by 
Συνηθίζουμε να χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) σε πολύ μεγάλο εύρος ασκήσεων, τόσο μηχανικής σημειακών σωμάτων, όσο και σε μηχανική στερεών (συστημάτων σωματίων). Η βασική λογική του θεωρήματος είναι ότι οποιαδήποτε μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος, ισούται με το συνολικό έργο που επιδρά σε αυτό. Η απόδειξη του θεωρήματος για ένα σημειακό σώμα (σταθερής χρονικά μάζας) είναι εύκολη και θεμελιώνεται στον ΙΙ νόμο του Νεύτωνα. Χρησιμοποιούμε όμως ανενόχλητοι το ΘΜΚΕ και σε θέματα στερεών σωμάτων χωρίς να παραθέτουμε ξεχωριστή απόδειξη του. Με άλλα λόγια μπορεί το ΘΜΚΕ να ισχύει για σημειακά σώματα, αλλά το αν ισχύει και για συστήματα σωματίων (στερεά σώματα ή διακριτές κατανομές) δεν είναι τόσο απλό. Τον λόγο για τον οποίο συμβαίνει αυτό προσπαθώ να αναδείξω παρακάτω.
Τελικά ποια είναι συντομότερη;
Γιάννη το άθροισμα των κινητικών κάθε σώματος είναι συντομότερη, αλλά δεν είναι πολύ πιο σύντομη από την σχέση (8) και σίγουρα δεν είναι Κμετ + Κπερ.
Αν βρεις το Κ.Μ. και την ταχύτητά του εφαρμόζεις την σχέση Κμ+Κπ. Γιατί όμως;
Δεν έχω αντίρρηση σε κάποιο πόνημα να εξαχθεί η οιαδήποτε σχέση.
Η πρόταση όμως να αντικαταστήσει μια κλασική σχέση;
κ.Γιάννη κανονικά όμως όπως έχουμε ορίσει την σχέση Κ=Κμ+Κπ θα έπρεπε να συμπεριλάβετε και την μεταφορική κινητική ενέργεια της στεφάνης. Γιατί την αποκλείετε?
Καλημέρα παιδιά.
Καλημέρα Σπύρο. Σίγουρα μια εντυπωσιακή ανάρτηση! Συγχαρητήρια.
Παρεμβαίνω γιατί προβλέπω να «χάνουμε την μπάλα», διαβάζοντας τα σχόλια.
Στάθη μην πετάμε εύκολα τη γνωστή οπτική ματιά, ότι «η γενική κίνηση του στερεού, μελετάτε ως μια μεταφορά και μια περιστροφή», για χάριν μιας οποιασδήποτε εναλλακτικής ματιάς. Αλλά τότε η κινητική του ενέργεια υπολογίζεται από την εξίσωση:
Το παράδειγμα με τον δίσκο και τη σημειακή μάζα, δεν νομίζω να είναι το σωστό, αφού λοξοδρομεί στο ποια λύση είναι ευκολότερη (στην απόδειξή σου Γιάννη, υπάρχει στον 3ο όρο μόνο η μάζα του υλικού σημείου). Αυτό που περιγράφει ο Σπύρος είναι η κίνηση ενός στερεού, το οποίο περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, ο οποίος άξονας κινείται.
Ας δούμε το σχήμα, όπου μια οριζόντια πλάκα στρέφεται γύρω από κινούμενο κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος κινείται με ταχύτητα υ και διέρχεται από ένα τυχαίο σημείο Ο του δίσκου που απέχει κατά r από το κέντρο μάζας του Κ.
Η κινητική ενέργεια είναι αυτή που έγραψα παραπάνω και απλά πρέπει να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας, όπως στο 2ο σχήμα. Έχουμε:
Οπότε για την κινητική ενέργεια έχουμε:
Όπου βάλαμε στο «παιχνίδι» την ταχύτητα υ του άξονα z και την ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα z.
Καλημερα κ. Διονύση,
Ευχαριστώ!
Ακριβως για αυτό μιλώ, για στέρεο με κινούμενο άξονα περιστροφής. Νομίζω το παράδειγμα του κ. Στάθη είναι καλό γιατί φαίνεται ξεκάθαρα τι συμβαίνει όταν ο άξονας περιστροφής δεν ταυτίζεται με το κέντρο μάζας.
Καλημέρα παιδιά.
Σπύρο δεν έχω παραλείψει την μεταφορική κινητική ενέργεια του στεφανιού.
Η ολική κινητική ενέργεια του στεφανιού είναι Μ.R.R.ω.ω.
Διονύση δεν κατάλαβα τι εννοείς λέγων:
στην απόδειξή σου Γιάννη, υπάρχει στον 3ο όρο μόνο η μάζα του υλικού σημείου
Η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου είναι 1/2m.V.V. Υπολογίζεται η V και βρίσκεται η κινητική ενέργεια.
Έχετε δίκιο κ. Γιάννη είναι:
Κ=(1/2). Ι. ω^2+(1/2). Μ. υ^2=2(1/2)Μ.υ^2=Μ.R^2ω^2
Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη και Διονύση η πρόθεσή μου δεν είναι να εγκαταλειφθεί καμία σχέση υπέρ κάποιας άλλης (αυτό λειτουργεί αμδίφρομα, δέχομαι την (8) όπως δέχομαι και το άθροισμα 0.5 m υcm^2 + 0.5 Ιcm ω^2 ). Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η κάθε μία ταιριάζει, περισσότερο ή λιγότερο.
Για αυτό έδωσα και το συγκεκριμένο παράδειγμα με τον δακτύλιο και την σημειακή μάζα, όπου ο άξονας περιστροφής μεταφέρεται και δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας. Εκεί το να πας να υπολογίσεις την ροπή αδράνειας ως προς το cm και την ταχύτητα του cm (για να εφαρμόσεις την "κλασσική" σχέση), δεν συμφέρει.
Αν έχω καταλάβει καλά, η σχέση (8) συσχετίζει τις κινητικές ενέργειες που "βλέπουν" δύο παρατηρητές μη στρεφόμενοι.
Ο ακίνητος και ένας "καθισμένος" σε τυχαίο άξονα. Η υ είναι η ταχύτητα του δεύτερου ως προς τον πρώτο.
Γεια σου Γιάννη.
Στην εξίσωση που καταλήγεις:
ο 2ος προσθετέος δίνει την κινητική ενέργεια της σημειακής μάζας m. Και είναι σωστή. Απλά σπας το "στερεό" σε μια στεφάνη και ένα υλικό σημείο.
Αν το κάνεις αυτό, δεν πρόκειται να αναδειχθεί η μαθηματική εξίσωση, που βγάζει ο Σπύρος, (όπου παρακάτω την βγάζω σαν απόρροια της γνωστής εξίσωσης για το κ.μ.) που έχει τη μορφή:
Στην εξίσωση αυτή m είναι η ολική μάζα του στερεού.
κ. Γιάννη η σχέση (8) δίνει την κινητική ενέργεια ενός οποιοδήποτε παρατηρητή. Έστω ότι αυτός είναι αδρανειακός, τότε:
υ=η ταχύτητα του νοητού άξονα
ω=η γωνιακή ταχύτητα περί τον άξονα
Τωρα τα διανυσματα θέσης παίρνονται ως προς τον άξονα περιστροφής.
Ειναι η γενική σχέση της κινητικής ενέργειας ισοδύναμη με αυτήν που έγραψε ο κ. Διονύσης.
Κατάλαβα.
Η απόδειξη που δίνεις είναι λυκειακή.
Η εμπλοκή μου στη συζήτηση οφείλεται στο ότι "Δεν πρέπει να γράφουμε Κ=Κμ+Κπ".
Η σχέση ισχύει μόνο για το κέντρο μάζας και όχι για τυχαίο σημείο, κάτι που είναι γνωστό.
Δεν έχω αντίρρηση με καμία σχέση, όμως μια σχέση πρέπει να έχει "τις εφαρμογές της". Διαφορετικά παραμένει ένα μαθηματικό παιχνίδι.