by 
Η παρούσα ανάρτηση είναι η δίδυμη αδελφή μίας παλαιότερης, της Κύλιση σε ημικυκλική τροχιά και επαφή.
Εξετάζεται η κύλιση μίας σφαίρας στο εσωτερικό μίας ημικυκλικής τροχιάς και το εύρος των γωνιών στις οποίες δεν εμφανίζεται ολίσθηση.
Στο πρώτο μέρος (το οποίο απευθύνεται και σε μαθητές υπό την μορφή άσκησης) μελετάται η κύλιση της σφαίρας. Στο δεύτερο μέρος (το οποίο απευθύνεται κατά κύριο λόγο σε συναδέλφους) δίνεται ένας γενικός τύπος για τον υπολογισμό της μέγιστης οριακής γωνίας, στην οποία δεν παρατηρείται ολίσθηση.
Το αρχείο εδώ.
Καλησπέρα σας κ.Στάθη,
Εξαιρετική η ανάλυση σας και ιδιαιτέρως λεπτομερής…….
Η γενίκευση ειδικά μου άρεσε πάρα πολύ!
Συγχαρητήρια και για την παλαιότερη ανάρτηση σας, που αναφέρεται στην κύλιση στερεού σε ημικυκλική τροχιά.
Σπύρο σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Σου εύχομαι ότι καλύτερο για το μέλλον.
Καλημέρα Στάθη.
Ένα θέμα που προκάλεσε πολλές συζητήσεις, όταν μπήκε στις εξετάσεις.
Μπορεί να έχουμε κύλιση για οποιαδήποτε θέση; Προφανώς όχι!
Νομίζω ότι μετά την παραπάνω μελέτη σου, να μην μείνουν αμφιβολίες σε κανένα…
Ολιστική αντιμετώπιση!!!
Τα συγχαρητήριά μου για τη μελέτη σου.
Όταν ετέθη στις Πανελλήνιες εξετάσεις το θέμα, προφανώς και δεν είχαν δει κάτι τέτοιο οι θεματοδότες!
Ειδάλλως θα το είχαν αποφύγει.
Ο περιορισμός της ύλης μας έχει κάνει να εμβαθύνουμε στα αντίστοιχα κεφάλαια, και να βγάλουμε στην επιφάνεια όμορφα πράγματα, όπως και το πόνημά σου!
Είχαν δίκιο οι αρχαίοι ημών πρόγονοι που βγάλανε το ρητό:
ουδέν κακόν αμιγές καλού
ή και αντιστρόφως!!
Καλημέρα Στάθη.
Μπράβο για την νέα δουλειά σου.
Θα την ξαναδώ σε λεπτομέρειες.
Στάθη καλησπέρα.
Πολύ ποιοτική δουλειά όπως πάντα.
Ο τρόπος παρουσίασης του είναι τέτοιος που θέλεις να το διαβάσεις μονομιάς.
Με αφορμη το θέμα του 2015 εγιναν πολλές συζητήσεις. Ο καθηγητής Χάρης Αποστολατος είχε δώσει μια διάλεξη για αυτό το θέμα. Στη διάλεξη γνώρισα για πρωτη φορά τον Άρη τον Αλεβιζο και τον Βαγγέλη τον Κορφιάτη από κοντά. Ο Βαγγέλης είχε αναλύσει και αυτός το θέμα αναλυτικα και μάλιστα ο καθηγητής επικαλέστηκε την εργασία του.
Συγχαρητήρια και από μένα.
Για να μην ολισθαίνει αν η αρχική γωνία είναι φ, θα πρέπει η ελάχιστη τιμή του συντελεστή τριβής να είναι (2/7)εφφ.
Έτσι για γωνία 45 μοιρών θέλουμε συντελεστή τριβής 2/7. Για γωνία 89,9 μοιρών θέλουμε συντελεστή τριβής 163,7!
Καλημέρα σε όλους και καλό μήνα.
Διονύση, Πρόδρομε, Άρη, Χρήστο και Γιάννη, σας ευχαριστώ.
Είναι προφανές (και γνωστό εδώ και καιρό), ότι η ολίσθηση καραδοκεί στις ημικυκλικές τροχιές, είτε από την κοίλη, είτε από την κυρτή τους πλευρά. Να σταθώ λίγο στην σχέση που έγραψε ο Γιάννης Κυρ. Ο γενικός τύπος που δίνει τον συντελεστή τριβής ολίσθησης με την σταθερά λ και την γωνία, είναι ο
Για λ = 2/5 (συμπαγής σφαίρα) το αποτέλεσμα είναι (2/7)εφ(φ). Στην παρακάτω εικόνα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση του συντελεστή μ συναρτήσει της γωνίας φ, για λ=2/5, λ=2/3, λ=1/2, λ=1, από αριστερά (κόκκινο) προς τα δεξιά (μπλε).
Κατ' ουσίαν γωνίες με συντελεστή μ>1 είναι απαγορευμένες.
Καλημέρα Στάθη και καλό μήνα.
Το θέμα έχει ενδιαφέρον. Ας δούμε πρόβλημα του βιβλίου:
Όταν το λύνουμε επικαλούμαστε αντιφατικές παραδοχές:
1. Δεν ακουμπά οριακά στην ανώτερη θέση.
2. Δεν ολισθαίνει.
3. Διατηρείται η ενέργεια.
Αν ακουμπά λιγάκι τότε ολισθαίνει. Η ολίσθηση έχει αρχίσει σε προηγούμενη θέση. Μεταξύ της εν λόγω θέσης και της ανώτερης θέσης έχουμε παραγωγή θερμότητας.
Κάποιοι θεωρούν πως η προσέγγιση είναι καλή. Λάθος. Στο ΕΚΦΕ Αγίων Αναργύρων, πριν τρία χρόνια, ο Θωμάς Νίκας εξετέλεσε το πείραμα με μεγάλη ακρίβεια (φωτοπύλες). Η απόκλιση ήταν 20%. Δηλαδή με διάμετρο 20 cm πρέπει να το αφήσουμε 4 cm ψηλότερα απ' ότι βγάζουμε στο χαρτί.
Η λύση είναι προβληματική. Πολλοί θεωρούν ότι η κατάσταση διορθώνεται αν πούμε στην εκφώνηση το "Θεωρήσατε ότι δεν ολισθαίνει". Τότε όμως χρειαζόμαστε συντελεστές τριβής μεγαλύτερους από το 100.
Γιάννη συμφωνώ στο ότι η εν λόγω άσκηση είναι το λιγότερο προβληματική. Η διαφορά στην οποία αναφέρεσαι οφείλεται στην ενέργεια που χάνεται λόγω ολίσθησης. Απώλεια η οποία θα υποάρχει ακόμη και αν αυξήσουμε πάρα πολύ τον συντελεστή τριβής (για την κατακόρυφη θέση θα πρέπει το μ να τείνει στο άπειρο).
Στο μόνο που στέκομαι είναι στην αξία της ως εκπαιδευτικό εργαλείο στο στερεό. Συνδυάζει κύλιση, κεντρομόλο και ενέργεια για να λυθεί. Νομίζω ότι θα πρέπει να διδάσκεται, αλλά να αναφέρεται ρητά ότι η πραγματοποίηση αυτού του φαινομένου απαιτεί αφύσικα μεγάλους συντελεστές ολίσθησης.
Μία διόρθωση στην τελευταία πρόταση (πριν το σχήμα):
Για λ = 2/5 (συμπαγής σφαίρα) το αποτέλεσμα είναι (2/7)εφ(φ). Στην παρακάτω εικόνα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση του συντελεστή μ συναρτήσει της γωνίας φ, για λ=2/5, λ=2/3, λ=1/2, λ=1, από δεξιά (μπλε) προς τα αριστερά (κόκκινο) .
Την διδάσκω την άσκηση για τους λόγους που αναφέρεις.
Θα προτιμούσα άλλη εκδοχή. Να αφήνεται από ύψος μεγαλύτερο από 2,7R και να ζητείται η Ν. Τότε ουδέν πρόβλημα υφίσταται.
Εφαρμόζεται πάλι η διατήρηση της ενέργειας και χρησιμοποιείται πάλι η Ν ως τμήμα της κεντρομόλου. Προστίθεται μάλιστα και ωραίο ερώτημα:
-Βρείτε την Ν και την Τ στην ανώτερη θέση.
Θα πουν πολλοί ότι Τ=μ.Ν.
Καλημέρα Στάθη και Γιάννη και καλό μήνα.
Μια "θέση" και από μένα.
Η άσκηση με την ανακύκλωση, δεν έχει κανένα πρόβλημα όταν διδάσκεται στην τάξη. Και πρέπει οπωσδήποτε να διδάσκεται, αφού είναι "κορυφαία"!
Έχει πρόβλημα όταν πάμε να την πραγματοποιήσουμε πειραματικά ή ασχοληθούμε με μελέτη εμβάθυνσης, πράγμα που δεν ενδιαφέρει τους μαθητές.
Βέβαια η πρόταση του Γιάννη για "…αφήνεται από ύψος μεγαλύτερο από 2,7R και να ζητείται η Ν." είναι ΑΡΙΣΤΗ!
Μακάρι σε επόμενη αλλαγή βιβλίου, να ληφθεί υπόψη…
Με αφορμή την αναφορά στην άσκηση του βιβλίου, να υπενθυμίσω μια παλιότερη ανάρτηση του Νίκου Ανδρεάδη:
Ανακύκληση σφαίρας σε κυκλικό οδηγό
Διονύση συμφωνώ ότι η μεταροπή που προτείνει ο Γιάννης λύνει πολλά προβλήματα, αρκεί να μην ζητηθεί η Ν σε γωνίες στις οποίες παρατηρείται ολίσθηση. Γιατί εκεί δεν διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Για παράδειγμα για συμπαγή σφαίρα, λ=2/5, και για μ=1 (τυπική τιμή μεταξύ στερεών επιφανειών), προκύπτει μεγιστη γωνία περίπου 74 μοίρες.
Παρ' όλα αυτά προτιμώ να διδάσκεται η εν λόγω άσκηση, όπως και τα κύματα με την… άπειρη επιτάχυνση, παρά να μην διδάσκεται τίποτα.