by 
Μία ανάρτηση αφιερωμένη εξαιρετικά στον Ανδρέα Ι. Κασσέτα
ΟΙ ΜΝΗΜΕΣ και ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
Η παρουσίαση στο σύνδεσμο με κλικ εδώ.
Εργασία 4.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Μία ανάρτηση αφιερωμένη εξαιρετικά στον Ανδρέα Ι. Κασσέτα
ΟΙ ΜΝΗΜΕΣ και ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
Η παρουσίαση στο σύνδεσμο με κλικ εδώ.
Εργασία 4.
Γιάννη δεν διαφωνώ στο ότι ένα μαγνητικό πεδίο δεν δίνει πεδίο δυνάμεων. Αυτό όμως πως μας οδηγεί να δεχτούμε τον μηδενισμό του στροβιλισμού σαν κριτήριο χαρακτηρισμού διανυσματικού πεδίου ως συντηρητικού; Ακόμα και στα μαθηματικά δεν είναι μια γενικά καθιερωμένη ορολογία. Νομίζω πως ένα λογικότερο κριτήριο είναι το αν διατηρείται η ενέργεια. Εξ άλλου αν δεχτούμε το κριτήριο του στροβιλισμού θα πρέπει να χαρακτηρίζουμε το πεδίο ταχυτήτων σε κάποιες ροές ως συντηρητικό ή μη συντηρητικό.
Σχετικά με το ότι η κυκλοφορία Fds δεν αντιστοιχεί πάντα σε έργο. Δες το ακόλουθο παράδειγμα: Σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο οι ίσες εντάσεις αυξάνονται χρονικά με τον ίδιο σταθερό ρυθμό. Θεωρούμε σαν κλειστή καμπύλη ένα τετράγωνο με δυο πλευρές παράλληλες τις δυναμικές γραμμές. Προφανώς η κυκλοφορία της Ε στο τετράγωνο είναι μηδέν. Όμως το έργο της ηλεκτρικής δύναμης σε φορτίο που θα κινηθεί κατά μήκος του τετραγώνου δεν είναι μηδενικό.
1) Όταν οι φυσικοί λέμε "συντηρητικό πεδίο", εννοούμε "συντηρητικό πεδίο δυνάμεων". Συμφωνούμε επίσης πως το μαγνητικό πεδίο δεν δίνει πεδίο δυνάμεων. Από τη στιγμή λοιπόν που δεν έχουμε καν πεδίο δυνάμεων, πιο πράγμα καλούμαστε να χαρακτηρίσουμε ως "συντηρητικό" ή ως "μη συντηρητικό";
2) Κατά τη γνώμη μου, για να δούμε αν ένα πεδίο είναι συντηρητικό ή όχι, θα πρέπει να "παγώσουμε" τον χρόνο και μετά να υπολογίσουμε το έργο σε κλειστή διαδρομή. Αν θεωρήσουμε πως ο χρόνος "κυλά" κατά τη διάρκεια της κλειστής διαδρομής, θα βρεθούμε μπροστά σε πολλά παράδοξα. Για παράδειγμα θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα πως το βαρυτικό πεδίο είναι μη συντηρητικό (αυτό μου θύμισε μια συζήτηση που κάναμε εδώ, πριν καμιά 10αριά χρόνια). Εξάλλου όλοι οι μαθηματικοί ορισμοί, θεωρήματα κτλ των διανυσματικών πεδίων αναφέρονται αποκλειστικά στον χώρο και όχι στο χρόνο (γενικότερα τα μαθηματικά είναι άχρονα). Ένα χρονοεξαρτημένο πεδίο δεν αποτελεί καν διανυσματικό πεδίο με τη μαθηματική έννοια του όρου.
Καλησπέρα συνάδελφοι και από εδώ.
Σε μία μόνιμη, αστρόβιλη, ροή ενός ιδανικού, ασυμπίεστου ρευστού (μηδενικού ιξώδους), ο στροβιλισμός και η κυκλοφορία του πεδίου της ταχύτητας ισούται με το μηδέν. Μπορώ να ορίσω μία βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού και η ποσότητα που διατηρείται είναι η ενέργεια ανά μονάδα όγκου της εξίσωσης Bernoulli. Αν η παραπάνω ροή είναι και στροβιλώδης, μπορω να ορίσω μία διανυσματική συνάρτηση δυναμικού, σε πλήρη αναλογία με το Η/Μ πεδίο. Όπως η συνολική Η/Μ δύναμη προκύπτει από το βαθμωτό ηλεκτροστατικό δυναμικό σύν το διανυσματικό μαγνητικό δυναμικό, έτσι και το συνολικό πεδίο της ταχύτητας μιας στροβιλώδους, ιδανικής ροής προκύπτει από το βαθμωτό και το διανυσματικό δυναμικό της ροής.
Βάσει των παραπάνω προσωπικά θεωρώ ότι όπως δεχόμαστε ότι υπάρχει πεδίο ταχύτητας στην στροβιλώδη ροή (το βλέπουμε αν χρωματίσουμε το νερό), υπάρχει και πεδίο δυνάμεων στον Η/Μ (μετράμε τις δυνάμεις μέσω των επιταχύνσεων φορτισμένων σωματιδίων).
Ας συνεχίσουμε λοιπόν. Αναρωτιέμαι αν θα μπορούσαμε να συμφωνήσουμε στο εξής. Ίσως δεν έχει νόημα για το μαγνητικό πεδίο ο χαρακτηρισμός συντηρητικό ή μη συντηρητικό. Αν όμως είχαμε να επιλέξουμε μεταξύ των δυο η λογική επιλογή είναι συντηρητικό καθώς οι μαγνητικές δυνάμεις δεν αλλάζουν την ενέργεια. Σε κάθε περίπτωση είναι παράλογος ο χαρακτηρισμός μη συντηρητικό για το μαγνητικό πεδίο.
Σχετικά με το αν η κυκλοφορία Fds αντιστοιχεί πάντα σε έργο. Το παράδειγμα που έδωσα ( το οποίο δεν σχολιάστηκε) νομίζω δείχνει ξεκάθαρα ότι η κυκλοφορία Fds δεν αντιστοιχεί πάντα σε πραγματικό έργο. Σχετικά με το θέμα αυτό ο Διονύσης Μάργαρης είχε αναφέρει στα πλαίσια μιας καλοκαιρινής συζήτησης ένα ενδιαφέρον άρθρο https://www.researchgate.net/publication/281667003_Work_of_a_time-dependent_force
Τέλος η αναφορά «Ένα χρονοεξαρτημένο πεδίο δεν αποτελεί καν διανυσματικό πεδίο με τη μαθηματική έννοια του όρου.» δεν μπορεί να είναι σωστή. Αν υπάρχουν όμως κάποια επιχειρήματα να τα ακούσουμε.
Καλησπέρα.
Αντιλαμβάνομαι το διανυσματικό πεδίο ως μία συνάρτηση από τον R3->R3 , δηλαδή σε κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχεί ένα διάνυσμα.
Υποθέτω ότι ο Γιάννης αυτό θέλει να πει.
Μία απαραίτητη διευκρίνιση: Συμφωνώ με το γενικό πνεύμα του σχολίου του Γιάννη Μήτση εδώ. Απλά, προσωπικά, δεν θα είχα πρόβλημα στο να αποκαλέσω συντηρητικό, οποιοδήποτε διανυσματικό (μη χρονοεξαρτώμενο) πεδίο (π.χ. ένα πεδίο ταχύτητας), αν πληροί τις ανάλογες προϋποθέσεις. Και δεν θα είχα πρόβλημα στο να αποκαλέσω πεδίο την μαγνητική επαγωγή, και τις δυνάμεις που αυτή δημιουργεί. Φυσικά τα παραπάνω είναι προσωπικές απόψεις που δεν δεσμεύουν κανέναν.
Ιάκωβε,
Ένα χρονοεξαρτημένο πεδίο είναι μια συνάρτηση Π(x,y,z,t), πράγμα που δεν συμβαδίζει με τον μαθηματικό ορισμό που απαιτεί το διάνυσμα Π να είναι μια συνάρτηση Π(x,y,z). Υπό αυτή την έννοια έγραψα πριν πως ένα χρονοεξαρτόμενο πεδίο δεν είναι για τους μαθηματικούς πεδίο.
Έλα όμως που εμείς οι φυσικοί θέλουμε να χειριζόμαστε και τα χρονοεξαρτημένα πεδία. Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα σκεπτόμαστε ως εξής: Θεωρούμε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t1 («παγώνουμε» τον χρόνο έγραψα σε προηγούμενο μήνυμα). Την συγκεκριμένη αυτή στιγμή ορίζεται ένα πεδίο Π1(x,y,z) που τώρα είναι μια χαρά διανυσματικό πεδίο αφού είναι μόνο συνάρτηση χωρικών συντεταγμένων. Αντίστοιχα υπάρχει ένα πεδίο Π2, Π3, …Πn κατά τις χρονικές στιγμές t2, t3, …., tn. Δηλαδή σε κάθε χρονική στιγμή ορίζουμε και ένα διανυσματικό πεδίο.
Εντάξει, μια χαρά φαίνεται να οικοδομήσαμε την έννοια «χρονοεξαρτημένο πεδίο» αλλά για να δούμε πως θα αποφανθούμε αν το πεδίο Π είναι συντηρητικό. Για τον μαθηματικό δεν υπάρχει ζήτημα. Όπως είπαμε, θα πει: «το Π(x,y,z,t) δεν είναι πεδίο, οπότε δεν έχει νόημα να το χαρακτηρίσω ως συντηρητικό ή μη». Ο φυσικός μπορεί να ακολουθήσει τις παρακάτω λογικές:
Α) Αν για κάθε κλειστή διαδρομή το έργο είναι 0, το πεδίο είναι συντηρητικό. Η κλειστή αυτή διαδρομή πραγματοποιείται καθώς ο χρόνος «κυλάει».
Β) Για τα Π1, Π2, …, Πn μπορούμε με ασφάλεια να αποφανθούμε αν είναι συντηρητικά, αφού είναι μαθηματικά διανυσματικά πεδία. Αν λοιπόν καθένα από αυτά είναι συντηρητικό, τότε και το Π το ονομάζω συντηρητικό. Ουσιαστικά δηλαδή «παγώνουμε» τον χρόνο σε σταθερή τιμή πριν εκτελέσουμε την νοητή κλειστή διαδρομή που ελέγχει την συντηρητικότητα.
Απ’ ότι κατάλαβα, εσύ είσαι οπαδός της (Α) λογικής, όμως συνήθως αντιμετωπίζουμε τα χρονοεξαρτημένα πεδία με βάση τη λογική (Β). Έτσι, για παράδειγμα, ένα κινούμενος πλανήτης δεν δημιουργεί μη συντηρητικό πεδίο (με την Α λογική το βαρυτικό πεδίο του πλανήτη θα χαρακτηριζόταν μη συντηρητικό). Επίσης, το παράδειγμα του χρονομεταβαλλόμενου ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου που ανέφερες, αν το δεις υπό το πρίσμα της (Β) λογικής, προκύπτει συντηρητικό.
Με ρωτάς αν έπρεπε οπωσδήποτε να επιλέξω μεταξύ των χαρακτηρισμών «συντηρητικό» και «μη συντηρητικό», ποιον θα επέλεγα για την περίπτωση του μαγνητικού πεδίου. Θα επέλεγα τον χαρακτηρισμό «συντηρητικό», έχοντας όμως στο πίσω μέρος του μυαλού μου πως ο χαρακτηρισμός αυτός περισσότερα προβλήματα δημιουργεί παρά επιλύει. Δεν βλέπω γιατί είναι τόσο σημαντικό να αποδώσουμε στο μαγνητικό πεδίο τον ένα ή τον άλλον χαρακτηρισμό.
Αγαπητέ Γιάννη καλησπέρα.
Σ΄ αυτό το σύνδεσμο θα βρεις μια ανάλυση που ανέβασα χτες για τις δυνάμεις που ασκεί το μαγνητικό πεδίο και, ανάμεσα στ΄ άλλα αναλύεται και το πρόβλημα της συντηρητικότητας του μαγνητικού πεδίου.
Ένας λόγος (ίσως υπάρχουν κι άλλοι) που δε βρίσκω πολλά σχόλια στις αναρτήσεις μου, είναι ότι, αντί να αντιμετωπίζω τέτοια θέματα με "εύλογα" επιχειρήματα τα αντιμετωπίζω με μαθηματικά και τα μαθηματικά αυτά είναι λίγο προχωρημένα. Αυτό γιατί έχω τη βαθειά πεποίθηση ότι, χωρίς τα μαθηματικά του απαιτούμενου επιπέδου, απλώς φλυαρούμε χωρίς ποτέ να καταλήγουμε σε ασφαλή συμπεράσματα.
Αν συμφωνείς με τις απόψεις μου και καταπιάνεσαι με άρθρα που αντιμετωπίζουν αυτά τα θέματα με μαθηματικά εργαλεία, σου δίνω συγχαρητήρια. Αν όμως όχι, θα ήθελα να σε ρωτήσω ένα πράγμα: είναι γιατί τα περιφρονείς ή γιατί θεωρείς τα μαθηματικά αυτά "άπιαστα για ένα καθηγητή μέσης εκπαίδευσης;"
Καλησπέρα. Γιάννη (Μήτση) νομίζω ότι διαφωνείς συμφωνώντας ότι ένα χρονοεξαρτημένο πεδίο αποτελεί διανυσματικό πεδίο με τη μαθηματική έννοια του όρου. Όταν σε κάθε χρονική στιγμή αντιστοιχεί ένα διανυσματικό πεδίο , οι μαθηματικοί θεωρούν ότι αυτό είναι ένα διανυσματικό πεδίο που είναι συνάρτηση της μεταβλητής t F(r,t)=F(r)(t). Και βέβαια για κάθε χρονική στιγμή μπορούν να κάνουν όλα όσα κάνουν για ένα διανυσματικό πεδίο F(r).
Βλέπω πως θεωρείς το βαρυτικό πεδίο ενός πλανήτη (ως προς σύστημα αναφοράς στη γη υποθέτω ) ως συντηρητικό. Στην βιβλιογραφία όμως ένα πεδίο δυνάμεων θεωρείται συντηρητικό αν ικανοποιεί δυο συνθήκες: 1)Να είναι χρονικά ανεξάρτητο και 2) Να έχει μηδενικό στροβιλισμό σε κάθε σημείο. (Βλ. πχ Taylor Classical Mechanics σελ 121 και το άρθρο του Παπαχρήστου που ανέφερα σε προηγούμενο σχόλιο) Το βαρυτικό πεδίο λοιπόν ενός πλανήτη που όπως το παρατηρούμε από τη γη είναι χρονοεξαρτημένο (λόγω της κίνησης του πλανήτη) , δεν μπορεί να θεωρηθεί ως συντηρητικό).
Ιάκωβε,
Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο το βαπτίζουμε «μη συντηρητικό» ακόμα και όταν κάθε χρονική στιγμή είναι συντηρητικό πεδίο!. Σκάλισα λίγο το internet και είδα πως μάλλον έχεις δίκιο. Αυτή την επιλογή ονόματος φαίνεται να έχουμε κάνει. Ατυχής επιλογή, αλλά δε βαριέσαι, ένα όνομα είναι, θα συμβιβαστώ.
Νίκο,
Διάβασα την εργασία σου με την οποία δεν έχω καμία διαφωνία. Συγχαρητήρια.
Αν τη διαβάσει κάποιος στο σύνολό της θα δει ότι αποδεικνύεις πως «Το πεδίο δυνάμεων που δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο σε ένα μαγνητικό δίπολο σταθερού προσανατολισμού, είναι συντηρητικό».
Κάποιος άλλος, ίσως διαβάσει μόνο το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγεις όπου λες: «το μαγνητικό πεδίο είναι συντηρητικό». Αυτός μπορεί να ερμηνεύσει την παραπάνω διατύπωση ως: «το πεδίο των μαγνητικών εντάσεων Β είναι συντηρητικό», πράγμα που δεν είναι σωστό. (Φαντάζομαι να συμφωνείς ότι το μαγνητικό πεδίο των εντάσεων Β, δεν είναι συντηρητικό)
Στα προηγούμενα σχόλιά μου, προσπαθώ να επισημάνω πως είναι άλλο το πεδίο εντάσεων και άλλο το πεδίο δυνάμεων ενός μαγνητικού πεδίου. Η μη συντηρητικότητα του πεδίου μαγνητικών εντάσεων δεν συνεπάγεται μη συντηρητικότητα του πεδίου μαγνητικών δυνάμεων.
Καλημέρα.
Θεώρησα από την αρχή σημαντική και χρήσιμη την τοποθέτηση του σ. ΜΗΤΣΗ στις 10/9. 3μμ. Παρακολούθησα από εκεί και μετά την κουβέντα κατά βαση με τον σ ΜΑΖΗ ψάχνωντας ταυτόχρονα ότι αφορούσε τα σημεία που φαίνονταν να υπάρχουν διαφωνιες. Τελικά ξεκαθάρισαν όλα νομίζω και συμφωνω με τις καταληκτικές θέσεις σας. Είχα ετοιμάσει κάτι σε σχέση με αυτά αλλά πλέον τα είπατε όλα, δεν έχει νόημα να τα αναρτήσω.
Νικο Παναγιωτιδη εδώ που είμαι, με ένα tablet, δεν μπορω να δω την εργασία σου, δεν μου ανοιγει το αρχείο, μόλις βρεθώ με "πραγματικό" υπολογιστή θα την δω οπωσδήποτε.
Να είστε πάντα καλά.
Καλησπέρα σε όλους.
Θεωρώ πως το πεδίο δυνάμεων που δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σε καμία περίπτωση συντηρητικό. Όταν μιλάμε για ένα δίπολο σταθερού προσανατολισμού, θεωρούμε κατ' ουσίαν έναν επίπεδο αγωγό, ο οποίος δεν περιστρέφεται αλλά μόνον μεταφέρεται (ο προσανατολισμός στο δίπολο προκύπτει από το διάνυσμα που ορίζει η επιφάνεια του αγωγού). Αν τώρα ο κλειστός αγωγός διαρρέεται από σταθερό ρεύμα, τότε οι δυνάμεις που αναπτύσσονται σε αυτόν δεν μεταβάλλουν την ενέργεια του συστήματος πεδίου -αγωγού. Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι δεν εμφανίζονται στον κλειστό αγωγό επαγωγικά ρεύματα, δηλαδή ότι δεν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που τον διαπερνά.
Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι το πεδίο είναι τότε συντηρητικό, γιατί το έργο των δυνάμεων αυτών δεν ισούται με το μηδέν σε κάθε δυνατή διαδρομή του πλαισίου. Μπορώ πάντα να επιλέξω διαδρομή, όπου η μαγνητική ροή μεταβάλλεται χρονικά και η ενέργεια δεν διατηρείται. Φυσικά αν επιλέγω μόνον διαδρομές όπου η μαγνητική ροή είναι σταθερή (διαδρομές με σταθερό διάνυσμα διπολικής ροπής, διαδρομές στις οποίες δεν μεταβάλλεται το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής) η ενέργεια θα είναι σταθερή.
Ας μην ξεχνάμε επιπλέον ότι μαγνητικές δυνάμεις δεν είναι κατ' ουσίαν οι μακροσκοπικές δυνάμεις Laplace σε κλειστούς αγωγούς, αλλά οι δυνάμεις Lorentz σε κινούμενα φορτία.
Καλησπέρα.
Αυτό που ήθελα να δείξω, Γιάννη και Στάθη, ήταν ότι: η μεταφορά ενός μαγνητικού διπόλου από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β δεν εξαρτάται από τη διαδρομή αρκεί ο προσανατολισμός του διπόλου να είναι σταθερός (για την ακρίβεια απαιτείται μόνο ο προσανατολισμός στο Β να είναι ίδιος με αυτόν στο Α έστω κι αν δεν είναι σταθερός σ΄ όλη τη διαδρομή). Στο ηλεκτρικό πεδίο δεν υπάρχει καμιά απαίτηση κατά τη μεταφορά του φορτίου από το Α στο Β ώστε το έργο να είναι ανεξάρτητο της διαδρομής πέραν του ότι το φορτίο πρέπει να έχει την ίδια τιμή στα δύο σημείο, το οποίο, χάρη στην αρχή διατήρησης του φορτίου, είναι εξασφαλισμένο. Έτσι το ηλεκτρικό πεδίο είναι συντηρητικό με την αυστηρή έννοια, ενώ το μαγνητικό όχι. Παρ΄ όλα αυτά ορίζεται η ενέργεια μαγνητικού διπόλου σε μαγνητικό πεδίο.
Είναι αξιοσημείωτο ότι ενώ δεν μπορεί να οριστεί πεδίο δυνάμεων για ένα μαγνητικό πεδίο βλέπουμε γραμμένο με bold χαρακτήρες ότι «το πεδίο δυνάμεων που δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο, δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σε καμία περίπτωση συντηρητικό»! Επίσης παραβλέπεται το μάλλον προφανές ότι η ενέργεια που εμφανίζεται σε αγώγιμο βρόχο που κινείται σε μαγνητικό πεδίο δεν οφείλεται σε έργο μαγνητικών δυνάμεων αλλά στο έργο της δύναμης που κινεί τον βρόχο.