by 
Μια ομογενής λεία ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=1m και βάρους w=40Ν, ισορροπεί όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία θ με το λείο οριζόντιο επίπεδο, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8), δεμένη με οριζόντιο νήμα, στο άκρο της Α. Η ράβδος στηρίζεται στην κορυφή Γ ενός βαρέος ορθογωνίου, ύψους h, το οποίο ισορροπεί σε μη λείο επίπεδο.
- Αν h=45,6cm, να υπολογιστεί η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το οριζόντιο επίπεδο.
- Να βρεθεί το ελάχιστο ύψος hmin του ορθογωνίου, ώστε να μην χάνει η ράβδος την επαφή με το λείο οριζόντιο επίπεδο, διατηρώντας σταθερή την κλίση της θ με το επίπεδο, με δεδομένο ότι το ορθογώνιο παραμένει ακίνητο.
- Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στο ορθογώνιο από το επίπεδο στην παραπάνω περίπτωση,
ή
Το εμπόδιο εξασφαλίζει την ισορροπία
Το εμπόδιο εξασφαλίζει την ισορροπία
Καλημέρα Κώστα.
Η νέα σου λύση, νομίζω απαντά στο αρχικό ερώτημα, όπως έχει τεθεί.
Νομίζω όμως ότι είναι επίσης στην ίδια αποδεικτική πορεία, με την δική μου…
Καλημέρα!
Διονύση έχεις δίκιο. Άλλωστε γράφω ότι ακολούθησα την δική σου πορεία στην λύση που ανέβασα. Απλά έκανα μια διαφορετική διαχείριση των σχέσεων με σκοπό η ανισωση να περιέχει κατευθείαν το Ν και το χ σύμφωνα με την επιθυμία του Νίκου.
Καλημέρα.
Διονύση το test έγινε σε "καλό" τμήμα θετικής.
Παρουσίασα πρώτα την πρωτότυπη λύση,
η οποία έχασε πανηγυρικά.
Όταν ρώτησα τους μαθητές, από που προκύπτει ότι:
"η απόσταση (ΒΓ) θα πάρει την μικρότερη δυνατή τιμή της."
άρχισαν να μου γράφουν συναρτήσεις…
λέγοντας ότι τους ταλαιπωρώ με λόγια,
αφού είναι τόσο απλό με τις συναρτήσεις.
Κώστα τώρα συμφωνώ με τη λύση σου, η οποία
περιλαμβάνει συναρτήσεις, κάτι που ο Διονύσης
θέλει να αποφύγει, διότι κατά τη γνώμη του "τα λόγια"
είναι πιο κατανοητά στα παιδιά.
Καλησπέρα Νίκο.
Το αποτέλεσμα ήταν … προδιαγεγραμμένο
, αφού:
"με όποιον δάσκαλο καθίσεις, τέτοια γράμματα θα μάθεις"!
Ή αν προτιμάς:
"Κι οι δάσκαλοι της νεολαίας νταντάδες,
κόβουν στα μέτρα τους τους μαθητάδες,"
Έλα όμως που εγώ έπαψα να έχω … μαθητάδες!!!
Οπότε ό,τι πεις…
Διονύση, είχες δίκιο, η δύναμη αντίδρασης στο άκρο Β της ράβδου είναι 8 Newton, και η τάση του νήματος είναι 24 Newton. Επισυνάπτω μια εικόνα της επίλυσης που (ξανά) έκανα για το πρώτο σκέλος της ερώτησης. Η μέθοδος επίλυσης που χρησιμοποίησα ήταν η εξής: Αφού το δάπεδο είναι λείο στο σημείο επαφής Β, η δύναμη αντίδρασης θα είναι αυστηρά κατακόρυφη. Επίσης από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι το νήμα έλκει το άκρο Α της ράβδου με οριζόντια δύναμη. Αν επεκτείνουμε τους φορείς των δύο δυνάμεων θα δούμε ότι τέμνονται στο σημείο Η το οποίο βρίσκεται σε ύψος 60 cm πάνω από το δάπεδο. Αν το Η ήταν ένα πραγματικό σημείο της δοκού, θα μπορούσε να εφαρμοστεί εκεί η συνισταμένη των δύο δυνάμεων. Επειδή όμως δεν γνωρίζουμε τις τιμές των δυνάμεων, δεν μπορούμε να βρούμε την τιμή της συνισταμένης, ούτε την γωνία της προς τα πάνω. Αν τώρα επεκτείνουμε προς τα πάνω τους φορείς του βάρους της δοκού, και της αντίδρασης στο σημείο Γ από το κιβώτιο, θα δούμε ότι τέμνονται στο σημείο Ε που βρίσκεται σε ύψος 73,33…cm από το δάπεδο. Αν τώρα χαράξουμε μια ημιευθεία που να ξεκινάει από το Η και να περνάει από το Ε, βρίσκουμε τον φορέα της συνισταμένης δύναμης για την οποία μιλήσαμε νωρίτερα. Τώρα λοιπόν έχουμε το σημείο Ε στο οποίο εφαρμόζονται δύο άγνωστης τιμής δυνάμεις, και συνθέτουν μια τρίτη κατακόρυφη δύναμη 40 Newton πού αντισταθμίζει το βάρος της δοκού. Από το τρίγωνο ΗΕΖ βρίσκουμε εύκολα την αναλογία 1 προς 3 της δύναμης στο Β προς την τάση του νήματος, και ακόμα βρίσκουμε ότι η δύναμη αντίδρασης στο σημείο Γ είναι επίσης 40 Newton.
Μια ακόμη λύση στη λογική που αναφέρθηκε σε διπλανή ανάρτηση:
Ποιες ράβδοι ισορροπούν:
πάνω στο β΄ ερώτημα:
Αν Κ το σημείο τομής των φορέων του βάρους και της δύναμης από το εμπόδιο F, τότε ο φορέας της τάσης του νήματος, θα περνάει από ένα σημείο της ΚΓ, μεταξύ του Κ και του Γ, για τις διάφορες τιμές της αντίδρασης Ν, του οριζοντίου επιπέδου. Οριακά αν Ν→0, τότε ο φορέας της τάσης περνά από το Κ (με άλλα λόγια η ράβδος ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων που διέρχονται από το ίδιο σημείο Κ). Από τη Γεωμετρία του σχήματος, έχουμε:
β=(ΟΓ)=α∙ημθ=(ΒΟ)∙ημ2θ=0,5∙0,62m=0,18m.
Αλλά τότε x=(ΒΓ)=0,5m+0,18m=0,68m