by 
Στο παραπάνω σχήμα, ένα μεγάλο κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό, ενώ κοντά στην βάση του υπάρχει ένας οριζόντιος σωλήνας, μεταβλητής διατομής, μέσω του οποίου εκρέει το νερό σε μια μόνιμη και στρωτή ροή. Στο σημείο Α του σχήματος η ταχύτητα ροής είναι υ και η πίεση p1.
i) Η δύναμη F, που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου, εμβαδού Α, έχει με μέτρο:
α) F< (pατμ+ρgh)Α, β) F= (pατμ+ρgh)Α, γ) F > (pατμ+ρgh)Α
ii) Κλείνουμε με τάπα το δεξιό άκρο του σωλήνα και η ροή σταματά. Τότε η πίεση p2 στο σημείο Α θα αποκτήσει τιμή:
α) p2 < p1 + ½ ρυ2, β) p2 = p1 + ½ ρυ2, γ) p2 > p1 + ½ ρυ2.
ή
Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…
Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…
Αυτό που καταλαβαίνω από την αναλογία, είναι ότι στην οριζόντια διεύθυνση το δοχείο θα αποκτήσει ταχύτητα προς τα αριστερά…
Δεν καταλαβαίνω τη λογική να μην βλέπεις ότι μάζα νερού αρχίζει να κατεβαίνει προς τα κάτω για να πάει στην έξοδο.
Προφανώς σε αυτήν την πορεία θα υπάρχει και χρονικό διάστημα που η ορμή στον y θα μειωθεί.
Το έχω γράψει. Αυτό θα συμβεί πιθανότατα μέσα στο σωλήνα που θα πρέπει υποχρεωτικά να μείνει με οριζόντια ταχύτητα.
Αλλά επιμένω στο σχήμα και στην περιοχή που έδωσα…
Φυσικά ο καθένας θα λέει τα δικά του. Έχει τέτοιο δικαίωμα. Ο άλλος πρέπει να εντοπίσει το λάθος.
Δίνεις ένα σχήμα. Βλέπω γραμμές που καμπυλώνονται και ταυτόχρονα πυκνώνουν. Και η καμπύλωση και το πύκνωμα συνοδεύονται από μεταβολές πίεσης.
Θα μπορούσα να πω ότι η πίεση στο 1 (στον πάτο σχεδόν) είναι μεγαλύτερη από την υπερκείμενη διότι έχουμε καμπύλωση και η κεντρομόλος επί των στοιχείων ρευστού…..
Να υποστηρίξω περίπου ότι η δύναμη στον πάτο είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από (Pατμ+ρ.g.h).A.
Ποια είναι η μορφή των ροϊκών γραμμών;
Ποια έκταση έχουν όλα αυτά;
Ποια είναι η επίδραση στον πάτο και στα τοιχώματα του δοχείου και του σωλήνα;
Όλες αυτές οι διαφορές πιέσεων οδηγούν σε εσωτερικές δυνάμεις.
Δεν βλέπω πως αίρουν όσα έγραψα για την ορμή συστήματος.
Θα μπορούσα επίσης (βασιζόμενος στο σχήμα σου) να πω ότι μάζες νερού που εκτρέπονται όπως δείχνουν οι ροϊκές γραμμές δέχονται δυνάμεις προς τα πάνω και δεξιά. Έτσι ο πάτος δέχεται την αντίδραση αυτών των δυνάμεων και επομένως αυξημένη δύναμη. Όχι μειωμένη δύναμη.
Με υποθετικές ροϊκές γραμμές μπορεί να βγάλουμε συμπεράσματα που δεν ισχύουν.
Η οδός της Μηχανικής συστημάτων είναι απλούστερη και ασφαλέστερη.
Αν έχω κάνει λάθος , ας το εντοπίσουμε. Όμως δεν παρακάμπτουμε μια απόδειξη παραθέτοντας μια άλλη που διαφωνεί.
Μεταξύ δύο αποδείξεων προτιμώ αυτήν με τις λιγότερες παραδοχές. Αυτή με το σύστημα μεταβλητής μάζας έχει μηδενικές παραδοχές. Οι άλλες με τις ροϊκές γραμμές έχουν πολλές παραδοχές.
“Ποια είναι η μορφή των ροϊκών γραμμών;
Ποια έκταση έχουν όλα αυτά;
Ποια είναι η επίδραση στον πάτο και στα τοιχώματα του δοχείου και του σωλήνα;
Όλες αυτές οι διαφορές πιέσεων οδηγούν σε εσωτερικές δυνάμεις.”
Τη μορφή των ροϊκών γραμμών την έδωσα.
Η φλέβα στενεύει πράγμα που αποδεικνύει ότι η ταχύτητα αυξάνεται.
Αυτό με τη σειρά του οδηγεί σε βαθμίδα πίεσης κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής (αυτό άσχετα με την καμπύλωση που επιφέρει και άλλη διαφορά πίεσης… απλά λέει ότι η πίεση λίγο πιο πάνω από το σημείο 1, είναι μικρότερη).
Αλλά αν το νερό επιταχύνεται από τη θέση 1 στη θέση 2, τότε η πίεση στο 1 είναι μεγαλύτερη.
Ουσιαστικά δηλαδή καθώς πλησιάζουμε το σωλήνα η πίεση μικραίνει.
Αυτό έγραψα και αρχικά στην απόδειξη, λέγοντας ότι:
Παρατηρούμε δηλαδή ότι έχουμε σημεία κοντά στην βάση του δοχείου με πιέσεις μικρότερες από pατμ+ρgh…
Γιατί λες “άσχετα με την καμπύλωση”;
Αν μια μάζα κινείται κάτω δεξιά και αναγκαστεί να κινηθεί στη συνέχεια οριζόντια (όπως στο σχήμα σου) δεν δέχεται δύναμη προς τα πάνω και δεξιά;
Δεν ασκεί δύναμη προς τα κάτω και αριστερά;
Το σχήμα που έδωσες με κάνει να καταλάβω ότι στο 1 η πίεση είναι αυξημένη σε σχέση με τα άλλα σημεία του πάτου.
Δηλαδή αν σχεδίαζες ένα σημείο 3 λίγο πιο αριστερά από το 1, θα είχαμε σ’ αυτό μικρότερη πίεση απ’ ότι στο 1.
Να ισχυριστώ ότι η δύναμη στον πάτο είναι σύμφωνα με το σχήμα σου μεγαλύτερη από (Pατμ+ρ.g.h).A ;
Διότι το σχήμα σου δείχνει αυξημένη δύναμη και΄όχι μειωμένη.
Πρέπει να διαβάζω “μπερνουλικά” κάθε περίπτωση;
Δεν μπορώ να επικαλούμαι τον τρίτο νόμο του Νέυτωνα όταν θέλω;
Αυτός δεν οδηγεί (με βάση το σχήμα σου) σε αυξημένη δύναμη;
Αν κάποια εφαρμογή της σχέσης Bernoulli οδηγήσει σε αντίθετο συμπέρασμα, ποιον θα εμπιστευθούμε, τον τρίτο νόμο ή την εφαρμογή που κάναμε;
Εκτός φυσικά αν εφάρμοσα λάθος τον τρίτο νόμο. Τότε θα μου πεις ότι οι μάζες που ακολουθούν τις γραμμές που σχεδίασες δεν δέχονται δυνάμεις προς τα πάνω και δεξιά. Δέχονται άλλες δυνάμεις;
Ίσως επικαλεστείς άλλες δυνάμεις, άλλης διεύθυνσης που επιταχύνουν το ρευστό. Όμως όποιες και αν είναι αυτές είναι εσωτερικές δυνάμεις. Δεν θα αλλάξουν την Ν, την ένδειξη της ζυγαριάς, την δύναμη στον πάτο.
Και τι έγινε που η πίεση στο 2 είναι μικρότερη;
Η πίεση στο 1 σύμφωνα με το σχήμα σου είναι μεγαλύτερη από Patm+ρ.g.h διότι οι μάζες του σχήματός σου δέχονται δύναμη προς τα πάνω και δεξιά.
Φυσικά δεν πιστεύω ότι η δύναμη στον πάτο είναι αυξημένη. Προσπαθώ να σε φέρω σε αντίθεση με το σχήμα σου και να δειχθεί το αδιέξοδο του να υιοθετούμε ροϊκές γραμμές στις οποίες εφαρμόζουμε νόμο Bernoulli.
Το αδιέξοδο αίρεται αν αφησουμε τα μπερνουλικά και πιάσουμε τα ευανάγνωστα με την ορμή συστήματος μεταβλητής μάζας.
Εκεί αποδεικνύεται πέραν αμφιβολίας ότι ο πάτος δέχεται δύναμη όση το βάρος του νερού, όποιες τοπικές μικροδιαταραχές και αν γίνουν. Διότι απλά όλες αυτέ οι μικροδιαταραχές σχετίζονται με εσωτερικές δυνάμεις. Δηλαδή δυνάμεις που μας αφήνουν παντελώς αδιάφορους.
Καλημέρα Γιάννη.
Γράφεις:
«Γιατί λες «άσχετα με την καμπύλωση»;
Αν μια μάζα κινείται κάτω δεξιά και αναγκαστεί να κινηθεί στη συνέχεια οριζόντια (όπως στο σχήμα σου) δεν δέχεται δύναμη προς τα πάνω και δεξιά;
Δεν ασκεί δύναμη προς τα κάτω και αριστερά;»
Μάλλον δεν διαβάζεις αυτό που γράφω ή το διαστρεβλώνεις…
Είχα γράψει:
«Η φλέβα στενεύει πράγμα που αποδεικνύει ότι η ταχύτητα αυξάνεται.
Αυτό με τη σειρά του οδηγεί σε βαθμίδα πίεσης κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής (αυτό άσχετα με την καμπύλωση που επιφέρει και άλλη διαφορά πίεσης… απλά λέει ότι η πίεση λίγο πιο πάνω από το σημείο 1, είναι μικρότερη).»
Τι σημαίνει η φράση μου «αυτό άσχετα…»;
Ας κάνω μια προσπάθεια να δώσω υποθετικές τιμές πίεσης σε διάφορα σημεία κοντά στον πυθμένα αν η ποσότητα pατ+ρgh είναι ιση με 120kΡα, μήπως και γίνει φανερό αυτό που υποστηρίζω.
Συνέχεια…
Ας επιστρέψουμε στο σχήμα όπου έχουν σχεδιαστεί κάποιες ρευματικές γραμμές και έχουν σημειωθεί κάποια σημεία.
Ποιες οι τιμές πίεσης;
Οι τιμές πίεσης είναι:
p1= 119,5kΡα, p2=119,4kΡα, p3=118kΡα, p4= 115 kΡα, p5=109kΡα, p6=104kΡα και ΠΡΟΣΟΧΗ:
p7=113kpα, p8=107kΡα.
Μπορούμε να δούμε τι λένε αυτές οι τιμές;
Μακριά από την περιοχή που το νερό «στριμώχνεται» για να μπει στο σωλήνα, η πίεση είναι πολύ κοντά στα 120kΡα. Δηλαδή η κατάσταση είναι σαν να μην υπάρχει ροή. Έχω δώσει ενδεικτικές τιμές 119,5… 119,4…. 118…και αρχίζει να μειώνεται σημαντικά 115, 109, 104 kΡα, όταν πλησιάζουμε το σωλήνα. Οι τιμές αυτές αποδεικνύουν ότι το νερό επιταχύνεται έντονα καθώς πλησιάζει να μπει στο σωλήνα. Για να επιταχυνθεί πρέπει να υπάρχει βαθμίδα πίεσης. Δεν μπορεί να επιταχυνθεί αν η πίεση είναι παντού 120kΡα…
Πάμε τώρα στα σημεία 7 και 8. Το 7 είναι λίγο πιο πάνω από το 4, όπου η πίεση είναι p4= 115kΡα και έχει τιμή p7=113kΡα. Ίδια σχέση στο 5 έχουμε p5=109kΡα, ενώ στο σημείο 8, έχουμε p8=107kΡα.
Γιατί έδωσα αυτές τις τιμές; Για να υπάρχει η διαφορά πίεσης σε κάθετη διεύθυνση από την ταχύτητα, ώστε να υπάρχει η απαραίτητη κεντρομόλος που να στρίβει μια στοιχειώδης μάζα που περνά από τις θέσεις 4 και 5.
Έχουμε δηλαδή στις θέσεις 4 και 5 τις δυνάμεις του σχήματος:
Το ότι έχουμε κεντρομόλο δύναμη στην περιοχή των σημείων 4 και 5, δεν σημαίνει ότι οι πιέσεις στα σημεία αυτά είναι μεγαλύτερες από 120.000Ρα… Δεν πρέπει η αναγκαιότητα της κεντρομόλου να μας κάνει να ξεχάσουμε τη δύναμη F1 που παίζει το βασικό ρόλο της επιτάχυνσης του νερού με σκοπό να μπει στο σωλήνα…
Καλημέρα Διονύση.
Δεν πιστεύω ότι ισχύει μια τέτοια κατάσταση. Τούτο διότι αν ίσχυε, αν είχαμε έστω και ελάχιστα μικρότερη δύναμη στον πάτο θα παραβιάζονταν βασικές αρχές της Φυσικής. Το νερό δεν παύει να είναι σύστημα σωμάτων.
Έτσι σκέφτομαι όχι το ποια είναι η δύναμη στον πάτο αλλά τη λύση του παραδόξου. Γιατί δηλαδή η χρήση του νόμου Bernoulli παραβιάζει τον θεμελιώδη νόμο (εφαρμοζόμενο σε σύστημα).
Μια σκέψη είναι ότι οι όποιες διαφοροποιήσεις στην πίεση ενός τμήματος του πάτου συνυπάρχει με διαφοροποιήσεις πίεσης σε άλλα τμήματα, ώστε η δύναμη να είναι πάντοτε ίση με το υπερκείμενο βάρος (σε κατακόρυφα τοιχώματα).
Στο κάτω-κάτω οι διαφοροποιήσεις πίεσης σχετίζονται με εσωτερικές δυνάμεις.
Ας σκεφτούμε ένα πλωτό αντικείμενο που έχει κάτω και λοξά μια προπέλα. Ότι και να γίνει, όποιες ροές και αν παρατηρηθούν, όποια εφαρμογή Bernoulli και να κάνουμε, έχουμε εσωτερικές δυνάμεις και η δύναμη του πάτου θα είναι ίση με το βάρος του νερού. Αυτό είναι θεμελιώδες στη φυσική και δεν το αμφισβητώ. Δεν πιστεύω πως πρέπει να αμφισβητείται. Διαφορετικά καταρίπτουμε την μηχανική συστημάτων.
Η δεύτερη σκέψη μου εστιάζει ακριβώς στο παράδοξο. Δυστυχώς δεν μπορώ να κάνω τώρα σχήματα και θα την στηρίξω όσο μπορώ με λόγια σε λίγο.
Καλημέρα Γιάννη.
Δεν βλέπω το μοντέλο που έδωσα να παραβιάζει καμιά αρχή Φυσικής.
Δεν μίλησα για διαχωρισμούς εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων. Μίλησα για πιέσεις σε σημεία του χώρου. Η γνώση της πίεσης μπορεί να μετατραπεί σε δυνάμεις και εσωτερικές (μεταξύ σωματίων ρευστού) και εξωτερικών (μεταξύ ρευστού και τοιχώματος).
Συνεχίζεις να μην βάζεις στο παιχνίδι και τις δυνάμεις που δέχεται η φλέβα από το σωλήνα εξόδου. Το επεσήμανα από την αρχή, το έδειξα χρωματίζοντας με διαφορετικό χρώμα τοιχώματα δοχείου και σωλήνα…
Δεν υπάρχει καμιά αρχή που να λέει πόση δύναμη το νερό θα ασκήσει στον πυθμένα του δοχείου και ποια στο σωλήνα.
Αν βάλω όλο το σύστημα πάνω σε μια ζυγαριά και το νερό εκρέει με οριζόντια ταχύτητα, τότε η ένδειξη της ζυγαριάς θα είναι ίση με το βάρος του νερού+δοχείου. Αυτό τι σχέση έχει με τη δύναμη στον πράσινο πυθμένα το δοχείου;
Αν το νερό εκρέει με ταχύτητα που δεν είναι οριζόντια, τότε η ένδειξη της ζυγαριάς, δεν θα είναι ίση με το παραπάνω βάρος…
Πάμε για λίγο στις ρευματικές γραμμές. Τι είναι ρευματική γραμμή;
Σε μόνιμη ροή είναι η τροχιά ενός στοιχείου ρευστού.
Σε σχήμα που αποδίδει το Βεντουρίμετρο σημειώνονται ρευματικές γραμμές.
Ξέρουμε ότι μένουν αναλλοίωτες και ότι αν αφήσουμε ένα μικρό σώμα, με μέση πυκνότητα όση του νερού, θα διαγράψει την ρευματική αυτήν γραμμή.
Σχεδιάζουμε μια ρευματική γραμμή για να αποδείξουμε το θεώρημα Torricelli.
Αυτή οδηγεί από σημείο της επιφάνειας στην οπή εκροής. Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει τέτοια ρευματική γραμμή. Ότι δηλαδή μπορούμε να βρούμε σημεία στα οποία αν αφήσουμε το προαναφερθέν μικρό σώμα, θα το δούμε να βυθίζεται και να βγαίνει από την τρύπα διαγράφοντας μια καμπύλη. Ακριβώς την ρευματική γραμμή. Υπάρχουν τέτοια σημεία;
Η εμπειρία αδειάσματος δοχείου με νερό και τρύπα δείχνει ότι το νερό στην επιφάνεια τοπικά περιδινίζεται. Περιδίνηση βλέπουμε και σε κάποια βάθη μέχρι την τρύπα.
Το νερό της επιφάνειας έχει ταχύτητα στο σημείο περιδίνησης, η οποία διαφέρει αισθητότατα από την ασήμαντη ταχύτητα της επιφάνειας. Διαφέρει κατά τάξεις μεγέθους.
Τι θα γίνει αν εφαρμόσω την σχέση Bernoulli σε μια τέτοια ελικοειδή ρευματική γραμμή και αποδώσω άλλη ταχύτητα στο σημείο Α της επιφάνειας;
Θα αποδεχθώ ποια κατάσταση ροής και ποιο συμπέρασμα;
Υποθέτοντας ρευματικές γραμμές (επομένως και φλέβες) όπως αυτές που σημείωσες οδηγούμαστε σε παραβίαση του δεύτερου νόμου για σύστημα.
Δηλαδή του: ΣFεξ,y= dPcm/dt.
Άτοπο συμπέρασμα σημαίνει ότι η υπόθεση ύπαρξης τέτοιων φλεβών δεν είναι σωστή.
Οι γραμμές που σημειώνουμε για να αποδείξουμε το θεώρημα Torricelli από τη σχέση Bernoulli είναι ενδεικτικές. Ενδεικτικές αρχικού και τελικού σημείου.
Στο κάτω-κάτω το θεώρημα Torricelli αποδεικνύεται και διαφορετικά. Με ΘΜΚΕ επί ενός στοιχείου ρευστού. Ακόμα και με διατήρηση ενέργειας όλου του συστήματος.
Το ότι οδηγηθήκαμε σε σωστό αποτέλεσμα σημαίνει ότι υπάρχει τέτοια φλέβα;
Πως δεν βλέπεις να παραβιάζει κάποια από τις θεμελιώδεις αρχές;
Υποθέτω ότι διάβασες όσα έγραψα για την ορμή στον y άξονα. Ας επαναλάβω:
Στον y άξονα η ορμή μειώνεται σε χρόνο dt κατά dM.V . Αυτό σημαίνει ότι η F είναι απειροστά μεγαλύτερη από το βάρος.
Διότι ΣFy=Μ.g-F (με θετική φορά προς τα κάτω).
Αμελώντας τον όρο dM.V έχουμε ότι είναι ίσες.
Το έχω γράψει περισσότερες από μία φορές.
Τι θα πει δεν βλέπεις αντίφαση;
Γιατί δεν βλέπεις;
Σε τι έκανα λάθος σε όσα είπα;
Γιάννη επιμένεις:
“Υποθέτοντας ρευματικές γραμμές (επομένως και φλέβες) όπως αυτές που σημείωσες οδηγούμαστε σε παραβίαση του δεύτερου νόμου για σύστημα.
Δηλαδή του: ΣFεξ,y= dPcm/dt.
Άτοπο συμπέρασμα σημαίνει ότι η υπόθεση ύπαρξης τέτοιων φλεβών δεν είναι σωστή.”
Δεν βλέπω καμιά παραβίαση και κανένα άτοπο. Δεν με πείθεις και από ότι φαίνεται, ούτε εγώ μπορώ να σε πείσω…
Έχω γράψει 3-4 φορές ότι υπάρχει και μεταβολή της ορμής στον άξονα y και στη διάρκεια που το νερό είναι μέσα στο σωλήνα. Πώς αλλιώς να το γράψω για να το λάβεις υπόψη σου.
Αν το λαμβάνεις υπόψη σου, εξήγησε τότε πού παραβιάζονται οι νόμοι της Φυσικής…
Θα με πείσεις αν υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής σε χρόνο dt.
Εγώ έκανα υπολογισμό. Αν δεν κάνεις δικό σου υπολογισμό, πες μου σε ποιο σημείο είναι λανθασμένος αυτός που έκανα.
Διαφορετικά θα λέμε μεταβάλλεται-δεν μεταβάλλεται.
Κάνοντας τον υπολογισμό για όλο το σύστημα θα δεις την ισότητα των δύο δυνάμεων.
Σαν να είναι άσκηση που ζητάει την F.
Μπορώ να στείλω και άσκηση με συγκεκριμένες διατομές και βάθος στην οπόια να ζητώ την F.
Μπορώ να το κάνω εύκολα. Και εσύ μπορείς εύκολα να κάνεις ακριβή υπολογισμό.
Τότε θα πρέπει να αναθεωρήσουμε αυτά με τις ροϊκές γραμμές.
Ίσως πρέπει να αναρτήσω άσκηση στο φόρουμ καλώντας τους συναδέλφους να τη λύσουν.