by 
Το κλειστό δοχείο του σχήματος περιέχει νερό σε ύψος h, πάνω από το οποίο έχει εγκλωβιστεί μια ποσότητα αέρα, ενώ πολύ κοντά στον πυθμένα του υπάρχει μια μικρή οπή που κλείνεται με τάπα. Το δοχείο έχει συνδεθεί με ανοικτό κατακόρυφο σωλήνα, στον οποίο το νερό έχει ανέβει μέχρι ύψος Η.
i) Η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στο πάνω μέρος του δοχείου, έχει τιμή:
α) p1 < pατμ, β) p1 = pατμ, γ) p1 > pατμ.
όπου pατμ η ατμοσφαιρική πίεση, στο εξωτερικό του δοχείου.
ii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή. Η ταχύτητα εκροής του νερού είναι ίση:
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας θεωρώντας το νερό ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό, ενώ η βάση του δοχείου έχει πολύ μεγαλύτερο εμβαδόν από το αντίστοιχο της οπής.
ή
Αν και συγκοινωνούντα δοχεία…
Αν και συγκοινωνούντα δοχεία…
Καλησπέρα και πάλι Διονύση!
Και γω δεν είμαι της άποψης να πάρω Bernoulli από το σωληνάκι ως την έξοδο, (προφανώς από την επιφάνεια μέσα στο δοχείο θα έπαιρνα) αλλά το ότι βγαίνει (οφειλόμενο στις προσεγγίσεις που κάνουμε) το καθιστά επικίνδυνο!!!
Καλημέρα Πρόδρομε.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλημέρα Στάθη.
Αρχίζω να καταλαβαίνω την διαφωνία. Θα γράψω κάτι καλύτερο σε λίγη ώρα.
Στάθη κάποιες σκέψεις.
Πιστεύω πως θα συμφωνήσεις.
Γιάννη και υπόλοιπη παρεά καλησπέρα.
Χωρίς να διαφωνώ σε όσα γράφεις, ταχτοποίησα και εγώ τις σκέψεις μου στο παρακάτω αρχείο Εφαρμογές της Bernoulli.
Νομίζω πως ούτε εδώ θα διαφωνήσουμε επί της ουσίας.
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τόσο εσένα όσο και τους υπολοίπους που συμετείχαν σε παρόμοιες συζητήσεις, γιατί, ακόμη και να διαφωνήσουμε, η όλη προσπάθεια με οδήγησε και με οδηγεί στο να καταλαβαίνω όλο και καλύτερα τα ρευστά.
Θα συμφωνήσω σε όλα.
Η αλήθεια είναι ότι αντιμετωπίζω (ή αντιμετώπιζα:) την στροβιλώδη ροή όχι με το κριτήριο του curl.
Έτσι θεωρώ (ή θεωρούσα και πρέπει να ανασκευάσω;) την περίπτωση της κόκκινης φλέβας ως "στρωματική ροή".
Η μετάβαση ενός στοιχείου ρευστού από αυτήν στην ακίνητη περιοχή ή το αντίθετο συνοδεύεται από μεταβολή της ενέργειας του στοιχείου αυτού. Οπότε δεν έχουμε εφαρμογή του νόμου. Ας είναι διότι η ροή χαρακτηρίζεται στροβιλώδης στο όριο (κάτι που δεν σκεφτόμουν).
Η εφαρμογή της σχέσης από την επιφάνεια μέχρι σημείο του δεξιού δοχείου δίνει ένα αποτέλεσμα όχι παράλογο. Ένα στοιχείο ρευστού αν ταξίδευε μέχρι το εν λόγω σημείο θα είχε (απουσία ιξώδους) την ταχύτητα που υπολογίζεται από την σχέση. Η ταχύτητα αυτή δεν είναι ή ταχύτητα κίνησης της επιφάνειας, διότι η επιφάνεια είναι ένας γεωμετρικός τόπος. Ένας γεωμετρικός τόπος μπορεί να κινείται με ταχύτητα διαφορετική από τα στοιχεία ρευστού. Την περίεργη ιδέα περιγράφω εδώ.
Έτσι ένας νόμος (Bernoulli) που αποδεικνύεται και με άλλα μέσα (χωρίς έννοιες ροής, με διατήρηση ενέργειας ενός στοιχείου ρευστού), εξακολουθεί να ισχύει απουσία ιξώδους, αποκτώντας όμως διαφορετικό περιεχόμενο. Συσχετίζει δηλαδή ταχύτητες μιας μαζούλας.
Θα συμφωνήσω και στο ότι τα σημεία που συνδέουμε (επιτυχώς) στο αριστερό δοχείο δεν γνωρίζουμε αν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή.
Καλησπέρα Στάθη και Γιάννη.
Θα ήθελα να τοποθετηθώ πάνω στην τελευταία πρόταση του Γιάννη:
«Θα συμφωνήσω και στο ότι τα σημεία που συνδέουμε (επιτυχώς) στο αριστερό δοχείο δεν γνωρίζουμε αν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή.»
Στην οποία διατηρώ κάποιες ενστάσεις.
Πάμε στο αριστερό δοχείο. Μια εικόνα που περιγράφει τη ροή στο δοχείο, είναι η παρακάτω.
Η ροή δεν ξεκινά από το σημείο Α για να τελειώσει στο Κ. Σε όλο το δοχείο έχουμε ροή.
Το ότι η ταχύτητα του υγρού σε όλα τα σημεία από το Ε μέχρι το Α είναι πάρα πολύ μικρή, δεν σημαίνει ότι πρέπει να μιλήσουμε για υγρό ακίνητο, υγρό σε ισορροπία.
Βέβαια αν κάποιος πάρει Bernoulli από το Ε στο Α θεωρώντας πολύ μικρές (άρα αμελητέες) τις ταχύτητες και στα δυο σημεία, τότε θα πάρει:
pατμ +ρgh=pΑ (1)
Δηλαδή θα του προκύψει η θεμελιώδης εξίσωση της υδροστατικής. Λέτε συνάδελφοι να μελετήσουμε την υδροστατική σαν υποπερίπτωση της υδροδυναμικής;
Στάθη παίρνεις τη ροή να ξεκινά από το σημείο Α και να τελειώνει στο Κ και γράφεις:
pΑ+ 0= pατμ+ ½ ρυ^2 (2)
Όπου αντικαθιστάς pΑ=pατμ+ρgh στην (2) και βρίσκεις τη ταχύτητα εκροής.
Στην πραγματικότητα βλέπω να εφαρμόζεις δύο εξισώσεις Bernoulli τις οποίες προσθέτεις κατά μέλη, άρα αυτό που βρίσκεις είναι η ταχύτητα για την ροή από το Ε στο Κ.
Μα, θα αντιτείνεις ότι μετά μπορείς να πας στο σημείο Β, σε βάθος y και αντικαθιστώντας την πίεση στο Β από την (1) να βρεις την ίδια ταχύτητα. Οπότε λες ότι εφαρμόζεις Bernoulli για δυο σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή.
Γιατί εγώ βλέπω να εφαρμόζεται για δύο σημεία το Β και ένα άλλο σημείο Κ΄, πολύ κοντά στο Κ, στο οποίο καταλήγει η γραμμή που περνά από το Β; Κάνω λάθος;
Τελειώνω: Η βασική μου ένσταση έχει να κάνει με το τι «στερεότυπα» θα περάσουμε στη διδασκαλία. Δεν πρέπει οι μαθητές να συγχέουν την υδροστατική με την υδροδυναμική. Δεν κερδίζουμε τίποτα, αν μπλέξουμε την υδροστατική με την υδροδυναμική, ενώ δημιουργούμε μια σύγχυση.
Καλησπέρα Διονύση.
Θα αρχίσω το σχόλιό μου αυτό από το τέλος της δικής σου τοποθέτησης.
Συμφωνώ ότι οι μαθητές δεν έχουν κανένα λόγο να συγχέουν την υδροστατική με την υδροδυναμική. Λίγο παραπάνω διαβάζω την ερώτηση
«..Λέτε συνάδελφοι να μελετήσουμε την υδροστατική σαν υποπερίπτωση της υδροδυναμικής;…».
Σε επίπεδο διδασκαλίας όχι, αλλά θέλω οι μαθητές να καταλάβουν μία συνέχεια: κάθε ισορροπία είναι υποπερίπτωση της αντίστοιχης δυναμικής. Δεν βλάπτει νομίζω να αναδειχθεί αυτό και στα ρευστά, όπου είναι δυνατόν (προφανώς όχι στην συγκεκριμένη άσκηση, σε μία ομοιόμορφη ροή ίσως, ή όταν εξηγούμε γιατί επίπεδες πλάκες δεν ανασηκώνονται λόγω αέρα). Δεν πιστεύω ότι οδηγεί σε σύγχυση.
Να τονίσω ότι η παρέμβασή μου στην συζήτση δεν έγινε γιατί θεωρώ κάτι λάθος στην ανάρτηση (θα την δίδασκα όπως είναι), αλλά για να σχολιάσω ..σχόλια περί αυτής.
Τώρα για το δοχείο Torricelli: Προσωπικά θεωρώ ότι αν μηδενίσουμε ως προσέγγιση την ταχύτητα σε ανοικτό πρισματικό δοχείο στην επιφάνεια, πρέπει να την μηδενίσουμε και παντού αλλού, λόγω της εξίσωσης της συνέχειας. Αυτήν είναι για μένα η βασική προσέγγιση, ο πυρήναςμ, που οδηγεί στο θεώρημα Torricelli: Η σύνδεση της υδροστατικής πίεσης στο Α (με τον μηδενισμό της ταχύτητάς του), με την πυκνότητα ενέργειας στο Ε.
Συνεπώς, όπως το αντιλαμβάνομαι, στο δοχείο δεν υπάρχει καμία ρευματική γραμμή, γιατί όλο το νερό στο δοχείο ισορροπεί ως βασική προσέγγιση, εκτός βέβαια της φλέβας Α->Κ.
Νομίζω όμως ότι η θέση μου περί της εξίσωσης Bernoulli και το που εφαρμόζεται γίνεται ξεκάθαρη στα δύο παραδείγματα που παρέθεσα στο αρχείο του προηγουμένου σχολίου μου.
Διονύση έβαλες τα Α και Β στην ίδια φλέβα και είναι λογική θεώρηση.
Ο νόμος Μπερνούλι αποδεικνύεται με διάφορους τρόπους. Τον σχολικό που επικαλείται φλέβα και άλλους που επικαλούνται ροίκές γραμμές. Η απόδειξη του σχολικού καλύπτει εφαρμογή από το Α στο Β;
Λέγοντας αυτό δεν εννοώ ότι επιθυμώ την Υδροστατική ως υποπερίπτωση της Υδροδυναμικής. Θα ήταν μέγιστο σφάλμα διδακτικής.
Έστω όμως ότι βασιζόμαστε στην απόδειξη του σχολικού βιβλίου. Μα καλύπτει η σύνδεση οιωνδήποτε σημείων της φλέβας;
Πέραν αυτού, όταν λέμε "Εφαρμόζω τον νόμο επί ρευματικής γραμμής" κυριολεκτούμε ή εννοούμε "Εφαρμόζω τον νόμο επί οιωνδήποτε σημείων της ιδίας φλέβας";
Τα Α και Β του σχήματός σου δεν τα συνδέει ρευματική γραμμή με τίποτα. Τα συνδέει μία σχέση Μπερνούλι ή συνδυασμός δύο σχέσεων;
Στο δια ταύτα, πέραν επιστημονικών ορθοτήτων:
-Διδάσκουμε να εφαρμόζουν δύο σχέσεις, από το Α στο Κ και από το Β σε γειτονικό του Κ, ή συνδέουμε τα Α και Β με μία σχέση;
Δεν μιλώ μόνο για τα συγκεκριμένα Α και Β διότι η διαφορά των πιέσεών τους είναι γνωστή και οι ταχύτητες μηδενικές. Γενικότερα προβληματίζομαι. Τι καλύπτει η σχολική απόδειξη;
Γιάννη η θεωρία για την εξίσωση πηγαίνει από το Α στο Κ και από το Β στο Κ΄.
Αν βέβαια εφαρμόσεις την εξίσωση δύο φορές μεταξύ των παραπάνω σημείων και επειδή οι ταχύτητες στα σημεία Κ και Κ΄είναι ίσες, θα προκύψει μια εξίσωση που θα συνδέει τα σημεία Α και Β.
Γιατί η σχέση αυτή θα πρέπει να "ονομαστεί" εξίσωση Bernoulli;
Ακόμη και πρακτικά να το δούμε, κερδίζουμε κάτι αν αρχίσουμε να εφαρμόζουμε την εξίσωση μεταξύ δύο τυχαίων σημείων;
Γιατί να το κάνουμε;
Η απόδειξη του σχολικού συνδέει (ας την δούμε προσεκτικά) δύο περιοχές.
Τους προσάπτει ίδια ύψη, ίδιες ταχύτητες και ίδιες πιέσεις.
Αυτό σημαίνει ότι είναι στοιχειώδεις, ήτοι σχεδόν σημεία, ήτοι τα συνδέει ρευματική γραμμή, ή πρόκειται για περιοχές;
Η απόδειξη του σχολικού επικαλείται το ότι τα δύο σημεία είναι στην ίδια ρευματική γραμμή ή στην ίδια φλέβα;
Εμείς όταν σχεδιάζουμε μια ρευματική γραμμή και εφαρμόζουμε τη σχέση Μπερνούλι κυριολεκτούμε ή υπονοούμε "ανήκουν στην ίδια φλέβα";
Γιατί να το κάνουμε;
Μάλλον να μη το κάνουμε. Θα προκύψουν μπερνουλιές, διότι τα παιδιά μπορεί να βγάλουν τέρατα.
Αν θέλουμε Γιάννη να έχουμε και σημεία σε διαφορετικές φλέβες, ας δούμε το σχήμα:
Εφαρμόζουμε την εξίσωση μεταξύ Α και Γ ή μεταξύ Β και Δ.
Τα δεύτερα μέλη ίσα άρα και τα πρώτα.
Θα μιλήσουμε για Bernoulli μεταξύ Α και Β;
Στάθη, να συμφωνήσω με το "θέλω οι μαθητές να καταλάβουν μία συνέχεια: κάθε ισορροπία είναι υποπερίπτωση της αντίστοιχης δυναμικής."
Όταν δίδασκα, έκανα το παραπάνω παράδειγμα όπου αποδείκνυα ότι μπορώ να πάω στην εξίσωση της υδροστατικής, ξεκινώντας από την υδροδυναμική, αλλά μόνο σαν σύνδεση. Σαν συνέχεια στη διδασκαλία. Στη συνέχεια "απαγόρευα" δια ροπάλου το ανακάτωμα.
Έχουμε ροή; Μιλάμε για Bernoulli και εφαρμόζουμε ό,τι γράφει το βιβλίο…
Όχι, αν το κάνεις βγαίνει τέρας. Ούτε λίγο ούτε πολύ (αν υπονοείς ίδιες διατομές και υψόμετρα) θα βγάλεις ίδιες ταχύτητες, κάτι που μπορεί να μην ισχύει. Μπορεί ο κάτω σωλήνας να τροφοδοτείται από "ψηλή" δεξαμενή. Τότε θα βγάλεις σαχλαμάρες αν εφαρμόσεις την σχέση μεταξύ Α και Β.
Όμως πέραν αυτών, κάτι δύσκολο όπως τα θέματα αυτά καθίσταται μάλλον εύκολο για μαθητές.
Δηλαδή θα τολμήσει κανείς να βάλει θέμα στο οποίο δύο οιαδήποτε σημεία δεν συνδέονται με τη σχέση Μπερνούλι;
Αν προβλέπω σωστά κάθε άσκηση είναι τυφλοσούρτης. Συνδέω με τη σχέση οιαδήποτε σημεία και καταλήγω σε σωστό αποτέλεσμα!
Όταν μάλιστα το βιβλίο περιέλαβε πλάκες που ανασηκώνονται τι έχει να φοβηθεί ένας μαθητής;