by 
Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους, την ΑΒ μήκους ℓ1=3m και μάζας m1=2kg και την ΓΔ μήκους ℓ2=2m και μάζας m2. Συγκολλούμε τα άκρα Β και Γ των δύο ράβδων δημιουργώντας μια νέα ράβδο, το στερεό s.
Αφήνουμε ελεύθερο το στερεό s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του ένα ζεύγος δυνάμεων με κατακόρυφη ροπή τ=4Ν∙m για ορισμένο χρονικό διάστημα.
i) Το στερεό s θα εκτελέσει:
α) Μεταφορική κίνηση, β) Στροφική κίνηση, γ) Σύνθετη κίνηση.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
ii) Αν τα άκρα Α και Δ έχουν ταχύτητες μέτρων υΑ=6m/s και υΔ=4m/s να βρεθούν:
α) Το κέντρο μάζας του στερεού s.
β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού.
iii) Αν το ζεύγος που επιτάχυνε το στερεό s, ασκήθηκε πάνω του μέχρι να το στρέψει κατά γωνία φ=5rαd, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του στερεού s καθώς και η μάζα της ράβδου ΓΔ.
iv) Κάποια στιγμή (t0=0) το στερεό s βρίσκεται στη θέση που δείχνει το παραπάνω σχήμα. Τη στιγμή αυτή γίνεται αποκόλληση των δύο ράβδων, οι οποίες πλέον συνεχίζουν να κινούνται ανεξάρτητα η μια της άλλης. Να βρεθούν τη χρονική στιγμή t1=(5π/4)s≈3,9s:
α) Η απόσταση των άκρων Β και Γ των δύο ράβδων.
β) Η συνολική στροφορμή του συστήματος των δύο ράβδων ως προς τον κατακόρυφο νοητό άξονα που αρχικά στρέφεται το στερεό s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=mℓ2/12.
ή
Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.
Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.
Καλημέρα Διονύση
Πολύ ωραία κλιμάκωση των ερωτημάτων.
Ξεχωρίζουν τα δύο τελευταία ερωτήματα.
Διονύση, καλημέρα. Όμορφη άσκηση με πλούσια Φυσική. Είπαμε είσαι μάστορας.
Κάποιες σκέψεις. Στην περιγραφή της γενικής επίπεδης κίνησης το σημείο που επιλέγουμε για την παράλληλη μεταφορά μπορεί να είναι οποιοδήποτε. Η συνήθης επιλογή του κέντρου μάζας γίνεται για τους γνωστούς λόγους. Έτσι, ο νοητός άξονας μήπως πρέπει να γίνει συγκεκριμένος, δηλ. δια του κέντρου μάζας, οπότε πρόκειται για την ιδιοστροφορμή του συστήματος. Έτσι στο τελευταίο ερώτημα θα ξέρουν για ποια στροφορμή μιλάμε.
Αφού μετά την αποκόλληση τα πράγματα παραμένουν ως είχαν σημαίνει ότι δεν ασκήθηκε ροπή (και δύναμη) κατά την αποκόλληση διαφορετικά οι στροφορμές των δύο ράβδων θα έπρεπε να αλλάξουν. Η συνολική όχι (ως προς το ίδιο σημείο αναφοράς). Άρα, μήπως πρέπει να αναφερθεί ότι τίποτα δεν αλλάζει κατά την αποκόλληση.
Πολύ καλή.
Καλησπέρα παιδιά.
Χρήστο, Ντίνο και Γιάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ντίνο, ο μαθητής διδάσκεται ότι:
Αν λοιπόν ασκηθεί στο στερεό ένας ζεύγος δυνάμεων, τότε με βάση το βιβλίο:
Το κέντρο μάζας θα αποκτήσει επιτάχυνση; Προφανώς όχι.
Το στερεό θα περιστραφεί γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του; Και αυτό νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο.
Δεν βλέπω δηλαδή το λόγο που ο μαθητής δεν θα καταλάβει ποιος είναι ο νοητός άξονας περιστροφής και θα υπάρξει παρανόηση.
Από κει και πέρα:
Ο μαθητής μπορεί να έχει ένα πρόβλημα (με βάση το σχολικό βιβλίο) στον υπολογισμό της συνολικής στροφορμής του συστήματος, μετά τον διαχωρισμό των δύο ράβδων. Αλλά γι΄αυτό η απάντηση δόθηκε με βάση την ΑΔΣ, πράγμα που νομίζω ότι μπορούν να κάνει, αν είναι ξεκάθαρο ότι η αποκόλληση δεν μεταβάλει τη στροφορμή του συστήματος.
Και έτσι ερχόμαστε στο δεύτερο σημείο.
Τι σημαίνει αποκόλληση; Στην απάντησή μου έγραψα:
“Στη διάρκεια της αποκόλλησης των δύο ράβδων, δεν ασκήθηκε στο σύστημα κάποια εξωτερική ροπή, οπότε η στροφορμή του συστήματος…”
Υπάρχει ενδεχόμενο να μιλάμε για αποκόλληση δύο σωμάτων και να μην εννοούμε ότι απλά “έσπασε ο δεσμός” που τα κρατούσε ενωμένα; Να συνδέεται με άλλα λόγια (και να υπονοείται…) ότι η αποκόλληση συνδέεται με κάποια εξωτερική επίδραση επί του συστήματος, χωρίς να αναφέρεται κάτι τέτοιο; Νομίζω πώς όχι.
Αν υπήρχε εξωτερική δράση, θα πρέπει σαφώς να αναφέρεται, κάπως έτσι:
“… τη στιγμή… το σύστημα δέχεται ένα κτύπημα…. με αποτέλεσμα οι δύο ράβδοι να αποχωρίζονται..”
Στην περίπτωση αυτή, προφανώς δεν θα είχαμε διατήρηση της στροφορμής, ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Αλλά ας δούμε Ντίνο λίγο και την επίπεδη κίνηση ενός στερεού, την οποία μπορούμε να θεωρούμε ως μια μεταφορά και μια περιστροφή.
Πράγματι η θεώρηση αυτή, μπορεί να γίνει ως προς οποιοδήποτε σημείο…
Αλλά λέγοντας “μπορούμε να θεωρούμε” εννοούμε ότι μπορεί και να μην το κάνουμε ή ο καθένας μας να θεωρεί άλλο σημείο αναφοράς.
Αλλά αυτό έχουμε παραπάνω;
Μήπως η ράβδος περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της;
Είναι θέμα θεώρησης; Ή είναι η πραγματικότητα, όσον αφορά την κίνησή της, η οποία δεν είναι καμιά σύνθετη κίνηση, παρά είναι μια καθαρά στροφική κίνηση;
Ας το δούμε αλλιώς: Το κ.μ. δεν μένει ακίνητο στη διάρκεια της περιστροφής, για κάθε ακίνητο παρατηρητή; Μπορεί ο ένας να το βλέπει ακίνητο και ο άλλος να το βλέπει να έχει κάποια ταχύτητα, βλέποντας κάποιο άλλο σημείο ακίνητο;
Με άλλα λόγια, αν έχουμε δύο ράβδους, όπως στο σχήμα:
όπου η πρώτη περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο πραγματικό άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Κ, ενώ η δεύτερη είναι ελεύθερη και έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα, τι διαφορά έχουν οι δυο κινήσεις; Απλά η δεύτερη γίνεται γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της Κ.
Πολύ καλή άσκηση και σωστή λύση. Μήπως όμως στη λύση πρέπει να δείξουμε ότι οι γωνιακές ταχύτητες των δύο τμημάτων μετά την αποκόλληση τους είναι ίσες με την γωνιακή ταχύτητα που είχε το αρχικό σώμα;
Διονύση, με βάση το σχολικό βιβλίο, έχεις απόλυτο δίκιο (αν και το βιβλίο είναι τόσο ασαφές ή και μπερδεμένο σε πολλά ζητήματα που μας κάνει τη ζωή δύσκολη στο τι πρέπει να πούμε και πως να το πούμε, πχ η σύνδεση της μεταφοράς αποκλειστικά με το κέντρο μάζας που στην περίπτωση της άσκησης όντως είναι ακίνητο και οι σχετικές ταχύτητες ως προς αυτό είναι ίσες με τις απόλυτες ως προς τυχαίο σταθερό Ο, οπότε η περιγραφή είναι καθαρή περιστροφική, πράγμα που δεν θα ίσχυε με την επιλογή άλλου σημείου οπότε και η αντιμετώπιση θα γινόταν απείρως δυσκολότερη στον υπολογισμό των μεγεθών). Στο τελευταίο ερώτημα όντως παρακάμπτεις τη δυσκολία υπολογίζοντας τη στροφορμή πριν τον αποχωρισμό.
Πάντως το «μυστήριο» της τροχιακής στροφορμής χρησιμοποιείται (και στις εξετάσεις), χωρίς να έχει γίνει παρουσίαση για ποιο ακριβώς πράγμα μιλάμε.
Πολύ καλή, Διονύση
( τη μάζα m2 μπορούμε να τη βρούμε, αφού βρήκαμε το Κ.Μ., και από τη σχέση: m1L1/2=m2L2/2 ή είναι εκτός ύλης;
δεν θα έπρεπε να πούμε ότι η χρονική στιγμή to=0, είναι μετα "κάποιο χρονικό διάστημα";)
Καλησπέρα σε όλους.
Αθανάσιε και Βαγγέλη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ντίνο αυτό το πρόβλημα της τροχιακής στροφορμής, έχει καταντήσει το "αυγό του Κολόμβου"! Πρέπει κάποιος να το σπάσει επιτέλους…
Αθανάσιε, νομίζω ότι πρέπει αυτό να έχει διδαχτεί κατά τη διδασκαλία της περιστροφής στερεού, χωρίς να χρειάζεται απόδειξη σε κάθε περίπτωση.
Ένα στερεό στρέφεται, τι σημαίνει;
Σημαίνει ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του στερεού, κάποια στιγμή είναι όπως στο πρώτο σχήμα, ενώ μετά από λίγο έχει τον προσανατολισμό του δεύτερου σχήματος. Με βάση τη γωνία που έχει διαγράψει, υπολογίζουμε ΜΙΑ γωνιακή ταχύτητα:
ω=dφ/dt
Αυτή η γωνιακή ταχύτητα δεν συνδέεται με άξονες περιστροφής… και για να μεταβληθεί απαιτείται κάποια ροπή.
Βαγγέλη, πάμε να καλύψουμε το "άλλο κενό" του κέντρου μάζας εδώ
Δεν είναι στην ύλη η εύρεση του κ.μ….
Όσο για το t0, ελπίζω να μην μπερδέψει κάποιον αφού ..υποτίθεται ότι έχει προηγηθεί η επιτάχυνση.
Καλησπέρα Διονύση.
Δεν τις κόλλησες καλά τις ράβδους και ξεκολλήσανε (ακαριαία θα έλεγα). Έτσι είδαμε πως κινούνται στη συνέχεια.
Αυτό το απόσπασμα του σχολικού που παραπέμπεις ,και το έψαχνα στη παράγραφο με τον Θ.Ν.Σ.Κ ενώ βρισκόταν στη ροπή ,πέρα της σύνδεσής του με το θέμα έχει και την περίεργη ιδιότητα ,όταν ο κέρσορας πάει πάνω του σε παραπέμπει στο γιο-γιο του Χρήστο!
Ωραίο το θέμα με αλλιώτικα φουρούσια!
Πολύ έξυπνη και διδακτική Διονύση, εύγε!!!
Κανόνισες τα δεδομένα έτσι, ώστε το κ.μ. να βγει στο σημείο συγκόλλησης των ράβδων, πράγμα που "απαλείνει" λίγο την δυσκολία της.
Καλημέρα Πρόδρομε και σε ευχαριστώ.
Ναι, πήγε το κ.μ. στο σημείο συγκόλλησης, σε μια προσπάθεια να μην χαθούμε σε μαθηματικές πράξεις…
Καλημέρα Διονύση. Πολύ όμορφο θέμα. Μου άρεσαν δύο σημεία: η εύρευση του κέντρου μάζας, μέσω ταχυτήτων και φυσικά ο έμμεσος υπολογισμός της στροφορμής των δύο ράβδων στο τέλος.
Καλημέρα Παντελή, καλημέρα Αποστόλη.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
(Αν δεν έγραφε ο Αποστόλης, Παντελή, δεν θα έβλεπα και το δικό σου σχόλιο με το Link…)
Καλημέρα Διονύση.
Ήταν στη προηγούμενη σελίδα ,αλλά σιγά μη δεν το 'βλεπες.
Καλή εβδομάδα