύτητας να γράφεται συναρτήσει ενός δυναμικού u, όπως στην εξίσωση (2) και συνεπώς να ικανοποιούν την εξίσωση Laplace. Στην δισδιάστατη περίπτωση οι λύσεις για το δυναμικό σε πολικές συντεταγμένες είναι όπως στην (1) και για την ταχύτητα όπως στην (3).
Για παράδειγμα αν μηδενίσουμε όλες της σταθερές α, β, γ, εκτός της δ0, προκύπτει μία αστρόβιλη δίνη!
Καλημέρα σε όλους.
Χωρίς μαθηματικά, νομίζω ότι δεν πρέπει να ταυτίζουμε την πίεση σε κάθε περίπτωση με την πυκνότητα ενέργειας, εξαιτίας της διαστατικής ισότητας των δυο μεγεθών. Για την περίπτωση ρευστού σε ισορροπία νομίζω ότι δεν ισχύει (Διονύσης εδώ).
Στην περίπτωση ρευστού σε κίνηση η πιο προφανής εφαρμογή είναι η υδροστατική πίεση ενός ρευστού, όπου η πίεση μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως πυκνότητα ενέργειας παράλληλα με την πυκνότητα κινητικής ενέργειας και την πιθανή ενεργειακή πυκνότητα στην εξίσωση Bernoulli. Νομίζω μια στοιχειώδη εξήγηση του τι συμβαίνει βλέπουμε εδώ (Γιάννης)
Στα προηγούμενα θεωρώ ότι «λειτουργία» πίεση εξυπηρετεί να την δούμε σαν πυκνότητα ενέργειας.
Αντίθετα οι πυκνότητες ενέργειας από άλλες αιτίες μπορούν εύκολα να εκφραστούν ως μια αποτελεσματική “πίεση”.
Για παράδειγμα, η πυκνότητα ενέργειας των μορίων του διαλύτη που οδηγεί σε όσμωση εκφράζεται ως «οσμωτική πίεση». Εδώ είναι σίγουρο ότι η ενέργεια που οδηγεί τη μεταφορά υγρών από ένα χώρο σε άλλο χώρο είναι η θερμική ενέργεια των μορίων του νερού και ότι η ενεργειακή πυκνότητα είναι υψηλότερη στον καθαρό διαλύτη, καθώς υπάρχουν περισσότερα μόρια νερού.
Άλλο παράδειγμα. Η πυκνότητα ενέργειας που κρατά ένα αστέρι από την κατάρρευση εκφράζεται ως «πίεση ακτινοβολίας».Τα αστέρια μπορούν να διατηρούν αρκετά σταθερά μεγέθη λόγω της πίεσης ακτινοβολίας που ασκείται από την ακτινοβολία που προέρχεται από τον θερμό πυρήνα. Αυτή η πίεση ακτινοβολίας αρχίζει να παίζει σημαντικό ρόλο κατά τη διάρκεια της αστρικής εξέλιξης όπου το σύννεφο αερίου που καταρρέει καθίσταται αδιαφανές στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Με την αφαίρεση αυτής της αδιαφανής ιονισμένης περιοχής, η ακτινοβολία λέγεται ότι «διασκορπίζεται» από τα ιόντα, ασκώντας μια καθαρή προς τα έξω πίεση η οποία σταματά την βαρυτική κατάρρευση.
Τελικά θέλω να πω τουλάχιστον διδακτικά-ποιοτικά μπορούμε, έχοντας τα προηγούμενα κατά νου, να τονίζουμε την μια ή την άλλη όψη των πραγμάτων.
Σε αυστηρότερο μαθηματικό επίπεδο, νομίζω μπορούμε να έχουμε στο νου μας τα γραφόμενα του Νίκου Παναγιωτίδη και του Στάθη.
Την καλησπέρα μου Άρη.
Συμφωνώ με όσα λες αλλά θέλω να αναδείξω κάτι, νομίζω κεντρικό στην εξίσωση Bernoulli. Η πιο βολική γραφή της είναι (αποφεύγω τον διανυσματικό τελεστή ανάδελτα),
dp + d (0.5ρυ^2) +d (ρgh) = 0.
Η εξίσωση δηλώνει ότι σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις η μεταβολή της πυκνότητας ενέργειας σε μια ροή είναι αντίθετη από την μεταβολή της πίεσης. Πράγματι εδώ η πίεση είναι κατ ουσίαν η πυκνότητα του έργου που ασκούν οι αντίστοιχες δυνάμεις λόγω πίεσης και όχι καθαρή πυκνότητα ενέργειας.
Διαφορετικά οι βαθμίδες της πίεσης μεταβάλλουν την πυκνότητα ενέργειας της ροής από σημείο σε σημείο της. Για να ισχύει αυτό πρέπει η ροή να είναι ασυμπίεστη, μόνιμη, αστρόβιλος και να μπορεί να αγνοηθεί το ιξώδες της (μεγάλοι αριθμοί Reynolds). Αυτό συμβαίνει γιατί τότε το πεδίο της ταχύτητας σε όλη την έκταση της ροής είναι συντηρητικό: κατά μήκος δηλαδή μιας κλειστής διαδρομής το ολοκλήρωμα της ταχύτητας ισούται με το μηδέν (μηδενική κυκλοφορία), όπως το αντίστοιχο ολοκλήρωμα του δύναμης στα πεδία δυνάμεων.
Αναλόγως όπως στα πεδία συντηρητικών πεδιων δυνάμεων, διατηρείται η ενέργεια, έτσι και στο συντηρητικό πεδίο της ταχύτητας διατηρείται η ποσότητα της εξίσωσης Bernoulli.
Γεια σου Στάθη.
Δεν νομίζω ότι μπορεί κανείς να έχει αντίρρηση με τα τελευταία γραφόμενά σου.
Αντίθετα εμπλουτίζουν όσα πρέπει να έχουμε κατά νου είτε μπορούμε να τα πούμε (ανάλογα με το ακροατήριο εννοώ) είτε όχι.
Καλησπέρα παιδιά (που λέει και ο Γιάννης) η μάλλον πρώην παιδιά . Άργησα να απαντήσω γιατί υπήρχε ενδιαφέρουσα κουβέντα και προσπάθησα να ενημερωθώ και από παλιές ενδιαφέρουσες αναρτήσεις σας, εσείς απλά τα ξέρετε απέξω (εγώ θα τα μάθω).
Από ότι φαίνεται στα μαθηματικά συμφωνούμε όλοι: Το άθροισμα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου και της πίεσης είναι σταθερό σε κάθε σημείο του υγρού για όλο τον όγκο του υγρού. Αυτό συνήθως προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli 1/ 2 ρυ^ 2 +ρg ℎ +p = σταθ, όπου αν υ → 0 προκύπτει ρgℎ +p = σταθ . Το έδειξα στην εισαγωγή της πίεσης απλά για να δείξω το κοινό. Όπως επίσης προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που παρουσίασε ο Νίκος, από την οποία απλά σημειώνω ότι φτάνουμε στη γνωστή μας σχέση για την πίεση.
Αυτά που καταλήξαμε μέχρι εδώ νομίζω ότι βοηθάνε όλους μας (και τους συγγραφεις βιβλίων) να συνειδητοποιήσουμε ότι: Η πίεση είναι αριθμητικό μέγεθος
Ορίζεται σε κάθε σημείο του ρευστού
Δεν ενισχύει εκφράσεις που οδηγούν στη σύγχυση της έννοιας πίεση με την έννοια δύναμη, όπως: (η «προς τα πάνω πίεση», «η προς τα κάτω πίεση», «ασκείται πίεση», «η πίεση που δέχεται», «η πίεση δρα», «η πίεση που ασκεί το νερό», «η πίεση ωθεί κάθετα τα τοιχώματα» που αποδίδουν στην πίεση διανυσματικό χαρακτήρα και δε διευκολύνουν τη διαφοροποίησή της από τη δύναμη.
Το πρόβλημα που εγώ νομίζω ότι συνεχίζουμε να έχουμε είναι η φυσική σημασία του σταθερού αθροίσματος. Με απασχολεί το παρακάτω, το έθιξε ελαφρά και ο Διονύσης στην κουβέντα: Ένας στοιχειώδης όγκος (dV) υγρού, σταθερής πυκνότητας και μηδενικού ιξώδους, που περικλείει στοιχειώδη μάζα (dm) στην επιφάνεια (σημείο Α στο αρχικό σχήμα) έχει δυναμική ενέργεια mgℎ1 και ενεργειακή πυκνότητα ρgℎ1 . Ο στοιχειώδης αυτός όγκος, αν θεωρηθεί ότι περικλείεται με τοίχωμα ίδιας πυκνότητα ς με το νερό, χωρίς καμιά δαπάνη ή απόδοση έργου μπορεί να βρεθεί σε κάποιο βάθος (σημείο Β στο αρχικό σχήμα), όπου η πυκνότητα της δυναμικής του ενέργεια είναι ρg ℎ2, μικρότερη από αυτήν στη θέση Α.
Για την μετακίνηση αυτή το έργο που απαιτείται (η αποδίδεται) είναι Fh . Η ασκούμενη δύναμη F→0 (θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, και το υγρό είναι σταθερής πυκνότητας). Αφού λοιπόν δεν αποδίδεται (ούτε δαπανάται) κανένα έργο και αφού η ενέργεια που είχε ο στοιχειώδης όγκος στη θέση Α ελαττώθηκε, πώς ισχύει η Αρχή διατήρησης τη Ενέργειας; Τι έγινε η υπόλοιπη ενέργεια; Σχετίζεται αυτό με το σταθερό άθροισμα που έχουμε ή όχι;
Συγνώμη, από ότι φαίνεται ως νέος έχω προβλήματα στο γράψιμο των εξισώσεων,΄. Το θέμα είναι ότι τις έβλεπα να είναι καλά αλλά όταν αναρτήθηκε χάλασαν. Θα το ξαναπροσπαθήσω..