Κοντά όμως σε σχήμα U. Όχι ο σωλήνας να είναι υποπενταπλάσιας διατομής.
Τότε η ταλάντωση δεν θα γίνει αισθητή, ούτε καν θεωρητικά.
Αν ο σωλήνας σύνδεσης έχει ελαφρότατα μικρότερη διατομή από τα σκέλη, θα έχουμε ταλάντωση φθίνουσα ακόμα και απουσία κάθε αντίστασης και ιξώδους. Μια "υποβάθμιση" ενέργειας. Προσανατολισμένη κίνηση->άτακτη κίνηση.
Η υποβάθμιση είναι τρομερή στην περίπτωση σημαντικής διαφοράς διατομών.
Αξίζει να παίξουμε με την περίπτωση των συγκρίσιμων διατομών. Αισθάνομαι ότι θα προκύψει αντίσταση ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας. Η επίλυση της εξίσωσης (για μένα είναι πολύ πιο εύκολη η προσομοίωσή της) θα δείξει τι συμβαίνει τελικά.
Αν όπως το δούμε "διαισθητικά" καταλαβαίνουμε ότι η ταχύτητα μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση. Δηλαδή σε διπλάσια απόσταση μια μαζούλα νερού έχει τη μισή ταχύτητα, οπότε η στροφορμή της διατηρείται. Επίσης η πίεση μεγαλώνει προς τα έξω έτσι ώστε η μαζούλα να δέχεται την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη. Έτσι φαντάζομαι (χωρίς να έχω κάνει πράξεις) ότι η παράσταση του νόμου Μπερνούλι έχει σταθερή τιμή.
Σε μια παλιότερη ανάρτησή μου Γιάννη (εδώ) καταλήγω στο εξής συμπέρασμα: Η ενέργεια μιας μικρής μαγνητικής ροπής μ σε ένα μαγνητικό πεδίο Β(r) είναι U=-μ.Β(r). Η δύναμη που ασκεί το μαγνητικό πεδίο στη μαγνητική ροπή (στο δίπολο) είναι: F=-grad(U). Στο μαγνητικό πεδίο, όπως σε κάθε πεδίο, το κριτήριο για να είναι συντηρητικό είναι ότι η δύναμη, και όχι η μαγνητική επαγωγή, πρέπει να είναι το grad κάποιας βαθμωτής ποσότητας.
Όμως το μαγνητικό πεδίο δεν είναι συντηρητικό. Μπορείς να το εξηγήσεις; Με παρόμοιο τρόπο εξηγείται γιατί το πεδίο της πίεσης ιδανικού ρευστού δεν είναι συντηρητικό.
Σε μία μόνιμη (στρωτή) ροή κάθε μάζα ακολουθεί την ρευματική γραμμή της (ή τροχιά της) αυστηρά. Άρα καμία μάζα δεν μπορεί να "αλλάξει" ρευματική γραμμή σε αυτήν την δίνη (τότε η ταχύτητά της θα εξαρτώταν και από την γωνία στα σημεία αλλαγής, δεν θα ήταν αυστηρλα εφαπτόμενη), αυτό εννοώ. Επίσης έχεις δίκιο, όλες οι μάζες έχουν την ίδια στροφορμή. Στο παράδειγμα εφάρμοσα και την εξισωση του Bernoulli, για να δείξω ότι προβλέπει την σωστή συμπεριφορά της πίεσης, ακόμη και αν εφαρμόζεται σε διαφορετικές τροχιές.
Δηλαδή θεωρείς ως υπόθεμα όχι ένα κινούμενο φορτίο αλλά μια μαγνητική βελόνα.
Ας δούμε μια μαγνητική βελόνα:
Κάθε μία από τις δυνάμεις στα άκρα έχει μη μηδενικό στροβιλισμό.
Η συνισταμένη τους (στην σχεδιασθείσα περίπτωση) έχει μηδενικό στροβιλισμό ως κατευθυνόμενη προς το κέντρο του κύκλου.
Οπότε;
Ποιος ασχολείται με την συνισταμένη δύναμη;
Να την κάνουμε τι;
Ένα σώμα μπορεί να στρέφεται ακόμα και αν η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν.
Αν θεωρήσουμε τη μαγνητική σου ροπή σαν παράθεση δύο μονόπολων, τότε το έργο σε καθένα δεν θα ήταν μηδενικό αν διέγραφε τον κύκλο.
Αν με παρόμοιο τρόπο εξηγείται η μη συντηρητικότητα ενός πεδίου ροής, τότε δεν μας απασχολεί.
Σε μία αστρόβιλη ροή dP.δV είναι το έργο που παράγεται από το ρευστό. Αν φύγουμε από το σημείο Α και ξαναγυρίσουμε, το έργο αυτό είναι μηδέν. Αν η ροή είναι:
Το ίδιο μπορείς να κάνεις και με ένα ηλεκτρικό πεδίο που γεννάται από μεταβολή μαγνητικής ροής και έχει κυκλικές δυναμικές γραμμές. Ένας μαθητής επί Δεσμών γνώριζε πολύ καλά την μη συντηρητικότητά του.
Θα πεις ότι είναι συντηρητικό;
Αν όμως πάρουμε ένα ηλεκτρικό δίπολο εφαπτόμενο συνεχώς στον κύκλο, το συνολικό έργο θα είναι μηδενικό.
Ε και τι έγινε;
Ένα παιγνίδι κάναμε. Θα καθορίσουν τα αποτελέσματα του παιγνιδιού το αν είναι το εν λόγω ηλεκτρικό πεδίο συντηρητικό;
Γιάννη, δεν με κατάλαβες. Θα προτιμούσα να μιλούσαμε με μαθηματικούς όρους και όχι με σχήματα. Άλλωστε εσύ ξεκίνησες τη συζήτηση στην οποία καταλήγεις ότι, αφού η δύναμη είναι το grad κάποιου πεδίου, είναι μια συντηρητική δύναμη. Δηλαδή, ανοίγει εδώ μια συζήτηση που έχει τίτλο: "Όταν ένα πεδίο δυνάμεων εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, είναι ένα συντηρητικό πεδίο;" Εγώ σου έφερα σαν παράδειγμα ένα πεδίο δυνάμεων που εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας αλλά δεν είναι συντηρητικό. Το δίνω αυτό σαν πρόβλημα σε όλο το δίκτυο: Γιατί, αφού η δύναμη μαγνητικού πεδίου σε μαγνητικό δίπολο εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, το πεδίο δεν είναι συντηρητικό; Αν απαντήσει εσύ ή κάποιος άλλος σ΄ αυτό το ερώτημα, ή αν δεν απαντήσει κανένας και δώσω εγώ την απάντηση, στη συνέχεια θα δώσω απάντηση στο ερώτημα: Γιατί το πεδίο πιέσεων ενός ιδανικού ρευστού δεν είναι δυναμικό ενός συντηρητικού πεδίου;
Δεν ξέρω ποιος δεν κατάλαβε τον άλλο. Τα σχήματα ήταν ένα αντιπαράδειγμα. Η χρήση αντιπαραδείγματος είναι Μαθηματικά.
Τα σχήματα έδειχναν απλώς ότι επιλέγεις ως υπόθεμα την μαγνητική ροπή και ως δύναμη την συνισταμένη δύναμη.
Σου έγραψα ότι θα μπορούσαμε να κάνουμε το ίδιο ακριβώς και σε ένα ηλεκτρικό δίπολο. Σε κάθε κλειστή τροχιά του μη συχντηρητικού αυτού ηλεκτρικού πεδίου το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα-έργο δεν είναι μηδέν για κάθε ένα από τα φορτία.
Το άθροισμα των δύο επικαμπυλίων είναι μηδέν για την συγκεκριμένη κίνηση, όμοια με αυτήν που ανέφερα για το δίπολο. Αυτό σημαίνει συντηρητικότητα;
Λες μετά:
,,, θα δώσω απάντηση στο ερώτημα: Γιατί το πεδίο πιέσεων ενός ιδανικού ρευστού δεν είναι δυναμικό ενός συντηρητικού πεδίου;
Μα είναι φανερό πως δεν είναι δυναμικό σε κάθε περίπτωση ροής ιδανικού ρευστού. Δες το παράδειγμα του Στάθη.
Υπάρχει λόγος να αποδείξεις με χρήση grad, div, curl κ.λπ. κάτι που αποδείχτηκε με ένα αντιπαράδειγμα, όπως το πεδίο του Στάθη;
by 
Ας το δούμε Νίκο ελαφρώς διαφορετικά:
Ας υποθέσουμε ότι ορίζεται (βαθμωτό) δυναμικό στο μαγνητικό πεδίο. Έστω f(x,y,z)
Θα είχαμε Β=-grad(f)
Τότε θα έπρεπε curl(-grad(f))=0.
Όμως curlB=μο.Ι και όχι μηδέν.
Καταλήγουμε σε άτοπο.
Ένα παράδειγμα εφαρμογής της εξίσωσης Bernoulli, σε μία ροή, μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων της, ακόμη και αν δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή.
Κοντά όμως σε σχήμα U. Όχι ο σωλήνας να είναι υποπενταπλάσιας διατομής.
Τότε η ταλάντωση δεν θα γίνει αισθητή, ούτε καν θεωρητικά.
Αν ο σωλήνας σύνδεσης έχει ελαφρότατα μικρότερη διατομή από τα σκέλη, θα έχουμε ταλάντωση φθίνουσα ακόμα και απουσία κάθε αντίστασης και ιξώδους. Μια "υποβάθμιση" ενέργειας. Προσανατολισμένη κίνηση->άτακτη κίνηση.
Η υποβάθμιση είναι τρομερή στην περίπτωση σημαντικής διαφοράς διατομών.
Αξίζει να παίξουμε με την περίπτωση των συγκρίσιμων διατομών. Αισθάνομαι ότι θα προκύψει αντίσταση ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας. Η επίλυση της εξίσωσης (για μένα είναι πολύ πιο εύκολη η προσομοίωσή της) θα δείξει τι συμβαίνει τελικά.
Πολύ ωραίο Στάθη!
Αν όπως το δούμε "διαισθητικά" καταλαβαίνουμε ότι η ταχύτητα μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση. Δηλαδή σε διπλάσια απόσταση μια μαζούλα νερού έχει τη μισή ταχύτητα, οπότε η στροφορμή της διατηρείται. Επίσης η πίεση μεγαλώνει προς τα έξω έτσι ώστε η μαζούλα να δέχεται την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη. Έτσι φαντάζομαι (χωρίς να έχω κάνει πράξεις) ότι η παράσταση του νόμου Μπερνούλι έχει σταθερή τιμή.
Όμως είναι ειδική περίπτωση;
Γιάννη τι εννοείς με το "Όμως είναι ειδική περίπτωση;";
Ερώτηση είναι.
Σε κάθε ροή με τέτοιο σχήμα γραμμών έχουμε αυτή την σχέση. Έχουμε διατήρηση στροφορμής μιας μαζούλας;
Σε μια παλιότερη ανάρτησή μου Γιάννη (εδώ) καταλήγω στο εξής συμπέρασμα: Η ενέργεια μιας μικρής μαγνητικής ροπής μ σε ένα μαγνητικό πεδίο Β(r) είναι U=-μ.Β(r). Η δύναμη που ασκεί το μαγνητικό πεδίο στη μαγνητική ροπή (στο δίπολο) είναι: F=-grad(U). Στο μαγνητικό πεδίο, όπως σε κάθε πεδίο, το κριτήριο για να είναι συντηρητικό είναι ότι η δύναμη, και όχι η μαγνητική επαγωγή, πρέπει να είναι το grad κάποιας βαθμωτής ποσότητας.
Όμως το μαγνητικό πεδίο δεν είναι συντηρητικό. Μπορείς να το εξηγήσεις; Με παρόμοιο τρόπο εξηγείται γιατί το πεδίο της πίεσης ιδανικού ρευστού δεν είναι συντηρητικό.
Κάτι δεν καταλαβαίνω μάλλον. Μία μάζα σε μία ακτίνα έχει σταθερή γωνιακή ταχύτητα και ακτίνα, άρα διατηρέι στην στροφορμή της.
Μια μαζούλα νερού έχει στροφορμή δm.υ.r.
Αν έχω καταλάβει το κείμενό σου καλά, είναι δm.(c/r).r = δm.c . Δεν είναι σταθερή η στροφορμή σε όποια γραμμή και να κινείται;
Αν "αλλάξει" γραμμή, δεν διατηρείται η στροφορμή της;
Ας μην αλλάξει γραμμή. Δυο ίδιες μαζούλες δεν έχουν ίδιες στροφορμές όπου και αν βρίσκονται;
Γιάννη κάτι δεν "πιάνω" …
Σε μία μόνιμη (στρωτή) ροή κάθε μάζα ακολουθεί την ρευματική γραμμή της (ή τροχιά της) αυστηρά. Άρα καμία μάζα δεν μπορεί να "αλλάξει" ρευματική γραμμή σε αυτήν την δίνη (τότε η ταχύτητά της θα εξαρτώταν και από την γωνία στα σημεία αλλαγής, δεν θα ήταν αυστηρλα εφαπτόμενη), αυτό εννοώ. Επίσης έχεις δίκιο, όλες οι μάζες έχουν την ίδια στροφορμή. Στο παράδειγμα εφάρμοσα και την εξισωση του Bernoulli, για να δείξω ότι προβλέπει την σωστή συμπεριφορά της πίεσης, ακόμη και αν εφαρμόζεται σε διαφορετικές τροχιές.
Δηλαδή θεωρείς ως υπόθεμα όχι ένα κινούμενο φορτίο αλλά μια μαγνητική βελόνα.
Ας δούμε μια μαγνητική βελόνα:
Κάθε μία από τις δυνάμεις στα άκρα έχει μη μηδενικό στροβιλισμό.
Η συνισταμένη τους (στην σχεδιασθείσα περίπτωση) έχει μηδενικό στροβιλισμό ως κατευθυνόμενη προς το κέντρο του κύκλου.
Οπότε;
Ποιος ασχολείται με την συνισταμένη δύναμη;
Να την κάνουμε τι;
Ένα σώμα μπορεί να στρέφεται ακόμα και αν η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν.
Αν θεωρήσουμε τη μαγνητική σου ροπή σαν παράθεση δύο μονόπολων, τότε το έργο σε καθένα δεν θα ήταν μηδενικό αν διέγραφε τον κύκλο.
Αν με παρόμοιο τρόπο εξηγείται η μη συντηρητικότητα ενός πεδίου ροής, τότε δεν μας απασχολεί.
Σε μία αστρόβιλη ροή dP.δV είναι το έργο που παράγεται από το ρευστό. Αν φύγουμε από το σημείο Α και ξαναγυρίσουμε, το έργο αυτό είναι μηδέν. Αν η ροή είναι:
τότε το έργο από το ρευστό δεν είναι μηδέν.
Φυσικά την ακολουθεί. Δεν έχει λόγο να μετακομίσει σε άλλη γραμμή.
Όμως σε κάθε γραμμή η παράσταση P+0,5ρ.υ^2 έχει μία τιμή.
Αν η τιμή αυτή σχετίζεται με τη στροφορμή ανά μονάδα μάζας, τότε και στην άλλη γραμμή η παράσταση θα έχει την ίδια τιμή.
Δεν είναι ανάγκη να μετακομίσει η μαζούλα από τον ένα κύκλο στον άλλο.
Το ίδιο μπορείς να κάνεις και με ένα ηλεκτρικό πεδίο που γεννάται από μεταβολή μαγνητικής ροής και έχει κυκλικές δυναμικές γραμμές. Ένας μαθητής επί Δεσμών γνώριζε πολύ καλά την μη συντηρητικότητά του.
Θα πεις ότι είναι συντηρητικό;
Αν όμως πάρουμε ένα ηλεκτρικό δίπολο εφαπτόμενο συνεχώς στον κύκλο, το συνολικό έργο θα είναι μηδενικό.
Ε και τι έγινε;
Ένα παιγνίδι κάναμε. Θα καθορίσουν τα αποτελέσματα του παιγνιδιού το αν είναι το εν λόγω ηλεκτρικό πεδίο συντηρητικό;
Γιάννη, δεν με κατάλαβες. Θα προτιμούσα να μιλούσαμε με μαθηματικούς όρους και όχι με σχήματα. Άλλωστε εσύ ξεκίνησες τη συζήτηση στην οποία καταλήγεις ότι, αφού η δύναμη είναι το grad κάποιου πεδίου, είναι μια συντηρητική δύναμη. Δηλαδή, ανοίγει εδώ μια συζήτηση που έχει τίτλο: "Όταν ένα πεδίο δυνάμεων εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, είναι ένα συντηρητικό πεδίο;" Εγώ σου έφερα σαν παράδειγμα ένα πεδίο δυνάμεων που εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας αλλά δεν είναι συντηρητικό. Το δίνω αυτό σαν πρόβλημα σε όλο το δίκτυο: Γιατί, αφού η δύναμη μαγνητικού πεδίου σε μαγνητικό δίπολο εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, το πεδίο δεν είναι συντηρητικό; Αν απαντήσει εσύ ή κάποιος άλλος σ΄ αυτό το ερώτημα, ή αν δεν απαντήσει κανένας και δώσω εγώ την απάντηση, στη συνέχεια θα δώσω απάντηση στο ερώτημα: Γιατί το πεδίο πιέσεων ενός ιδανικού ρευστού δεν είναι δυναμικό ενός συντηρητικού πεδίου;
Καλημέρα Νίκο.
Δεν ξέρω ποιος δεν κατάλαβε τον άλλο. Τα σχήματα ήταν ένα αντιπαράδειγμα. Η χρήση αντιπαραδείγματος είναι Μαθηματικά.
Τα σχήματα έδειχναν απλώς ότι επιλέγεις ως υπόθεμα την μαγνητική ροπή και ως δύναμη την συνισταμένη δύναμη.
Σου έγραψα ότι θα μπορούσαμε να κάνουμε το ίδιο ακριβώς και σε ένα ηλεκτρικό δίπολο. Σε κάθε κλειστή τροχιά του μη συχντηρητικού αυτού ηλεκτρικού πεδίου το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα-έργο δεν είναι μηδέν για κάθε ένα από τα φορτία.
Το άθροισμα των δύο επικαμπυλίων είναι μηδέν για την συγκεκριμένη κίνηση, όμοια με αυτήν που ανέφερα για το δίπολο. Αυτό σημαίνει συντηρητικότητα;
Λες μετά:
,,, θα δώσω απάντηση στο ερώτημα: Γιατί το πεδίο πιέσεων ενός ιδανικού ρευστού δεν είναι δυναμικό ενός συντηρητικού πεδίου;
Μα είναι φανερό πως δεν είναι δυναμικό σε κάθε περίπτωση ροής ιδανικού ρευστού. Δες το παράδειγμα του Στάθη.
Υπάρχει λόγος να αποδείξεις με χρήση grad, div, curl κ.λπ. κάτι που αποδείχτηκε με ένα αντιπαράδειγμα, όπως το πεδίο του Στάθη;