by 
Στο σχήμα βλέπετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου έχουν προκύψει από την ίδια ομογενή λεπτή ράβδο, έχοντας μήκη (ΑΒ)= 3m, (ΑΓ)= 4m και (ΒΓ)= 5m. Το τρίγωνο έχει μάζα 24kg και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την κορυφή Α, όπως στο πρώτο σχήμα, ενώ συγκρατείται σε τέτοια θέση, ώστε η πλευρά ΑΒ να είναι οριζόντια.
i) Να υπολογιστεί η μάζα κάθε ράβδου-πλευράς του τριγώνου.
ii) Αν η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της, δίνεται από την σχέση Ιcm= (mℓ2/12), να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση της κορυφής Β, μόλις το τρίγωνο αφεθεί να περιστραφεί.
Στο δεύτερο σχήμα, το τρίγωνο μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με την πλευρά ΑΓ.
iii) Ξεκινώντας από τον ορισμό της ροπής αδράνειας, μπορείτε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ΒΓ ως προς τον άξονα z, συσχετίζοντάς την με την αντίστοιχη ροπή αδράνειάς της ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Γ;
iv) Πόση δύναμη, κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου και με σταθερό μέτρο, πρέπει να ασκηθεί στην κορυφή Β, ώστε το τρίγωνο να περιστραφεί κατά 120° σε χρόνο Δt=2s;
Δίνεται g=10m/s2.
ή
Η ροπή αδράνειας ενός τριγώνου
Η ροπή αδράνειας ενός τριγώνου
καλημέρα σε όλους
Ωραία Β΄θέματα, Διονύση
(τις επιταχύνσεις δεν τις ζητάς, αλλά δεν πειράζει…)
Καλημέρα Βαγγέλη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιατί το χαρακτηρίζεις Β΄θέμα; Έχει υπολογισμούς όπως κάθε άσκηση ή πρόβλημα…
Όσον αφορά την επιτάχυνση του σημείου Β, στο ii) ερώτημα δεν την ζητάω;
ωχ, "κατάφερα" να μην το δω, δίκιο έχεις…
(τους υπολογιμούς των ροπών αδράνειας κρίνω ως Β΄ θέμα)
Καλησπέρα κ.Διονύση,
Η άσκηση είναι εξαιρετική και η λύση της σαγηνευτική!
Μου άρεσε ιδιαίτερα το τρίτο ερώτημα γιατί θεμελιώνεται στον ορισμό της ροπής αδράνειας.
Συμφωνώ απόλυτα με την επιλογή του αθροίσματος από το ολοκλήρωμα, γιατί τόσο ο ορισμός του κέντρου μάζας και της ροπής αδράνειας εκφράζεται από ένα διακριτό άθροισμα και η ολοκληρωτική μορφή είναι συνέπεια της θεώρησης συνεχούς κατανομής. Για παράδειγμα αν είχαμε τρία σώματα σε οποιεσδήποτε θέσεις και θέλαμε να βρούμε την ροπή αδράνειας ως προς άξονα, παίρνουμε το διακριτό τους άθροισμα, ακριβώς όπως ασυνείδητα κάνουμε και όταν προσθέτουμε τις ροπές αδράνειες στερεών σωμάτων. Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το κέντρο μάζας και ακολούθως την ροπή αδράνειας….
Καλησπέρα Σπύρο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την παρέμβαση.
Είναι πάρα πολύ καλή Διονύση, με απαιτήσεις γεωμετρίας που νομίζω δεν είναι
άμεσα διαθέσιμες από τους μαθητές…..
Και καλά, αν "Η διάμεσος ορθογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή
της ορθής γωνίας είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας" κάτι μπορεί να θυμίζει
(για την απόδειξη ούτε λόγος βέβαια….) το άλλο που το προσπερνάς ως δεδομένο…
"Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου, φέρουμε ευθεία παράλληλη
προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του"
πιστεύεις πως το έχουν "πρόχειρο";;;;
Το άλλο με τη ροπή αδράνειας της ΒΓ ως προς τον άξονα z….
πώς το είπαμε, γεννήτρια κώνου;;;;
Μου ήρθε "λουκούμι" να την προωθήσω την Δευτέρα προς μελέτη, εφόσον …….,
αφού εδώ ακριβώς μας βρήκε ο coronavirus….
Και κάτι για να χαμογελάσουμε γιατί το έχουμε ανάγκη….
Και τώρα που το "φτιάχνω" στο μυαλό μου βρήκα και τις δύο πρώτες ερωτήσεις κατανόησης….
Ποιες μπορεί να είναι;;;
Τα δύο θεωρήματα γεωμετρίας στα οποία βασίζεται όλη η λύση….
Όποιος ασχοληθεί και πάρει χαρτί να τη λύσει θα αναγκαστεί να τα ψάξει
Ένα τρίτο για ροπή αδράνειας στερεού ως προς ορισμένο άξονα …να υπολογίσουν
τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνάει από την κορυφή Β (πιο εύκολο
από τα άλλα….), και ένα ποιοτικό, γιατί τα βάρη των ΑΒ και ΒΓ δεν προκαλούν περιστροφική
κίνηση γύρω από τον άξονα z….
Βγήκε το μεροκάματο και σώθηκε η αξιοπρέπεια του δημόσιου σχολείου…..
Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ή θα "παίξουμε" λίγο με τον υπολογισμό ροπής αδράνειας, πράγμα που οδηγεί σε ολοκληρώματα συνήθως ή σε απλή γεωμετρία στην πιο εύκολη εκδοχή ή θα την αφήσουμε εκτός, παίρνοντας απλά έναν τύπο όπως Ι=1/2 mR^2, χωρίς να μας απασχολεί το πως προκύπτει ή τι εκφράζει…
Αν αποδεχτούμε τη λογική ότι οι μαθητές δεν ασχολήθηκαν ποτέ σοβαρά με τη Γεωμετρία, άρα ότι ακουμπά σε Γεωμετρία, μένει έξω από τη διδασκαλία μας, θα είναι η πρώτη ήττα μας… Ας σταλεί το μήνυμα, με όποιον τρόπο μας δίνεται κάθε φορά η ευκαιρία, ότι η μη γνώση της Γεωμετρίας είναι μια γνωστική αναπηρία…
Όσον αφορά τα παράπλευρα ερωτήματα που μπορούν να τεθούν, για πιο παραγωγική διδασκαλία ή το μεγαλύτερο όφελος από την ενασχόληση ενός μαθητή με το θέμα… ανοικτός σε όλα!
Καλημέρα.
Πολύ καλή άσκηση και για θέμα αξιολόγησης.
Δύο παρατηρήσεις μόνο.
Διονύση σε μεταφέρω στην αίθουσα, μόλις πούμε ορθογώνιο με πλευρές 3,4,5 m φαντάσου τι έχει να γίνει ειδικά από αυτούς που νιώθουν και πιο καλοί στα μαθηματικά.
Μεταξύ σοβαρού και αστείου στην ερώτηση μπορείτε να υπολογίσετε … ; υπάρχουν δύο απαντήσεις σωστές ναι μπορώ, όχι δεν μπορώ.
Καλημέρα Γρηγόρη, καλό ΣΚ και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γρηγόρη επιβάλλεται να χρησιμοποιούμε εναλλακτικές εκφράσεις, για να μην "επιβάλλουμε" πάντα με προστακτικές τις ερωτήσεις μας, γράφοντας:
Υπολογίστε, βρείτε, αποδείξτε…
Άλλωστε ο στόχος δεν πρέπει είναι να «προπονήσουμε» τη νέα γενιά να …υπακούει σε διαταγές!!!
Δημιουργούμε υποταγμένους πολίτες… και ας μην το συνειδητοποιούμε….
Διονύση, έθιξες ευαίσθητες χορδές, οπότε θα συμφωνήσω για τις εναλλακτικές διατυπώσεις.
Για το ορθογώνιο δεν μου απάντησες. Εννοούσα ότι αφού δίνονται οι δύο κάθετες πλευρές δεν χρειάζεται να δώσουμε και την υποτείνουσα.
Εντάξει Γρηγόρη, δεν ήθελα να ασχοληθούμε με Πυθαγόρειο και προτίμησα να το δώσω έτοιμο…
Καλησπέρα Διονύση. Μπράβο για την άσκηση, διδακτικότατη! Επίσης απαιτεί στοιχειώδη Γεωμετρία, που ένας απόφοιτος είναι απαραίτητο να γνωρίζει.
Ας τεθεί μια φορά κάτι τέτοιο, για να προσέξουν οι επόμενες γενιές καί τη Γεωμετρία.
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλά, πού γυρίζεις και την είδες μετά από μέρες;
Ο Γιώργος σε …κυκλοφορεί;