by 
Συνηθίζουμε να χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) σε πολύ μεγάλο εύρος ασκήσεων, τόσο μηχανικής σημειακών σωμάτων, όσο και σε μηχανική στερεών (συστημάτων σωματίων). Η βασική λογική του θεωρήματος είναι ότι οποιαδήποτε μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος, ισούται με το συνολικό έργο που επιδρά σε αυτό. Η απόδειξη του θεωρήματος για ένα σημειακό σώμα (σταθερής χρονικά μάζας) είναι εύκολη και θεμελιώνεται στον ΙΙ νόμο του Νεύτωνα. Χρησιμοποιούμε όμως ανενόχλητοι το ΘΜΚΕ και σε θέματα στερεών σωμάτων χωρίς να παραθέτουμε ξεχωριστή απόδειξη του. Με άλλα λόγια μπορεί το ΘΜΚΕ να ισχύει για σημειακά σώματα, αλλά το αν ισχύει και για συστήματα σωματίων (στερεά σώματα ή διακριτές κατανομές) δεν είναι τόσο απλό. Τον λόγο για τον οποίο συμβαίνει αυτό προσπαθώ να αναδείξω παρακάτω.
Καλησπέρα κ.Στάθη,
Δώστε μου λίγο χρόνο να πληκτρολογήσω και θα ανεβάσω ανάλυση για την περίπτωση του δακτυλίου.
Όχι δύσκολα Στάθη.
1. Βρίσκουμε το cm και την ταχύτητα του, ως διανυσματικό άθροισμα δύο ταχυτήτων.
2. Βρίσκουμε την ροπή αδράνειας του συνολικού στερεού ως προς άξονα διερχόμενο από το cm.
3. Γράφουμε την σχέση Κμετ+Κπερ και αντικαθιστούμε όσα χρειάζονται.
Γιάννη δεν καταλαβαίνω. Το Κπερ ποιο είναι; Για Κμετ μάλλον εννοείς το Κμετ=0.5 (Μ+m) υΟ^2.
Απάντησα βιαστικά Στάθη και επομένως ανόητα. Είναι πάρα πολύ εύκολο. παιδικό θα έλεγα.
Βρίσκουμε από τη σχέση Κμετ+Κπερ την κινητική ενέργεια του σταφανιού. Πολύ εύκολα.
Βρίσκουμε την ταχύτητα του m και επομένως την κινητική του ενέργεια.
Προσθέτουμε.
Για παράδειγμα αν το m βρίσκεται στην κατώτερη θέση έχει μηδενική ταχύτητα και Κ.Ε.
Αν βρίσκεται στο ύψος του κέντρου έχει ταχύτητα υ.ρίζα(2) οπότε Κ.Ε.=…..
Αν ξέρουμε την γωνία βρίσκουμε την ταχύτητα πανεύκολα.
Γιάννη προσωπικά και εγώ αυτό θα έκανα, αλλά αυτό δεν είναι ακριβώς εφαρμογή του Κμετ + Κπερ, γιατί σε τυχαία θέση το m θα εμπλέξει το συνημιτονο μεταξύ της ταχύτητας του Ο και της επιτροχίου ταχύτητας της m.
Στάθη αυτό εννοούσα, όμως αγνόησέ το. Είναι πολύπλοκή λύση και ανόητη.
Θα προσθέσουμε τις δύο κινητικές ενέργειες, όπως είπα στο προηγούμενο σχόλιο. Έτσι:
Κ=1/2Μ.V.V+1/2Iστεφ.ω.ω+1/2m,υ.υ.
Γράφων υ εννοώ την ταχύτητα του μαζακίου m.
Είναι στοιχειώδες.
Ε τι να κάνουμε;
Αφού εμπλέκεις την γωνία, θα εμπλακεί το συνημίτονο. Μην είμαστε άπληστοι!
Είναι πολύ εύκολη λύση.
κ. Στάθη και κ. Γιάννη, η απάντηση μου σύμφωνα με τα δεδομένα που δόθηκαν (κύλιση, γωνιακή ταχύτητα ω κτλ):
Η απάντηση εδώ
Αυτό που θέλω να πω Γιάννη είναι ότι υπάρχουν φορές που το Κμετ + Κπερ δεν λειτουργεί. Η σχέση (8) του Σπύρου (με μπερδεύει λίγο Σπύρο ότι δεν υπάρχουν δείκτες σε πολλές σχέσεις σου, οπότε δεν ξέρω σε ποιο σύστημα αναφέρεσαι καάε φορά, για αυτό ζήτησα υπολογισμό) δεν είναι πάντα η πιο έυκολη, αλλά είναι όντως η γενικότερη.
Είτε με την σχέση (8), είτε με την πρόσθεση των κινητικών ενεργειών κάθα σώματος βγάζω αποτέλεσμα (Μ+m+m συν(θ)) ω^2 R^2, όπου θ η γωνία μεταξυ της ταχύτητας του Ο και της επιτροχίου ταχύτητας του m.
Σπύρο γράφαμε μαζί πριν. Συμφωνώ με το τελικό αποτέλεσμα, αλλά γατί από την (2) στην (3) επέλεξες συν και όχι ημ;
Χμ κ. Στάθη θα προσπαθήσω να είμαι περισσότερο αναλυτικός έχετε δίκιο. Ελπίζω όμως να διαβάζονταν εύκολα και να μην ήταν πολύ μπουκωμένη. Δεν ήθελα να την κάνω εκτενέστερη γιατί θα γινόταν τεράστια ανάρτηση. Οποιεσδήποτε παρατηρήσεις έχετε ή διορθώσεις που θέλετε να κάνετε, θα χαρώ να τις ακούσω!!
Υ.Γ Τα αποτελέσματα μας είναι σε συμφωνία. Χρησιμοποίησα την σχέση (8).
Χαίρομαι!
Επέλεξα συνθ αφού το μικτό γινόμενο θα γραφτεί υ.ω.r(cm).συνθ.ημ90=υ.ω.r(cm).συνθ. Δεδομένου ότι τα διανύσματα γωνιακής ταχύτητας και θέσης είναι κάθετα, άρα στο εξωτερικό τους γινόμενο μπαίνει ημ90=1
Αυτό ακριβώς εννοώ Σπύρο. Κατά την γνώμη μου όταν ανταλλάσσεις απόψεις προσπαθείς να είσαι όσο πιο ανανλυτικός, ώστε ο άλλος να εστιάσει στο επιχείρημά σου και όχι στις πράξεις…
Παλαιότερα θυμάμαι είχες γράψει ότι δεν χρειάζεται να γίνουν όλα εύκολα, διαφωνώ. Όσο πιο απλά παρουσιάζεται κάτι, τόσο πιο εύστοχο είναι
.
Σπύρο μόλις το κοίταξα όλο. Λίγο βιαστικά προς το τέλος (πολλές οι ώρες δουλειάς σήμερα), αλλά συγχαρητήρια, ειδικά για τις δύο τελευταίες σελίδες! Μπράβο σου.
Έλειψα για λίγο.
Μία λύση: