by 
καλησπέρα,
αν μια σφαίρα πέσει με οριζόντια ταχύτητα ελαστικά σε κατακόρυφο τοίχο
τότε επιστρέφει προς τα πίσω με ίδιου μέτρου ταχύτητα.
Από ΘΜΚΕ προκύπτει ότι το έργο της δύναμης που δέχεται από τον
τοίχο είναι μηδέν.
Μπορούμε να πούμε ότι η δύναμη αυτή είναι συντηρητική;
Γνωρίζουμε εάν το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο τοίχος στο σώμα είναι σταθερή?
Δηλαδή πότε αξίζει να μας απασχολεί Διονύση το αν μια δύναμη είναι ή όχι συντηρητική;
πού αλλού χρησιμοποιούμε τις συντηρητικές δυνάμεις;
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση ασχολήθηκα με την στατική τριβή διότι ζητήθηκε στη συζήτηση.
Εξ’ άλλου είναι καλή περίπτωση παρανόησης.
Τείνω να συμφωνήσω με τον Γιάννη Μήτση, όμως θα πιάσω τα σχόλια με τη σειρά.
Γράφει ο Άρης:
“Η απάντηση είναι ότι το έργο της είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή, εάν το στοιχειώδες έργο F dr είναι τέλειο διαφορικό.
Και οι μαθηματικές συνθήκες που χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε εάν το στοιχειώδες έργο της δύναμη είναι τέλειο διαφορικό και η δύναμη είναι συντηρητική είναι ως γνωστόν π.χ. για δύναμη σε δύο διαστάσεις είναι
F dr=Fxdx+Fydy
και για να είναι τέλειο διαφορικό πρέπει dFx/dy=dFy/dx”
Έτσι μια δύναμη F που είναι σταθερό διάνυσμα ικανοποιεί τα παραπάνω και ….. χαρακτηρίζεται συντηρητική!
Το ίδιο και η F–D.x !
Ωραία. Βρίσκουμε μια περίπτωση στατικής τριβής που είναι σταθερή. Είναι συντηρητική;;
Βρίσκουμε μία άλλη που είναι ίση με Τ=-C.x . Είναι συντηρητική;;
Πιστεύω πως ο χαρακτηρισμός “συντηρητική” αποδίδεται στη φύση της δύναμης. Η φύση της την συνοδεύει μόνιμα.
-Η στατική τριβή είναι σε κάθε πρόβλημα ίση με -C.x;
-Η στατική τριβή είναι σε κάθε πρόβλημα σταθερό διάνυσμα;
Το βάρος είναι σε κάθε πρόβλημα ίσο με m.g. Είναι πεδιακή δύναμη. Έτσι σε όλα τα προβλήματα δεν μεταβάλλει την Μηχανική Ενέργεια. Είναι αυτό το “Διά κάθε” που ισχύει για το βάρος αλλά όχι για την στατική τριβή.
Αυτή είναι μια δύναμη χαμαιλέων. Μπορεί να αποκτήσει πολλές μαθηματικές εκφράσεις. Κάποιες από αυτές την κάνουν να μοιάζει με συντηρητική δύναμη. Κάποιες άλλες με κλασική μη συντηρητική δύναμη.
Επομένως δεν είναι συντηρητική δύναμη διότι δεν ισχύει το “Διά κάθε“.
Για να χαρακτηρισθεί μια δύναμη “συντηρητική” πρέπει το curlF να είναι μηδέν σε κάθε πρόβλημα.
Το μπέρδεμα απορρέει από ασκησούλες που (καλώς) λύναμε στο δεύτερο έτος.
Μας έδιναν (καλώς) ένα μαθηματικό τύπο δύναμης. Πολλές φορές ανύπαρκτης. Μας ρωτούσαν:
-Είναι συντηρητική;
Καλώς μας ρωτούσαν γιατί έπρεπε να παίξουμε με τα curl και τα div. Έπρεπε να τα μάθουμε κάποια στιγμή.
Εμείς διολισθήσαμε από τα Μαθηματικά στις Μαθηματικουριές. Αγνοήσαμε πως τα Μαθηματικά περιέχουν και τα “Υπάρχει” και “Διά κάθε” και σα μωρά παιδιά παίζαμε με τα κουβαδάκια μας, κάνοντας πράξεις.
Έτσι ακόμα και την τριβή ολίσθησης θα χαρακτηρίζαμε συντηρητική αν σε ένα πρόβλημα το curl της έβγαινε μηδέν.
Καλημέρα Γιάννη.
Μια στιγμή. Δηλαδή είναι κριτήριο το αν η στατική τριβή έχει σταθερό μέτρο ή όχι για να χαρακτηρισθεί ως συντηρητική ή όχι;
Αν σε ένα σύστημα σωμάτων υπάρχει κάποια αλληλεπίδραση μεταξύ τους, μέσω στατικής τριβής, η μηχανική ενέργεια διατηρείται!
Αλλά το έργο της απλά μετράει την ενέργεια που μεταφέρεται από το ένα σώμα στο άλλο σαν κινητική ενέργεια.
Τι νόημα έχει να την χαρακτηρίσουμε ως συντηρητική ή όχι;
Είναι σαν το παράδειγμα που έδωσα παραπάνω με την σταθερή δύναμη. Το έργο της είναι μηδέν! Ε και λοιπόν;
Διονύση θα συμφωνήσω με τα παραδείγματά σου όλα. Θα προσθέσω ότι η δύναμη του χεριού μπορεί να πάρει οποιαδήποτε μαθηματική έκφραση. Την στιγμή που:
1. Δεν είναι πεδιακή.
2. Υπάρχουν περιπτώσεις που ο στροβιλισμός της δεν είναι μηδέν.
δεν είναι συντηρητική δύναμη.
Φυσικά μπορεί σε κάποιο πρόβλημα το έργο μιας μη συντηρητικής δύναμης να είναι μηδενικό σε κλειστή διαδρομή.
Ας το εκμεταλλευτούμε χωρίς κάποιον χαρακτηρισμό.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Αν μπορώ να ορίσω μία συνάρτηση των χωρικών συντεταγμένων U για τηνοποία η δύναμη γράφεται ως F=-grad(U), τότε μπορώ να βρω μία διατηρήσιμη ποσότητα με διαστάσεις ενέργειας στο πρόβλημα που εξετάζω. Αν αυτήν η ποσότητα έχει κάποια αξία είναι ένα άλλο θέμα. Ενδεχομένως να βοηθά στην λύση ενός προβλήματος (για παράδειγμα το ενεργό δυναμικό της γωνίας αιώρησης στο κωνικό εκκρεμές που συνδυάζει την βαρυτική δυναμική ενέργεια με την σταθερή σροφορμή), οπότε καλά κάνουμε και την ορίζουμε, δεν είναι «μαθηματικουριά» και δεν παίζουμε με τα κουβαδάκια μας στην παραλία. Ενδεχομένως να μην βοηθά καθόλου και τότε είναι “μαθηματικουριά” και δεν έχει νόημα (για παράδειγμα η στατική τριβή στο σύστημα των δύο σωμάτων που ταλαντώνονται το ένα πάνω στο άλλο).
Αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί με τις έννοιες πεδίο δύναμης και πεδιακή συντηρητική δύναμη στην κλασσική φυσική, πρέπει το πεδίο που ορίζουμε να είναι ανεξάρτητο του υποθέματος και να έχει μηδενικό στροβιλισμό. Τέτοια πεδία υπάρχουν μόνον δύο, το βαρυτικό και το ηλεκτροστατικό (το πεδίο –Dx του α.α.τ. δεν είναι ένα από αυτά).
Καλημέρα Διονύση.
Λες:
Μια στιγμή. Δηλαδή είναι κριτήριο το αν η στατική τριβή έχει σταθερό μέτρο ή όχι για να χαρακτηρισθεί ως συντηρητική ή όχι;
Ακριβώς το αντίθετο είπα. Χαρακτήρισα και “Μαθηματηκουριά” μια τέτοια αντιμετώπιση.
Η στατική τριβή μπορεί να ενδυθεί όποιον μαθηματικό τύπο θέλουμε. Να το εκφράσω καλύτερα:
Μπορούμε να βρούμε πρόβλημα τέτοιο ώστε η στατική τριβή να έχει τον μαθηματικό τύπο της αρεσκείας μας.
(Βλέπεις στην προηγούμενη φράση και το “υπάρχει” και το “δια κάθε” με ελαφρώς τροποποιημένες διατυπώσεις.)
Έτσι δεν δικαιούται τον χαρακτηρισμό “συντηρητική”.
Δικαιούνται τον χαρακτηρισμό “συντηρητικές” δυνάμεις των οποίων ο στροβιλισμός είναι μηδέν σε κάθε πρόβλημα.
Αυτές οι δυνάμεις είναι πεδιακές και δεν μεταβάλλουν την Μηχανική Ενέργεια. Ακριβώς διότι ως πεδιακές με μηδενικό στροβιλισμό οδηγούν σε κάποια δυναμική ενέργεια U τέτοια ώστε F=-gradU.
Καλημέρα Στάθη.
Σε καμία περίπτωση δεν θα ειρωνευόμουν εσένα.
Χαρακτηρίζω (νεολογίζοντας) ως “Μαθηματικουριά” εσφαλμένη χρήση των Μαθηματικών.
Τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο τύποι και πράξεις. Έχουν λαμπρό τμήμα, τον προτασιακό λογισμό.
Αυτόν με τα υπάρχει, τα δια κάθε, τις κατασκευές των αρνήσεων δεδομένων προτάσεων.
Ενώ συμφωνώ με την τελευταία σου πρόταση, έχω προβλήματα με την πρώτη:
Αν μπορώ να ορίσω μία συνάρτηση των χωρικών συντεταγμένων U για την οποία η δύναμη γράφεται ως F=-grad(U), τότε μπορώ να βρω μία διατηρήσιμη ποσότητα με διαστάσεις ενέργειας στο πρόβλημα που εξετάζω.
Αντιπαράδειγμα:
Το υπόβαθρο εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Το υπερκείμενο σώμα δέχεται δύναμη στατικής τριβής που είναι ίση με -m.ω^2.x. Έτσι μπορώ να ορίσω μία συνάρτηση U τέτοια. Είναι η U=0,5.m.ω^2.x^2.
Για την συνάρτηση αυτήν ισχύει ότι T=-gradU.
Εκπληρώνονται όλα όσα ανέφερες.
Μάλιστα η συνάρτηση αυτή (την οποία μπορώ να ονομάσω “δυναμική ενέργεια ταλάντωσης”) είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε πολλά προβλήματα υπολογισμού ταχύτητας σε δεδομένη θέση.
Να μιλήσουμε για δυναμική ενέργεια στατικής τριβής;
Να χαρακτηρίσουμε την στατική τριβή “συντηρητική δύναμη”;
Γιάννη δεν πίστεψα ποτέ ότι το έλεγες για μένα.
Πρόσεξε ότι γράφω “μαθηματικουριά” την περίπτωση της στατικής τριβής. Φυσικά και δεν θα την χαρακτηρίσω συντηρητική, επειδή μπορώ να βρώ μία διατηρήσιμη ποσότητα.
Γενικότερα μιλώντας, η Θεωρητική Μηχανική είναι μια επέκταση της Γενικής Φυσικής του 1ου έτους.
Οφείλει να μην αντιφάσκει με την Γενική Φυσική.
Μην θεωρήσουμε την Γενική Φυσική ως μια κακή απλούστευση της Θεωρητικής Φυσικής, της απόλυτης αλήθειας.
Μην πάρουμε πίσω τον χαρακτηρισμό “μη συντηρητική” που είχαμε αποδώσει σε πολλές δυνάμεις όπως η τριβή, η τάση του νήματος, η δύναμη του χεριού, όταν πρωτομαθαίναμε Φυσική. Ας μην το κάνουμε διότι τα μαθηματικά κριτήρια (curlF=0, F=-gradU κ.λ.π) υπονοούν το “Σε κάθε περίπτωση που η δύναμη εμφανίζεται”.
Διαφορετικά θα οδηγηθούμε σε “δυναμική ενέργεια ταλάντωσης”, σε “σταθερότητα ενέργειας κύματος” και άλλα πολλά.
Γειά σου Γιάννη.
Επειδή προφανώς η «Μαθηματικουριά» αφορά στο ότι απλά έγραψα το κριτήριο με το οποίο ελέγχουμε αν μια δοσμένη δύναμη είναι διατηρητική, κατά τους ορισμούς –τους οποίους εμείς δίνουμε, αντιγράφω παλιότερη τοποθέτησή μου που αφορούσε την δύναμη από ελατήριο.
Κοίτα τα σημαδεμένα με κίτρινο (ελπίζω δεν θα τα χαρακτηρίσεις Μαθηματικουριά), καλύπτουν όλα όσα λες για το ότι μπορώ να βρώ μορφές δυνάμεων, όπως η τριβή, που θα μοιάζουν με διατηρητικές ενώ δεν είναι. Η συνέχεια
Καλησπέρα Άρη.
Μπορείς να διευκρινήσεις τι εννοείς με τα παρακάτω;
———————
και στη συνέχεια:
Αν πρόκειται για την περίπτωση σώματος δεμένου σε ελατήριο ήμαστε στην πρώτη επισήμανση από τις παραπάνω. Επιπλέον υπάρχει η απαίτηση για να εκδηλωθεί η δύναμη κατά Hook το σώμα αν τοποθετηθεί σε θέση επιμήκυνσης ή συσπείρωσης του ελατηρίου, αν είναι οριζόντιο τουλάχιστον.
….
Τι εννοείς είμαστε στην πρώτη επισήμανση; Δεν υπάρχει αναγκαιότητα ορισμού πεδίου; Ότι δεν έχουμε πεδίο ή ότι δεν πρέπει να αντικαθιστούμε το ελατήριο με ένα πεδίο; Και τελικά η δύναμη του ελατηρίου είναι ή όχι συντηρητική; (για να μην χάσουμε εντελώς το αρχικό ερώτημα…)!
Καλησπέρα παιδιά.
Άρη δεν χαρακτηρίζω μαθηματικουριές όσα έγραψες. Δεν σχολιάζω ειρωνικά φίλους.
Η παρερμηνεία των επεκτάσεων της Θεωρητικής Φυσικής αφορά όλους μας. Η νοοτροπία αυτή προκάλεσε τόσες συζητήσεις και θα προκαλεί άλλες στο μέλλον.
Θα διαβάσω το κείμενό σου τώρα.
Άρη όταν μας δίνουν μια δύναμη F=-ι.(1/x)+j.(1/y) σε άσκηση βιβλίου Μηχανικής και μας ρωτούν:
-Είναι συντηρητική;
Θέλουν από εμάς να κάνουμε πράξεις και να αποφανθούμε. Στόχος είναι η εκπαίδευσή μας και η εξοικείωσή μας με τον περίφημο τελεστή.
Δεν ασχολήθηκαν με την φύση και την προέλευση της δύναμης. Υποτίθεται ότι είναι πεδιακή δύναμη ενός πεδίου το οποίο μπορεί και να μην υπάρχει.
Όταν μας ρωτάει κάποιος:
-Είναι συντηρητική η στατική τριβή;
δεν είναι το ίδιο. Δεν θα απαντήσουμε:
-Στο πρόβλημα του ταλαντευόμενου υποβάθρου είναι, ενώ στο ….. πρόβλημα δεν είναι.
Το κριτήριο δεν είναι η μαθηματική σχέση που συνδέει την στατική τριβή με την θέση r.
Η στατική τριβή μπορεί να εκφραστεί από μεγάλη ποικιλία μαθηματικών σχέσεων. Άλλες θα οδηγούν σε μηδενικό στροβιλισμό, άλλες όχι.
Η απάντηση δεν είναι δύσκολη πιστεύω. Δεν είναι πεδιακή δύναμη και δεν δικαιούται τον χαρακτηρισμό “συντηρητική”.
Αν θέλουμε να αποφύγουμε όρους όπως “πεδιακή” ,γιατί μιλάμε σε παιδιά, βρίσκουμε ένα παράδειγμα στο οποίο η δύναμη αυξάνει την Μηχανική Ενέργεια.