Η ποσότητα της πυκνότητας ενέργειας ε = p+ρgh+0.5ρυ^2 της εξίσωσης Bernoulli είναι σταθερή παντού σε ένα πεδιο ροής, αν η ροή είναι δυναμική, δηλαδή μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη (αστρόβιλη δεν σημαίνει κατ' ανάγκην σταθερή παντού στροφορμή, όπως στο παράδειγμα της απλής δίνης παραπάνω). Αν η ροή είναι μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική αλλά στροβιλώδης, τότε η πυκνότητα ενέργειας είναι σταθερή μόνον κατά μήκος μίας ρευματικής γραμμής.
Στην πρώτη περίπτωση (της δυναμικής ροής), ισχύει ότι div(υ)=0 και curl(υ)=0, συνεπώς μπορούμε να ορίσουμε μία βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού u του πεδίου της ταχύτητας της ροής υ, μέσω της σχέσης υ=-grad(u), σε πλήρη αναλογία με το δυναμικό των συντηρητικών πεδίων δυνάμεων (το πεδίο της ταχύτητας υ αναλογεί στο πεδίο της έντασης Ε και το δυναμικό της ροής u στο δυναμικό V του ηλεκτροστατικού πεδίου, E=-grad(V)). Τότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι όπως στα συντηρητικά πεδία δυνάμεων διατηρείται η δυναμική ενέργεια, στην δυναμική ροή διατηρείται η πυκνότητα ενέργειας ε (*).
(*) Η μαθηματική απόδειξη για τα παραπάνω εδώ, σελίδες 19 -23.
Νίκο ή δεν κατάλαβες τι έγραψα η δεν διάβασες τα σχόλια.
1.Μιλάμε μα μαθηματικούς όρους.
Όταν ήμουν πιτσιρικάς έμαθα το ανάδελτα και απεδείκνυα εύκολα ότι το πεδίο F=c/r* θμοναδιαίο δεν είναι συντηρητικό. Παίζοντας σαν μικρό παιδί στην άμμο με τα κουβαδάκια του. Μεγαλώνοντας κάπως κατάλαβα ότι πρόκειται για πεδίο όμοιο με ηλεκτρικό που παράγεται από μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Μεγαλώνοντας κι' άλλο χρειάστηκε να το διδάξω και τότε κατάλαβα περισσότερα.
Τώρα γηραιότερος και σοβαρότερος κάνω σχήμα ακόμα και αν με ρωτήσεις πως με λένε.
Η χρήση σχήματος κάποιες φορές οδηγεί σε αντιπαράδειγμα. Όσα ανάδελτα και να ρίξει κάποιος ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρριφθούν. Η χρήση αντιπαραδείγματος είναι Μαθηματικά. Μαθηματικά δεν είναι μόνο να κάνεις πράξεις όπως κάναμε σαν φοιτητές τότε.
.2. Ξανείπες:
Εγώ σου έφερα σαν παράδειγμα ένα πεδίο δυνάμεων που εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας αλλά δεν είναι συντηρητικό.
Προφανώς δεν διαβάζεις τα σχόλια του άλλου. Έτσι θα το επαναλάβω:
Το ίδιο μπορείς να κάνεις και με ένα ηλεκτρικό πεδίο που γεννάται από μεταβολή μαγνητικής ροής και έχει κυκλικές δυναμικές γραμμές. Ένας μαθητής επί Δεσμών γνώριζε πολύ καλά την μη συντηρητικότητά του.
Θα πεις ότι είναι συντηρητικό;
Αν όμως πάρουμε ένα ηλεκτρικό δίπολο εφαπτόμενο συνεχώς στον κύκλο, το συνολικό έργο θα είναι μηδενικό.
Ε και τι έγινε;
Ένα παιγνίδι κάναμε. Θα καθορίσουν τα αποτελέσματα του παιγνιδιού το αν είναι το εν λόγω ηλεκτρικό πεδίο συντηρητικό;
Τι έκανες εσύ με το παράδειγμά σου;
Πήρες μια μαγνητική ροπή. Δηλαδή βάφτισες υπόθεμα του μαγνητικού πεδίου τη μαγνητική ροπή και όχι ένα κινούμενο φορτίο ή ένα μονόπολο. Έδειξες ότι η συνισταμένη δύναμη έχει μηδενικό στροβιλισμό. Και λοιπόν;
Ποιος ενδιαφέρεται για την συνισταμένη;
Και στο παράδειγμα με το ηλεκτρικό δίπολο είναι μηδενικό το έργο της επί του διπόλου, αλλά όχι σε κάθε φορτίο. Όσο συντηρητικό είναι το ένα πεδίο, τόσο είναι και το άλλο.
3. Μη διαβάζοντας τα σχόλια επιμένεις:
Γιατί, αφού η δύναμη μαγνητικού πεδίου σε μαγνητικό δίπολο εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, το πεδίο δεν είναι συντηρητικό;
Έχω απαντήσει και προηγουμένως. αν ήταν συντηρητικό τότε θα ήταν συντηρητικό και το ηλεκτρικό πεδίο με τις κυκλικές δυναμικές γραμμές. Απάντηση στέκεται μόνο αν έχει μέσα ανάδελτα και διανύσματα;
Ευπρόσδεκτη φυσικά κάθε θέση σου περί του μαγνητικού πεδίου και περί του πεδίου πιέσεων.
Στάθη φοβάμαι οτιδήποτε βγαίνει στο χαρτί αν δεν ταιριάζει με την πραγματικότητα ή (κάνοντας λάθος εγώ) νομίζω ότι δεν ταιριάζει. Το πρώτο που σκέφτομαι μετά από κάθε απόδειξη είναι περιπτώσεις και εφαρμογές.
Μπορεί να έχουμε μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη ροή στην οποία όμως δύο ΄γειτονικές φλέβες της να έχουν διαφορετικές ταχύτητες;
Υπάρχουν δύο πιθανές απαντήσεις που θα δώσεις:
1. Δεν υπάρχουν. σε όλες έχουμε ίδιες ταχύτητες.
2. Υπάρχουν, οπότε η εφαρμογή του νόμου Bernoulli οδηγεί σε διαφορετικές πιέσεις. Τότε πρέπει να εξηγήσουμε την συνύπαρξη γειτονικών φλεβών με διαφορετικές ταχύτητες μέσω κεντρομόλου. Δηλαδή οι φλέβες καμπυλώνονται και η πίεση είναι μικρότερη στα κοίλα, ώστε να δεχθούν οι μάζες κεντρομόλο δύναμη.
Έπειτα πρέπει να εξηγηθούν σαφώς τα πλαίσια ισχύος του νόμου.
Πάνω από μια πλάκα έχουμε μία ροή και κάτω άλλη. Θα πούμε ότι έχουμε δύο πεδία και δεν εφαρμόζουμε τον νόμο μεταξύ δύο σημείων, ενός πάνω και ενός κάτω από την πλάκα;
Θα πούμε ότι τον εφαρμόζουμε, οπότε η πλάκα ανασηκώνεται;
Όλα τα παραπάνω είναι θέματα που πρέπει να ξεκαθαριστούν.
Ρωτάς: «…Μπορεί να έχουμε μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη ροή στην οποία όμως δύο γειτονικές φλέβες της να έχουν διαφορετικές ταχύτητες;…»
Δεν καταλαβαίνω την ερώτηση. Μπορεί να έχω ακόμη και μία ρευματική γραμμή στην οποία να μεταβάλλεται η ταχύτητα κατά μήκος της. Γιατί να μην γίνεται σε γειτονικές ρευματικές γραμμές, η σε φλέβες; Και πώς επηρεάζει αυτό την συζήτησή μας; Στο παράδειγμα της απλής δίνης που έγραψα παραπάνω δεν έχουμε διαφορετικές ταχύτητες σε κάθε ροϊκή γραμμή; Και τι μας εμπόδισε αυτό από το να εφαρμόσουμε την εξίσωση του Bernoulliμεταξύ ενός σημείου της ροής και ενός σημείου στο άπειρο, ώστε να υπολογίσουμε το προφίλ της πίεσης;
Όσον αφορά στην πλάκα που αναφέρεις με τις δύο ροές εκατέρωθεν: Με ποια λογική θα εφαρμόσω πάνω και κάτω από μία πλάκα απείρων διαστάσεων την εξίσωση Bernoulli (γιατί άραγε δεν ρωτάμε το ίδιο και για την εξίσωση της συνέχειας;); Αν όμως οι διαστάσεις τις πλάκας δεν είναι άπειρες και οι ροές πάνω και κάτω επικοινωνούν, τότε βεβαίως και μπορώ να την εφαρμόσω, αν πληρούνται οι συνθήκες νομιμοποίησής της. Κλασσικό παράδειγμα η ροή του αέρα πέριξ μίας αεροτομής κατά την υποηχητική πτήση ενός αεροπλάνου. Δεύτερο παράδειγμα η ροή νερού μέσω πέριξ ενός ακίνητου κυλινδρικού ή σφαιρικού εμποδίου. Όλες αυτές οι ροές είναι δυναμικές (ακόμη και της αεροτομής, μακριά από την επιφάνειά της, αντιθέτως από ότι συχνά υποστηρίζεται).
Κατανοώ την ανησυχία σου στο «…φοβάμαι οτιδήποτε βγαίνει στο χαρτί αν δεν ταιριάζει με την πραγματικότητα ή (κάνοντας λάθος εγώ) νομίζω ότι δεν ταιριάζει. Το πρώτο που σκέφτομαι μετά από κάθε απόδειξη είναι περιπτώσεις και εφαρμογές…», αλλά στο συγκεκριμένο ζήτημα δεν την συμμερίζομαι.
Γιάννη, πολύ συχνά μια ερώτηση που ξεκινά με το "γιατί" έχει τη σημασία μη αποδοχής κάποιου πράγματος. Πχ, όταν λέει ο πιτσιρίκος στη μαμά "γιατί να σηκωθώ από τις 7:00;" σημαίνει "αρνούμαι να σηκωθώ από τις 7:00". Αλλά το δικό μου το "γιατί" είναι διαφορετικό. Δηλ. όταν κάνω την ερώτηση: "γιατί το μαγνητικό πεδίο είναι μη συντηρητικό;" σημαίνει ότι δέχομαι ότι δεν είναι συντηρητικό αλλά ζητώ την εξήγηση. Η δύναμη του μαγνητικού πεδίου σε ένα μαγνητικό δίπολο είναι το grad κάποιας ποσότητας. Ο λόγος που κάνω αυτή την ερώτηση είναι ότι, έχω μια αιτιολόγηση ως προς το γιατί το πεδίο πιέσεων ιδανικού ρευστού είναι μη συντηρητικό, που ταιριάζει με την αιτιολόγηση ως προς το γιατί το μαγνητικό πεδίο, ως πεδίο δυνάμεων σε μαγνητικό δίπολο, είναι μη συντηρητικό.
Επίσης δεν κατάλαβα τον λόγο μου μου φέρνεις το παράδειγμα του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από μεταβαλλόμενο μαγνητικό. Η ένταση αυτού του πεδίου δίνεται από τη σχέση: E=-grad(φ)-θΑ/θt (τα θ είναι μερικές παράγωγοι και το Α το ανυσματικό δυναμικό). Έχουμε το δικαίωμα να μηδενίσουμε το βαθμωτό δυναμικό φ και να γράψουμε: E=-θΑ/θt. Δηλ. η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου δεν είναι το grad κάποιας ποσότητας.
Επίσης δεν κατάλαβα τον λόγο μου μου φέρνεις το παράδειγμα του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από μεταβαλλόμενο μαγνητικό.
Να σου εξηγήσω τον λόγο αφού δεν κατάλαβες. Το ηλεκτρικό πεδίο ενός βητάτρου (για να μην μιλάμε γενικώς μέσω grad) δεν είναι συντηρητικό. Το διδάσκονταν οι μαθητές των Δεσμών. Όμως αν θεωρήσουμε ως υπόθεμα ένα ηλεκτρικό δίπολο αυτό αν είναι εφαπτόμενο δέχεται δύναμη κατευθυνόμενη προς το κέντρο του κύκλου. Δηλαδή η συνισταμένη δεν έχει την διεύθυνση της έντασης. Οπότε;
Οπότε κάναμε μια τρύπα στο νερό. Χρειάζονται τα ανάδελτα για να το καταλάβουμε;
Η τοποθέτηση ως υποθέματος ενός μαγνητικού διπόλου σε μαγνητικό πεδίο διαφέρει σε κάτι;
Γιάννη έχεις την τάση να υπεραπλουστεύεις. Στο ηλεκτροστατικό πεδίο η δύναμη που ασκείται σε σημειακό φορτίο έχει την κατεύθυνση της έντασης. Στο ηλεκτροδυναμικό δεν συμβαίνει αυτό το πράγμα. Αν το φορτίο είναι κινούμενο, ασκείται η δύναμη Lorentz που δεν έχει την κατεύθυνση της έντασης.
Επί πλέον: οι απαντήσεις σου έχουν χαρακτήρα αντιπαράθεσης, ενώ εγώ δεν κατάλαβα που διαφωνούμε. Αν ήμουν στη θέση σου θα προσπαθούσα να βρώ μια απάντηση στο ερώτημα του συνομιλητού μου είναι: αφού η δύναμη που ασκεί ένα μαγνητικό πεδίο σε ένα μαγνητικό δίπολο εκφράζεται από το grad κάποιας ποσότητας, τότε γιατί το μαγνητικό πεδίο δεν είναι συντηρητικό;
Η δύναμη που ασκεί το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα ηλεκτρικό δίπολο εκφράζεται διαφορετικά.
Στάθη έχω συναντήσει (και διαπράξει) περισσότερες μπερνουλιές από ορθές χρήσεις του νόμου.
Έχω "δει" ψεκαστήρες να δουλεύουν χωρίς καμπυλώσεις ρευματικών γραμμών.
Έχω "δει" πλάκες να σηκώνονται όταν φυσάμε παράλληλα σ' αυτές.
Έχω "δει" το νερό συνδεδεμένων βαρελιών να ταλαντώνεται.
Έχω "δει" στάθμες βαρελιών να ανεβαίνουν με ταχύτητες της τάξης μερικών μέτρων το δευτερόλεπτο.
Έτσι ψάχνω οτιδήποτε καταλήγει σε περίεργο συμπέρασμα. Ένα λαθάκι στις υποθέσεις οδηγεί οπουδήποτε όσο σωστή μαθηματική επεξεργασία και αν ακολουθήσει.
Πάμε στις γειτονικές φλέβες και στο τι επηρεάζει την συζήτηση.
Αν εφαρμόσεις τον νόμο Μπερνούλι μεταξύ του Α της μίας φλέβας και του Β της άλλης θα καταλήξουμε στο ότι διαφέρουν οι πιέσεις των γειτονικών φλεβών. Αν έχω καμπύλωσή τους κατανοώ την διαφορά. Κεντρομόλος. Αν όμως δεν έχω πως οι δύο φλέβες έχουν διαφορετικές πιέσεις αφού βρίσκονται στο ίδιο περιβάλλον; Στο ίδιο ίσως βάθος.
Η πτέρυγα του αεροπλάνου είναι κλασικό παράδειγμα, όμως για τον αντίθετο λόγο. Θυμάσαι όλες τις συζητήσεις και τα άρθρα.
Είναι μπερνουλιά κλασική να μη τι άλλο διότι ένα αεροπλάνο πετάει και ανάποδα. Γιατί δεν κατεβαίνει;
Έχω παραπέμψει σε διάφορα σχετικά βιντεοσκοπημένα πειράματα στην συζήτηση που είχε ξεκινήσει ο Παναγιώτης Κουμαράς.
Εκεί φαίνεται πόσο καλά δουλεύουν οι ψεκαστήρες χωρίς καμπύλωση ρευματικών γραμμών και πόσο κουνιούνται πλάκες όταν τις φυσάμε.
Χτες στο σχολείο φυσούσα πάνω από επίπεδο χαρτί το οποίο αρνιόταν να σηκωθεί. Όταν το καμπύλωσα σηκώθηκε με ελάχιστο φου που έκανα. Φαινόμενο Κοάντα.
Ο Πάνος Μουρούζης είχε παραθέσει υπολογισμούς ανυψωτικών δυνάμεων που δίνει ο νόμος Μπερνούλι σε ένα φτερό αεροπλάνου.
Δεν ξέρω αν θυμάσαι ή ενστερνίζεσαι όλα αυτά. Πειράματα και συζητήσεις.
Γιάννη έχω διαπράξει και εγώ το μερίδιό μου από «μπερνουλιές», οπότε, το ξαναλέω, κατανοώ την μεγάλη προσοχή που πρέπει να δίνουμε στην χρήση της εξίσωσης.
Αλλά, το ξαναγράφω σε σημείο να καταντά κουραστικό, ότι στις δυναμικές ροές η εξίσωση εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε σημεία της ροής. Άλλο θέμα το πόσο προσεκτικοί είμαστε όταν βαφτίζουμε μία ροή ως δυναμική. Και το γράφω κατηγορηματικά, όχι γιατί το ανακάλυψα εγώ, αλλά γιατί μετά από πολύ κόπο και διάβασμα, διαπίστωσα ότι σε πολλές περιπτώσεις αυτή η μέθοδος δουλεύει. Θα μπορούσα να παραθέσω πολλά παραδείγματα (το πιο απλό το έκανα με την δίνη). Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι η μελέτη της κίνησης μίας σφαίρας μέσα σε ιδανικό ρευστό.
Να σημειώσω και το εξής: Συμφωνώ ότι τα επίπεδα χαρτιά δεν συγκλίνουν επειδή τα φυσάμε, ότι οι ψεκαστήρες δεν δουλεύουν χωρίς καμπύλωση των ρευματικών γραμμών του αέρα, αλλά διαφωνώ με το ότι στην εξήγηση της πτήσης δεν έχει θέση η Bernoulli. Και διαφωνώ γιατί στην εξήγηση λαμβάνει αναπόσπαστο μέρος η εξίσωση, μεταξύ ενός σημείου πολύ μακριά από την αεροτομή και ενός σημείου ακριβώς πάνω από το συνοριακό στρώμα της αεροτομής (όχι βέβαια μεταξύ δυο σημείων πάνω και κάτω). Και όσο και αν φαίνεται περίεργο έτσι εξηγείται το ότι οι αεροτομές πετούν και ανάποδα (στην πράξη οποιουδήποτε σχήματος στερεό, δέχεται ανυψωτική δύναμη μέσα σε κινούμενο αέρα). Διαφωνώ λοιπόν με την συζήτηση και με τον Πάνο (το είχα γράψει στην ανάλογη συζήτηση) και είχα αναρτήσει και το Γιατί πετούν τα αεροπλάνα 1/2. Βέβαια αυτή η ανάρτηση δεν έτυχε μεγάλης προσοχής (δεν το λέω ως παράπονο φυσικά) και το θέμα έμεινε εκεί.
Επιμένω λοιπόν: Στην μόνιμη, ιδανική, ατσρόβιλη και ασυμπίεστη ροή, η εξίσωση εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε σημεία της. Και αυτήν η ιδιότητα της εξίσωσης έχει εφαρμογή και στην εξήγηση της πτήσης.
by 
Γιάννη καλημέρα. Η θέση μου είναι η εξής:
Η ποσότητα της πυκνότητας ενέργειας ε = p+ρgh+0.5ρυ^2 της εξίσωσης Bernoulli είναι σταθερή παντού σε ένα πεδιο ροής, αν η ροή είναι δυναμική, δηλαδή μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη (αστρόβιλη δεν σημαίνει κατ' ανάγκην σταθερή παντού στροφορμή, όπως στο παράδειγμα της απλής δίνης παραπάνω). Αν η ροή είναι μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική αλλά στροβιλώδης, τότε η πυκνότητα ενέργειας είναι σταθερή μόνον κατά μήκος μίας ρευματικής γραμμής.
Στην πρώτη περίπτωση (της δυναμικής ροής), ισχύει ότι div(υ)=0 και curl(υ)=0, συνεπώς μπορούμε να ορίσουμε μία βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού u του πεδίου της ταχύτητας της ροής υ, μέσω της σχέσης υ=-grad(u), σε πλήρη αναλογία με το δυναμικό των συντηρητικών πεδίων δυνάμεων (το πεδίο της ταχύτητας υ αναλογεί στο πεδίο της έντασης Ε και το δυναμικό της ροής u στο δυναμικό V του ηλεκτροστατικού πεδίου, E=-grad(V)). Τότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι όπως στα συντηρητικά πεδία δυνάμεων διατηρείται η δυναμική ενέργεια, στην δυναμική ροή διατηρείται η πυκνότητα ενέργειας ε (*).
(*) Η μαθηματική απόδειξη για τα παραπάνω εδώ, σελίδες 19 -23.
Γιάννη καλημέρα.
Πολύ καλή ανάλυση.
Ωραία η σύνδεση ηλεκτρικού πεδίου με τα ρευστά.
Μπράβο!!!
Νίκο ή δεν κατάλαβες τι έγραψα η δεν διάβασες τα σχόλια.
1.Μιλάμε μα μαθηματικούς όρους.
Όταν ήμουν πιτσιρικάς έμαθα το ανάδελτα και απεδείκνυα εύκολα ότι το πεδίο F=c/r* θμοναδιαίο δεν είναι συντηρητικό. Παίζοντας σαν μικρό παιδί στην άμμο με τα κουβαδάκια του. Μεγαλώνοντας κάπως κατάλαβα ότι πρόκειται για πεδίο όμοιο με ηλεκτρικό που παράγεται από μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή. Μεγαλώνοντας κι' άλλο χρειάστηκε να το διδάξω και τότε κατάλαβα περισσότερα.
Τώρα γηραιότερος και σοβαρότερος κάνω σχήμα ακόμα και αν με ρωτήσεις πως με λένε.
Η χρήση σχήματος κάποιες φορές οδηγεί σε αντιπαράδειγμα. Όσα ανάδελτα και να ρίξει κάποιος ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρριφθούν. Η χρήση αντιπαραδείγματος είναι Μαθηματικά. Μαθηματικά δεν είναι μόνο να κάνεις πράξεις όπως κάναμε σαν φοιτητές τότε.
.2. Ξανείπες:
Εγώ σου έφερα σαν παράδειγμα ένα πεδίο δυνάμεων που εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας αλλά δεν είναι συντηρητικό.
Προφανώς δεν διαβάζεις τα σχόλια του άλλου. Έτσι θα το επαναλάβω:
Το ίδιο μπορείς να κάνεις και με ένα ηλεκτρικό πεδίο που γεννάται από μεταβολή μαγνητικής ροής και έχει κυκλικές δυναμικές γραμμές. Ένας μαθητής επί Δεσμών γνώριζε πολύ καλά την μη συντηρητικότητά του.
Θα πεις ότι είναι συντηρητικό;
Αν όμως πάρουμε ένα ηλεκτρικό δίπολο εφαπτόμενο συνεχώς στον κύκλο, το συνολικό έργο θα είναι μηδενικό.
Ε και τι έγινε;
Ένα παιγνίδι κάναμε. Θα καθορίσουν τα αποτελέσματα του παιγνιδιού το αν είναι το εν λόγω ηλεκτρικό πεδίο συντηρητικό;
Τι έκανες εσύ με το παράδειγμά σου;
Πήρες μια μαγνητική ροπή. Δηλαδή βάφτισες υπόθεμα του μαγνητικού πεδίου τη μαγνητική ροπή και όχι ένα κινούμενο φορτίο ή ένα μονόπολο. Έδειξες ότι η συνισταμένη δύναμη έχει μηδενικό στροβιλισμό. Και λοιπόν;
Ποιος ενδιαφέρεται για την συνισταμένη;
Και στο παράδειγμα με το ηλεκτρικό δίπολο είναι μηδενικό το έργο της επί του διπόλου, αλλά όχι σε κάθε φορτίο. Όσο συντηρητικό είναι το ένα πεδίο, τόσο είναι και το άλλο.
3. Μη διαβάζοντας τα σχόλια επιμένεις:
Γιατί, αφού η δύναμη μαγνητικού πεδίου σε μαγνητικό δίπολο εκφράζεται σαν το grad κάποιας ποσότητας, το πεδίο δεν είναι συντηρητικό;
Έχω απαντήσει και προηγουμένως. αν ήταν συντηρητικό τότε θα ήταν συντηρητικό και το ηλεκτρικό πεδίο με τις κυκλικές δυναμικές γραμμές. Απάντηση στέκεται μόνο αν έχει μέσα ανάδελτα και διανύσματα;
Ευπρόσδεκτη φυσικά κάθε θέση σου περί του μαγνητικού πεδίου και περί του πεδίου πιέσεων.
Στάθη φοβάμαι οτιδήποτε βγαίνει στο χαρτί αν δεν ταιριάζει με την πραγματικότητα ή (κάνοντας λάθος εγώ) νομίζω ότι δεν ταιριάζει. Το πρώτο που σκέφτομαι μετά από κάθε απόδειξη είναι περιπτώσεις και εφαρμογές.
Μπορεί να έχουμε μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη ροή στην οποία όμως δύο ΄γειτονικές φλέβες της να έχουν διαφορετικές ταχύτητες;
Υπάρχουν δύο πιθανές απαντήσεις που θα δώσεις:
1. Δεν υπάρχουν. σε όλες έχουμε ίδιες ταχύτητες.
2. Υπάρχουν, οπότε η εφαρμογή του νόμου Bernoulli οδηγεί σε διαφορετικές πιέσεις. Τότε πρέπει να εξηγήσουμε την συνύπαρξη γειτονικών φλεβών με διαφορετικές ταχύτητες μέσω κεντρομόλου. Δηλαδή οι φλέβες καμπυλώνονται και η πίεση είναι μικρότερη στα κοίλα, ώστε να δεχθούν οι μάζες κεντρομόλο δύναμη.
Έπειτα πρέπει να εξηγηθούν σαφώς τα πλαίσια ισχύος του νόμου.
Πάνω από μια πλάκα έχουμε μία ροή και κάτω άλλη. Θα πούμε ότι έχουμε δύο πεδία και δεν εφαρμόζουμε τον νόμο μεταξύ δύο σημείων, ενός πάνω και ενός κάτω από την πλάκα;
Θα πούμε ότι τον εφαρμόζουμε, οπότε η πλάκα ανασηκώνεται;
Όλα τα παραπάνω είναι θέματα που πρέπει να ξεκαθαριστούν.
Ευχαριστώ Χρήστο.
Γιάννη κάτι άσχετο με το θέμα, επειδή δεν έχω email επικοινωνίας με σένα!
Υπάρχουν κάπου μαζεμένα, αναρτημένα, τα ppt που έχεις φτιάξει;
Παλαιότερα ήταν αναρτημένα από κάποιο ΕΚΦΕ Δυτ. Αττικής, αλλά τώρα δεν τα βλέπω.
Συγγνώμη για την "άγαρμπη" παρέμβαση.
Μερκούρη όλα αυτά δεν φαίνονται πια στη σελίδα του ΕΚΦΕ.
Δεν βλέπω να ανοίγει ούτε η σελίδα του Λυκείου μου.
Μπορώ να σου στείλω όποια θέλεις.
Υπάρχουν κάποιες αναρτημένες εδώ.
Γενικά (χωρίς να σε φτάνω) πρέπει να έχω φτιάξει περισσότερες από 60 παρουσιάσεις.
Όταν γνώρισα τις δικές σου τις χρησιμοποιώ πολύ. Πέραν της ποιότητας έχεις εναρμονισθεί με τα σχολικά βιβλία, κάτι ιδιαίτερα βολικό.
Γιάννη καλησπέρα.
Ρωτάς: «…Μπορεί να έχουμε μόνιμη, ασυμπίεστη, ιδανική και αστρόβιλη ροή στην οποία όμως δύο γειτονικές φλέβες της να έχουν διαφορετικές ταχύτητες;…»
Δεν καταλαβαίνω την ερώτηση. Μπορεί να έχω ακόμη και μία ρευματική γραμμή στην οποία να μεταβάλλεται η ταχύτητα κατά μήκος της. Γιατί να μην γίνεται σε γειτονικές ρευματικές γραμμές, η σε φλέβες; Και πώς επηρεάζει αυτό την συζήτησή μας; Στο παράδειγμα της απλής δίνης που έγραψα παραπάνω δεν έχουμε διαφορετικές ταχύτητες σε κάθε ροϊκή γραμμή; Και τι μας εμπόδισε αυτό από το να εφαρμόσουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου της ροής και ενός σημείου στο άπειρο, ώστε να υπολογίσουμε το προφίλ της πίεσης;
Όσον αφορά στην πλάκα που αναφέρεις με τις δύο ροές εκατέρωθεν: Με ποια λογική θα εφαρμόσω πάνω και κάτω από μία πλάκα απείρων διαστάσεων την εξίσωση Bernoulli (γιατί άραγε δεν ρωτάμε το ίδιο και για την εξίσωση της συνέχειας;); Αν όμως οι διαστάσεις τις πλάκας δεν είναι άπειρες και οι ροές πάνω και κάτω επικοινωνούν, τότε βεβαίως και μπορώ να την εφαρμόσω, αν πληρούνται οι συνθήκες νομιμοποίησής της. Κλασσικό παράδειγμα η ροή του αέρα πέριξ μίας αεροτομής κατά την υποηχητική πτήση ενός αεροπλάνου. Δεύτερο παράδειγμα η ροή νερού μέσω πέριξ ενός ακίνητου κυλινδρικού ή σφαιρικού εμποδίου. Όλες αυτές οι ροές είναι δυναμικές (ακόμη και της αεροτομής, μακριά από την επιφάνειά της, αντιθέτως από ότι συχνά υποστηρίζεται).
Κατανοώ την ανησυχία σου στο «…φοβάμαι οτιδήποτε βγαίνει στο χαρτί αν δεν ταιριάζει με την πραγματικότητα ή (κάνοντας λάθος εγώ) νομίζω ότι δεν ταιριάζει. Το πρώτο που σκέφτομαι μετά από κάθε απόδειξη είναι περιπτώσεις και εφαρμογές…», αλλά στο συγκεκριμένο ζήτημα δεν την συμμερίζομαι.
Γιάννη, πολύ συχνά μια ερώτηση που ξεκινά με το "γιατί" έχει τη σημασία μη αποδοχής κάποιου πράγματος. Πχ, όταν λέει ο πιτσιρίκος στη μαμά "γιατί να σηκωθώ από τις 7:00;" σημαίνει "αρνούμαι να σηκωθώ από τις 7:00". Αλλά το δικό μου το "γιατί" είναι διαφορετικό. Δηλ. όταν κάνω την ερώτηση: "γιατί το μαγνητικό πεδίο είναι μη συντηρητικό;" σημαίνει ότι δέχομαι ότι δεν είναι συντηρητικό αλλά ζητώ την εξήγηση. Η δύναμη του μαγνητικού πεδίου σε ένα μαγνητικό δίπολο είναι το grad κάποιας ποσότητας. Ο λόγος που κάνω αυτή την ερώτηση είναι ότι, έχω μια αιτιολόγηση ως προς το γιατί το πεδίο πιέσεων ιδανικού ρευστού είναι μη συντηρητικό, που ταιριάζει με την αιτιολόγηση ως προς το γιατί το μαγνητικό πεδίο, ως πεδίο δυνάμεων σε μαγνητικό δίπολο, είναι μη συντηρητικό.
Επίσης δεν κατάλαβα τον λόγο μου μου φέρνεις το παράδειγμα του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από μεταβαλλόμενο μαγνητικό. Η ένταση αυτού του πεδίου δίνεται από τη σχέση: E=-grad(φ)-θΑ/θt (τα θ είναι μερικές παράγωγοι και το Α το ανυσματικό δυναμικό). Έχουμε το δικαίωμα να μηδενίσουμε το βαθμωτό δυναμικό φ και να γράψουμε: E=-θΑ/θt. Δηλ. η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου δεν είναι το grad κάποιας ποσότητας.
Εντάξει Γιάννη, σ' ευχαριστώ.
Επίσης δεν κατάλαβα τον λόγο μου μου φέρνεις το παράδειγμα του ηλεκτρικού πεδίου που παράγεται από μεταβαλλόμενο μαγνητικό.
Να σου εξηγήσω τον λόγο αφού δεν κατάλαβες. Το ηλεκτρικό πεδίο ενός βητάτρου (για να μην μιλάμε γενικώς μέσω grad) δεν είναι συντηρητικό. Το διδάσκονταν οι μαθητές των Δεσμών. Όμως αν θεωρήσουμε ως υπόθεμα ένα ηλεκτρικό δίπολο αυτό αν είναι εφαπτόμενο δέχεται δύναμη κατευθυνόμενη προς το κέντρο του κύκλου. Δηλαδή η συνισταμένη δεν έχει την διεύθυνση της έντασης. Οπότε;
Οπότε κάναμε μια τρύπα στο νερό. Χρειάζονται τα ανάδελτα για να το καταλάβουμε;
Η τοποθέτηση ως υποθέματος ενός μαγνητικού διπόλου σε μαγνητικό πεδίο διαφέρει σε κάτι;
Δεν είναι επίσης τρύπα στο νερό;
Χρειάζονται τελεστές για να το καταλάβουμε;
Γιάννη έχεις την τάση να υπεραπλουστεύεις. Στο ηλεκτροστατικό πεδίο η δύναμη που ασκείται σε σημειακό φορτίο έχει την κατεύθυνση της έντασης. Στο ηλεκτροδυναμικό δεν συμβαίνει αυτό το πράγμα. Αν το φορτίο είναι κινούμενο, ασκείται η δύναμη Lorentz που δεν έχει την κατεύθυνση της έντασης.
Επί πλέον: οι απαντήσεις σου έχουν χαρακτήρα αντιπαράθεσης, ενώ εγώ δεν κατάλαβα που διαφωνούμε. Αν ήμουν στη θέση σου θα προσπαθούσα να βρώ μια απάντηση στο ερώτημα του συνομιλητού μου είναι: αφού η δύναμη που ασκεί ένα μαγνητικό πεδίο σε ένα μαγνητικό δίπολο εκφράζεται από το grad κάποιας ποσότητας, τότε γιατί το μαγνητικό πεδίο δεν είναι συντηρητικό;
Η δύναμη που ασκεί το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα ηλεκτρικό δίπολο εκφράζεται διαφορετικά.
Στάθη έχω συναντήσει (και διαπράξει) περισσότερες μπερνουλιές από ορθές χρήσεις του νόμου.
Έχω "δει" ψεκαστήρες να δουλεύουν χωρίς καμπυλώσεις ρευματικών γραμμών.
Έχω "δει" πλάκες να σηκώνονται όταν φυσάμε παράλληλα σ' αυτές.
Έχω "δει" το νερό συνδεδεμένων βαρελιών να ταλαντώνεται.
Έχω "δει" στάθμες βαρελιών να ανεβαίνουν με ταχύτητες της τάξης μερικών μέτρων το δευτερόλεπτο.
Έτσι ψάχνω οτιδήποτε καταλήγει σε περίεργο συμπέρασμα. Ένα λαθάκι στις υποθέσεις οδηγεί οπουδήποτε όσο σωστή μαθηματική επεξεργασία και αν ακολουθήσει.
Πάμε στις γειτονικές φλέβες και στο τι επηρεάζει την συζήτηση.
Αν εφαρμόσεις τον νόμο Μπερνούλι μεταξύ του Α της μίας φλέβας και του Β της άλλης θα καταλήξουμε στο ότι διαφέρουν οι πιέσεις των γειτονικών φλεβών. Αν έχω καμπύλωσή τους κατανοώ την διαφορά. Κεντρομόλος. Αν όμως δεν έχω πως οι δύο φλέβες έχουν διαφορετικές πιέσεις αφού βρίσκονται στο ίδιο περιβάλλον; Στο ίδιο ίσως βάθος.
Η πτέρυγα του αεροπλάνου είναι κλασικό παράδειγμα, όμως για τον αντίθετο λόγο. Θυμάσαι όλες τις συζητήσεις και τα άρθρα.
Είναι μπερνουλιά κλασική να μη τι άλλο διότι ένα αεροπλάνο πετάει και ανάποδα. Γιατί δεν κατεβαίνει;
Έχω παραπέμψει σε διάφορα σχετικά βιντεοσκοπημένα πειράματα στην συζήτηση που είχε ξεκινήσει ο Παναγιώτης Κουμαράς.
Εκεί φαίνεται πόσο καλά δουλεύουν οι ψεκαστήρες χωρίς καμπύλωση ρευματικών γραμμών και πόσο κουνιούνται πλάκες όταν τις φυσάμε.
Χτες στο σχολείο φυσούσα πάνω από επίπεδο χαρτί το οποίο αρνιόταν να σηκωθεί. Όταν το καμπύλωσα σηκώθηκε με ελάχιστο φου που έκανα. Φαινόμενο Κοάντα.
Ο Πάνος Μουρούζης είχε παραθέσει υπολογισμούς ανυψωτικών δυνάμεων που δίνει ο νόμος Μπερνούλι σε ένα φτερό αεροπλάνου.
Δεν ξέρω αν θυμάσαι ή ενστερνίζεσαι όλα αυτά. Πειράματα και συζητήσεις.
Νίκο δεν ξέρω αν υπεραπλουστεύω ή όχι.
Πάντως δεν μιλάω γενικά ούτε αφήνω μια συζήτηση να εξελιχθεί γενικά.
Μίλησα για το ηλεκτρικό πεδίο από ματαβολή μαγνητικής ροής. Για να μην συζητάμε γενικά επεξήγησα ότι εννοώ αυτό του βητάτρου.
Εκεί τα ηλεκτρόνια δέχονται δύναμη εφαπτόμενη στις δυναμικές γραμμές. Αυτή τα επιταχύνει μετά από περιστροφές.
Να προσπαθήσω λες να βρω απάντηση στο ερώτημα που θέτεις. Γιατί;
Θα είχε νόημα αν το μαγνητικό δίπολο ήταν το υπόθεμα. Γιατί να παίξουμε με τελεστές για κάτι χωρίς νόημα;
Κάνε τα ίδια για κάθε μονόπολο (θεωρώντας το μαγνητικό δίπλο ως παράθεση δύο μονόπολων). Θα σου βγει πάλι grad η δύναμη σε κάθε μονόπολο;
Εν πάση περιπτώσει ας απαντήσει όποιος θέλει ή εσύ. Περιμένω και τα σχετικά με την πίεση.
Γιάννη έχω διαπράξει και εγώ το μερίδιό μου από «μπερνουλιές», οπότε, το ξαναλέω, κατανοώ την μεγάλη προσοχή που πρέπει να δίνουμε στην χρήση της εξίσωσης.
Αλλά, το ξαναγράφω σε σημείο να καταντά κουραστικό, ότι στις δυναμικές ροές η εξίσωση εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε σημεία της ροής. Άλλο θέμα το πόσο προσεκτικοί είμαστε όταν βαφτίζουμε μία ροή ως δυναμική. Και το γράφω κατηγορηματικά, όχι γιατί το ανακάλυψα εγώ, αλλά γιατί μετά από πολύ κόπο και διάβασμα, διαπίστωσα ότι σε πολλές περιπτώσεις αυτή η μέθοδος δουλεύει. Θα μπορούσα να παραθέσω πολλά παραδείγματα (το πιο απλό το έκανα με την δίνη). Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι η μελέτη της κίνησης μίας σφαίρας μέσα σε ιδανικό ρευστό.
Να σημειώσω και το εξής: Συμφωνώ ότι τα επίπεδα χαρτιά δεν συγκλίνουν επειδή τα φυσάμε, ότι οι ψεκαστήρες δεν δουλεύουν χωρίς καμπύλωση των ρευματικών γραμμών του αέρα, αλλά διαφωνώ με το ότι στην εξήγηση της πτήσης δεν έχει θέση η Bernoulli. Και διαφωνώ γιατί στην εξήγηση λαμβάνει αναπόσπαστο μέρος η εξίσωση, μεταξύ ενός σημείου πολύ μακριά από την αεροτομή και ενός σημείου ακριβώς πάνω από το συνοριακό στρώμα της αεροτομής (όχι βέβαια μεταξύ δυο σημείων πάνω και κάτω). Και όσο και αν φαίνεται περίεργο έτσι εξηγείται το ότι οι αεροτομές πετούν και ανάποδα (στην πράξη οποιουδήποτε σχήματος στερεό, δέχεται ανυψωτική δύναμη μέσα σε κινούμενο αέρα). Διαφωνώ λοιπόν με την συζήτηση και με τον Πάνο (το είχα γράψει στην ανάλογη συζήτηση) και είχα αναρτήσει και το Γιατί πετούν τα αεροπλάνα 1/2. Βέβαια αυτή η ανάρτηση δεν έτυχε μεγάλης προσοχής (δεν το λέω ως παράπονο φυσικά) και το θέμα έμεινε εκεί.
Επιμένω λοιπόν: Στην μόνιμη, ιδανική, ατσρόβιλη και ασυμπίεστη ροή, η εξίσωση εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε σημεία της. Και αυτήν η ιδιότητα της εξίσωσης έχει εφαρμογή και στην εξήγηση της πτήσης.