by 
Μια μικρή μπάλα μπιλιάρδου ακολουθεί την διαδρομή που βλέπετε. Το μπιλιάρδο έχει διαστάσεις 2m x 1,5 m.
Θεωρήσατε όλες τις κρούσεις ελαστικές και το μπιλιάρδο λείο.
Αν το μέτρο της ταχύτητας της μπίλιας είναι 0,5 m/s να βρείτε σε πόσο χρόνο θα επανέλθει στη θέση από την οποία ξεκίνησε.
Γιάννη βρίσκω t=1sec
Εννοείς 10s ;
Τόσο είναι. Την γράφω.
Ναι 10sec.
Δύο λύσεις έχουν ήδη γραφτεί αμέσως μετά την εκφώνηση.
Μια προσομοίωση:
Γιάννη καλησπέρα
Η λύση που μου ήρθε ήταν η πρώτη που έκανες. Θυμήθηκα μια αντίστοιχη του Δημήτρη Αγαλόπουλου εδώ που είχες κάνει προσομοίωση και αν θυμάμαι υπήρχε ένα θέμα με τις διαστάσεις του μπιλιάρδου για να είναι τυπικά το πρόβλημα ορθό.
Είναι εντυπωσιακό το ip. Καθόμουν και χάζευα την τροχιά και παρακολουθούσα τα 10s που επανέρχεται στηην αρχική θέση του.
Καλησπέρα σε όλους. Ωραίο πρόβλημα Γιάννη (είμαι και λάτρης του συγκεκριμένου αθλήματος). Και μια τρίτη λύση απο μένα.
Καλό βράδυ
Καλημέρα Χρήστο και Σπύρο. Ευχαριστώ.
Σπύρο η λύση είναι αν κατάλαβα με το “είδωλο” κι τα συμμετρικά σημεία.
Εντυπωσιακή.
Καλημέρα Γιάννη
Ψάχνοντας τη λιτότητα … δεν νομίζω πως τα κατάφερα αλλά μια και την έγραψα την δίνω σαν
4η εναλλακτική
Η ψήφος μου στην 3η του Σπύρου, που αν δεν υπήρχε με κέρδιζε η 2η του Κυρ .
Καλημέρα Παντελή.
Είναι όμορφη λύση επίσης.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Μια απλή λύση, χωρίς αριθμούς, είναι και η εξής:
Έστω a και b το x και y μήκος των πλευρών του μπιλιάρδου. Έστω v η ταχύτητα της μπίλιας. Έστω φ η γωνία της αρχικής ταχύτητας της μπίλιας με τον x-άξονα.
Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησία των κινήσεων:
t=2a/(vcos(φ))=2b/(vsin(φ)).
Υψώνοντας και τα τρία μέλη στο τετράγωνο και λαμβάνοντας υπ΄ όψη την ταυτότητα:
a/b=c/d=(a+c)/(b+d)
προκύπτει:
t^2=4(a^2+b^2)/v^2
απ΄ όπου προκύπτει το t.
Ευχαριστώ Γιάννη.
Του Σπύρου η λύση με πήγε νοερά στο σχολικό εργαστήριο μα και στην προθήκη του 1ου Λυκείου στο Ρέθυμνο και “είδα” το αρθρωτό παραλληλεπίπεδο που το χρησιμοποιούσαμε για τα θέματα ευστάθειας. Είχε και ένα νήμα της στάθμης .
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο παραπάνω συνειρμός
Φαντάστηκα τη διαδρομή ΑΒΓΔ σαν αρθρωτό παραλληλόγραμμο (οι αρθρώσεις στις κορυφές Α,Β,Γ,Δ.
Τα βελάκια στο σχήμα δείχνουν τι κάνω και οι πλευρές ΑΔ , ΔΓ έρχονται στις θέσεις ΑΔ΄ , Δ΄Γ΄
Άρα η διαδρομή ΑΒΓΔ είναι ίση με την ΑΒΓ΄Δ’Α οπότε από το ορθογώνιο ΑΙΓ΄ έχω:
(ΑΓ΄)^2=2^2+1,5^2 δηλαδή ΑΓ΄=2,5m και ΑΒΓ΄ΔΆ=5m Άρα t= 5/0,5=10s
Στο Σπύρο και τον Κυρ … αίτιους του συνειρμού.
Μια προσθήκη στο ορθό…για να κλείσει η διαδρομή
Φαντάστηκα τη διαδρομή ΑΒΓΔΑ σαν αρθρωτό παραλληλόγραμμο (οι αρθρώσεις στις κορυφές Α,Β,Γ,Δ.
Πολύ έξυπνο Παντελή. Ευχαριστώ.
Πολύ λιτή απόδειξη Νίκο. Αναλογίες που κάναμε κάποτε.