by 
Συνηθίζουμε να χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) σε πολύ μεγάλο εύρος ασκήσεων, τόσο μηχανικής σημειακών σωμάτων, όσο και σε μηχανική στερεών (συστημάτων σωματίων). Η βασική λογική του θεωρήματος είναι ότι οποιαδήποτε μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος, ισούται με το συνολικό έργο που επιδρά σε αυτό. Η απόδειξη του θεωρήματος για ένα σημειακό σώμα (σταθερής χρονικά μάζας) είναι εύκολη και θεμελιώνεται στον ΙΙ νόμο του Νεύτωνα. Χρησιμοποιούμε όμως ανενόχλητοι το ΘΜΚΕ και σε θέματα στερεών σωμάτων χωρίς να παραθέτουμε ξεχωριστή απόδειξη του. Με άλλα λόγια μπορεί το ΘΜΚΕ να ισχύει για σημειακά σώματα, αλλά το αν ισχύει και για συστήματα σωματίων (στερεά σώματα ή διακριτές κατανομές) δεν είναι τόσο απλό. Τον λόγο για τον οποίο συμβαίνει αυτό προσπαθώ να αναδείξω παρακάτω.
Η αφορμή για την παρούσα εργασία είναι μια πρόσφατη ανάρτηση του κ.Γιάννη Κυρ. Όπως είχα υποσχεθεί, την τελείωσα σήμερα. Προσπάθησα (και θα συνεχίσω) να αλλάξω το στυλ των αναρτήσεων μου. Να είναι πιο οργανωμένες, πιο αναλυτικές.
Σπύρο είσαι πάντα εντυπωσιακός!
Διαβάζοντας κάπως διαγώνια βρήκα το:
Έστω ότι το σύστημα περιστρέφεται περί νοητό άξονα με γωνιακή ταχύτητα
και το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα 
.
Τι σημαίνει αυτό;
Πρόκειται για στερεό;
Αν όχι γιατί να έχουν όλα τα μέλη ίδιες γωνιακές ταχύτητες;
Αν πρόκειται για στερεό ισχύει η σχέση:
με την προϋπόθεση όμως υ να είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας και Ι η ροπή αδράνειας ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας.
Φυσικά η σχέση δεν ισχύει για Ι την ροπή αδράνειας ως προς τυχαίο άξονα.
Εξαίρεση έχουμε αν ο άξονας αυτός είναι συνεχώς ακίνητος ή έστω στιγμιαίος.
Τότε η κινητική ενέργεια γράφεται Κ=1/2Ι.ω.ω , με Ι την ροπή αδράνειας ως προς τον εν λόγω άξονα (ακίνητο ή στιγμιαίο).
Φαίνεται και από την τελευταία σου σχέση. Αν ο άξονας περνάει από το κέντρο μάζας τότε η rcm είναι μηδέν.
Όλα αυτά με την προϋπόθεση να μην έχω παρεξηγήσει το κείμενο.
Καλησπέρα κ.Γιάννη,
Ευχαριστώ!
Διευκρινίσεις:
1. Αναφέρομαι σε μη διακριτό σύστημα σωμάτων (στερεό)
2. Θα ακολουθήσει ανάλυση και για σύστημα ελεύθερων σωμάτων αλλά στην περίπτωση εκείνη τα πράγματα είναι απλά γιατί η ισχύει η αρχή της υπέρθεσης αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των μελών του συστήματος όπως υπάρχει στο στερεό.
3. Η κινητική ενέργεια δίνεται σχέση (8), από την οποία αν θέσουμε rcm το σύστημα αναφοράς προκύπτει αυτό που λέτε στο 2ο σχόλιο. Το αναφέρω αν προσέξετε και στις σημειώσεις μετά την σχέση (8).
4. Γενικά δεν ισχύει Κ=Κ(μετ)+Κ(περ), αλλά φυσικά υπάρχουν και περιπτώσεις που ισχύει. Το ενδιαφέρον είναι ότι ένας παρατηρητής επί του κέντρου μάζας, βλέπει κινητική ενέργεια μόνο περιστροφική. Ένας όμως αδρανειακός παρατηρητής εκτός του στερεού βλέπει κινητική ενέργεια Κ=1/2 Μυ^2 +1/2 Ιω^2. Αυτό προκύπτει κατευθείαν αν παίξουμε με την σχέση (8) χρησιμοποιώντας θεώρημα Steiner.
Σημειώνω ότι Ι θα είναι εδώ η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας.
Σπύρο τι εννοείς λέγων:
Γενικά δεν ισχύει Κ=Κ(μετ)+Κ(περ)
Φυσικά ισχύει αν Κ(περ)=1/2Ιcm.ω.ω. Ισχύει σε κάθε περίπτωση, δηλαδή ισχύει γενικά.
Τώρα αν κάποιος ονομάσει Κ(περ) = 1/2 Ι.ω.ω , με αυθαίρετο Ι, φυσικά δεν ισχύει. Ποιος όμως κάνει κάτι τέτοιο;
Μήπως δεν έχω καταλάβει κάτι;
Όχι όχι εννοώ ότι δεν ισχύει όταν το Ι είναι άλλο από αυτό του κέντρου μάζας.
Φυσικά και όταν Ι=Ιcm ισχύει πάντα η σχέση Κ=Κμετ+Κπερ
Αλλά η μορφή της σχέσης (8) προσωπικά πιστεύω ότι είναι καλύτερη από την Κ=Κμετ+Κπερ, γιατί η (8) εκφράζει και στερεά που μονάχα στρέφονται (από άξονα που δεν διέρχεται απαραίτητα από το κέντρο μάζας). Ενώ με την άλλη υπάρχει μπέρδεμα.
Όταν λέω μπέρδεμα δεν εννοώ ότι δεν μπορεί να βρεθεί πάλι η κινητική ενέργεια στρεφόμενου στερεού, αλλά ο όρος Κμετ δεν "στέκει" και πολύ γιατί το στερεό δεν κάνει μεταφορική κίνηση και Κπερ δεν είναι 1/2 Ιcm. ω^2 αλλά 1/2 Ιω^2
Με αυτήν την έννοια μπερδεύει.
Προφανώς δεν ισχύει. Αν ίσχυε τότε θα παίρναμε τον άξονα 1 χιλιόμετρο μακριά και θα βγάζαμε τεράστια κινητική ενέργεια.
Επίσης αν ίσχυε θα ίσχυε για δυο άξονες, ο ένας εδώ και ο άλλος στην Αφρική, οπότε θα πέφταμε σε αντίφαση.
Η σχέση 8 δεν είναι καλύτερη διότι δεν είναι απλούστερη. Αν έχεις έναν άξονα που δεν περνάει από το κέντρο μάζας τότε έχεις τις εξής περιπτώσεις:
1. Ο άξονας είναι ακίνητος ή στιγμιαίος. Τότε Κ=1/2 Ι.ω.ω. Σχέση απλούστερη της 8.
2. Ο άξονας δεν είναι σταθερός. Τότε Κ=1/2m.υ.υ+1/2Ιcm.ω.ω. Το Ιcm θα το βρεις από Στάινερ και το υ θα είναι ίσο με ω.(ΟΚ).
Τι να την κάνω την (8);;
Δες μια περίπτωση σταθερού άξονα που δεν περνάει από το κέντρο μάζας:
Η κινητική ενέργεια υπολογίζεται εύκολα από οιονδήποτε μαθητή χωρίς χρήση της (8).
Είναι Κ=1/2m.υ.υ+1/2.Ιcm.ω.ω
Είναι επίσης Κ=1/2Ι.ω.ω.
Φυσικά Ι=3Ιcm
κ. Γιάννη στο συγκεκριμένο διαφωνώ.
Η σχέση (8) είναι καλύτερη και εξηγώ γιατί:
1. Είναι μια μόνο συνάρτηση και όχι δίκλαδη όπως αυτή που αναφέρετε.
2. Στέκεται πιο καλά στην μαθηματική αυστηρότητα που ορίζει η μηχανική.
3. Είναι ευκολότερο να καταλάβουμε τις κινητικές ενέργειες που βλέπει κάθε παρατηρητής αλλάζοντας τα διανύσματα θέσης.
4. Αν το στερεό δεν παρουσιάζει συμμετρία και η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας δεν βρίσκεται εύκολα, τότε η σχέση (8) είναι πολύ ευκολότερη από το να κάνουμε Steiner κτλ.
5. Επιμένω ότι η έκφραση Κ=Κμετ+Κπερ για ένα στερεό δεν είναι ορθή. Όταν το στερεό δεν είναι ελεύθερο, αλλά στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα, τότε ένας λογικός άνθρωπος θα έλεγε:
"Α δεν μεταφέρεται αφού ο άξονας είναι ακλόνητος, οπότε στρέφεται μόνο, άρα Κ=0+Κπερ=1/2 Ι ω^2 όπου Ι ως προς τον άξονα περιστροφής."
Στην περίπτωση όμως που το στερεό ήταν ελεύθερο θα έλεγε:
"Α ας πάρω την σχέση Κ=Κμετ+Κπερ, ας διαλέξω έναν οποιοδήποτε άξονα περιστροφής, αφού το στερεό είναι ελεύθερο και δεν έχει δέσμευση, και θα έχω Κ=1/2 Μu^2 +1/2 Iω^2 ως προς τον άξονα που διάλεξα". Το οποίο φυσικά είναι λάθος.
Σπύρο αν κάνει το τελευταίο σε ελεύθερο στερεό, έκανε λάθος. Ένα λάθος που λέμε στους μαθητές να αποφεύγουν.
Λες:
Επιμένω ότι η έκφραση Κ=Κμετ+Κπερ για ένα στερεό δεν είναι ορθή.
Τι θα πει "δεν είναι ορθή";
Για να είναι μια σχέση ορθή ή λανθασμένη πρέπει τα σύμβολα να είναι καλώς ορισμένα.
Αν ονομάσουμε Κμετ την ποσότητα 1/2m.υ.υ και Κπερ την 1/2Ιcm.ω.ω τότε η σχέση ισχύει.
Αν δεν μας αρέσουν τα μετ και περ ας τις πούμε Κ1 και Κ2 ή Κcm και Κπερ,cm ή όπως θέλεις.
Τι θα πει "στέκεται πιο καλά στη μαθηματική αυστηρότητα";
Το απλούστερο στέκεται σε κάθε περίπτωση καλύτερα από κάτι πολυπλοκότερο.
Θα φανεί αυτό που λέω αν στήσεις μια άσκηση την οποία θα λύνει η 8 και δεν θα λύνει η κλασική μορφή.
Αν στείλεις μία και η κλασική σχέση την λύνει σε δύο σειρές, ενώ η (8) σε πέντε;
κ. Γιάννη αυτό θέλω να πω, πρέπει να είναι καλά ορισμένη. Εδώ δεν είναι για αυτό λέω ότι δεν είναι ορθή.
Σας ρωτάνε ποια είναι η κινητική ενέργεια ενός στερεού?
Απαντάτε: Κ=Κμετ+Κπερ=1/2 Μυ^2 +1/2 Ιcm ω^2.
Σας λένε α ωραία, άρα ένα στερεό που στρέφεται μόνο γύρω από ακλόνητο άξονα, δεν θα έχει μεταφορική κινητική ενέργεια άρα:
Κ=Κπερ=1/2 Ιcm ω^2
Φυσικά αυτό είναι λάθος. Εγώ όμως δεν έκανα κάτι λάθος, ακολούθησα την σχέση Κ=Κμετ+Κπερ και κατέληξα σε λάθος αποτέλεσμα. Οπότε κάτι δεν πάει καλά. Για να είμαστε σωστοί θα έπρεπε να ορίσουμε μια δίκλαδη συνάρτηση και να πούμε:
1. Όταν ο άξονας είναι ακλόνητος Κ=1/2 Ι ω^2
2. Όταν ο άξονας δεν είναι ακλόνητος Κ=1/2Μυ^2 +1/2 Ιcm ω^2
Να μην αναφέρουμε καθόλου περιστροφικές και μεταφορικές κινητικές ενέργειες, που εν τέλει μόνο προβλήματα δημιουργούν.
Σκεφτείτε όμως ότι με την σχέση (8) δεν χρειάζεται ούτε να μπερδευτούμε, ούτε να κάνουμε διαχωρισμούς για τους άξονες ούτε τίποτα. Είναι μια σχέση που μας λέει Κ=τόσο..τέλος. Είναι πιο όμορφη μαθηματικά, πιο κατανοητή τουλάχιστον σε εμένα.
Βέβαια νομίζω δεν έχει και πολύ σημασία να μένουμε σε αυτό γιατί είτε με τον έναν είτε με τον άλλο τρόπο, το ίδιο πράγμα λέμε.
Σας λένε α ωραία, άρα ένα στερεό που στρέφεται μόνο γύρω από ακλόνητο άξονα, δεν θα έχει μεταφορική κινητική ενέργεια άρα:
Κ=Κπερ=1/2 Ιcm ω^2
Λάθος μεγάλο θα κάνουν. Είδες την εικόνα που έστειλα από την προσομοίωση;
Στροφική κίνηση κάνει, όμως η 1/2 m.Vcm.Vcm δεν είναι μηδενική. Είναι όπως είδες 0,666 m/s.
Μην συγχέουμε την "κοινή λογική" με την αμάθεια ή την αφέλεια.
Δεν μίλησα για δίκλαδη συνάρτηση. Συ είπας.
Λέω ότι σε κάθε περίπτωση η κινητική ενέργεια έχει δύο εκφράσεις:
1/2m.Vcm.Vcm+1/2Icm.ω.ω και 1/2Ι.ω.ω.
Στην δεύτερη το Ι είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον στιγμιαίο άξονα. Αν ο άξονας είναι ακλόνητος είναι προφανώς και στιγμιαίος κάθε στιγμή. Επιλέγεις την έκφραση που σου αρέσει.
Δεν μίλησα για δίκλαδη συνάρτηση.
Δώσε ένα παράδειγμα χρήσης. Ένα παράδειγμα στο οποίο η λύση θα δίνεται ευκολότερα και συντομότερα από την σχέση (8) παρά από την κλασική σχέση.
Καλησπέρα Σπύρο, καλησπέρα Γιάννη.
Μία εφαρμογή των παραπάνω που συζητάτε ίσως βοηθήσει (τουλάχιστον εμένα γιατί μπερδεύτηκα): Πώς υπολογίζεται η κινητική ενέργεια του παρακάτω συστήματος μέσω της (8) ή μέσω της έκφρασης Κμετ+Κπερ;
Ένας δακτύλιος μάζας Μ και ακτίνας R με μία σημειακή μάζα m κολημένη στην περιφέρειά του, κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ω. Ποια η κινητική ενέργεια του συστήματος για έναν ακίνητο παρατηρητή στο Ο';