by 
Ο αγωγός ΚΛ του σχήματος μάζας m και μήκους ℓ, είναι οριζόντιος και μπορεί να κινείται κατακόρυφα, σε επαφή με δυο παράλληλους αγωγούς Αx και Γy χωρίς τριβές, μέσα σε ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο έντασης Β (με φορά προς τον αναγνώστη και κάθετο προς τους Αx και Γy). Ο αγωγός ΚΛ και οι Αx και Γy δεν παρουσιάζουν αντίσταση, ενώ μεταξύ των άκρων Α και Γ συνδέεται αντιστάτης με αντίσταση R. Ο αγωγός εκτοξεύεται την χρονική στιγμή t0=0 με κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ0 κι εκείνη την στιγμή, το μέτρο της επιτάχυνσής του είναι 2g ( g η επιτάχυνση της βαρύτητας). Όλες οι τριβές, θεωρούνται αμελητέες.
Ο αγωγός κατά την κάθοδό του , θα αποκτήσει σταθερή ( οριακή ) ταχύτητα:
α) Πιο πάνω από την αρχική θέση εκτόξευσης.
β) Ακριβώς στην αρχική θέση.
γ) Πιο κάτω από την αρχική θέση εκτόξευσης.
Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Καλημέρα Πρόδρομε. Σ΄ευχαριστώ για τον σχολιασμό και για τα καλά σου λόγια, όπως και για την λύση σου. Ναι , η καταγωγή μου είναι από τα Φάρσαλα. Το επώνυμό μας είναι μοναδικό , δεν υπάρχει συνωνυμία. Εσύ , από που είσαι Πρόδρομε;
Για να σε ρωτάω, είμαι κι εγώ από Τατάρι(Ζωοδόχος Πηγή)! Μένω Αθηνα-Καλλιθέα, εσύ;
Μάλιστα! Κοίτα να δεις! Μένω Λάρισα , Πρόδρομε. Είσαι γείτονας με τον γιο μου , σπουδάζει εκεί και μένει Καλλιθέα!
Καλημερα !
Διονυση θα συμφωνησω μαζι σου ως προς το γεγονος οτι η τελικη ταχυτητα (υτελ) , αυτη που επιθυμουμε να ειναι η οριακη , σε ολα αυτα τα προβληματα θεωρητικα απαιτειται απειρος χρονος . Ομως για να μπορεσουμε να κανουμε καποιους θεωρητικους και παλι υπολογισμους προφανως πρεπει να κανουμε εξ αρχης μια συμβαση .
Εχει καθιερωθει το (5τ) μιας και το exp(-5) = 0.0067379 , να πω εδω οτι “πιο καλο” ειναι (7τ) διοτι exp(-7) = 0.0009118 , φυσικα δεν εχει τελος αυτη η ιστορια , οποτε εχουμε κρατησει το (5τ) .
Οπως εδειξα πιο πανω κανοντας χρηση της ΑΔΕ απο την στιγμη που το Καρχ < Κορ , ακομα και αν οπως λες το υαρχικο ειναι πολυ κοντα στο υορ , το Uτελ <0 . Εδω προφανως η ΑΔΕ ειναι μεταξυ της θεσης εκτοξευσης (y=0, U=0) και της θεσης οπου θα εχω την υορ.
Εκεινο που με προβληματισε στην συνεχεια και θελησα να το διερευνησω ειναι τι συμβαινει οταν το Καρχ > Κορ .
Προεκυψε λοιπον το πιο ΠΑΝΩ .
Φυσικα για να “κυλίσει” η αναλυση εχω κανει μια συμβαση οτι κατα την καθοδο θα αποκτησει την οριακη ταχυτητα μετα απο (5τ) . Τελικα η tορ = tstop + 5τ .
Υπαρχει λοιπον μια υο = 5.9368*g*τ = υcrit. για την οποια yορ = 0 . Φυσικα αν αλλαξουμε την συμβαση η υcrit. θα εχει μια αλλη τιμη .
Εδω να πω οτι :
υcrit. = 5.9368*g*τ = 29.684 m/s διοτι εχω θεωρησει τ=0.5 s ( δεν ειναι και μικρη ειναι 107 km/h)
t stop = τ * ln [ (υο/g*τ) + 1 ] = 0.9684 sec = 1.9368*τ τότε ymax = υο*τ – g*τ*tstop = 4*g*τ^2 = 10 m !
(υο = υcrit. = 5.9368*g*τ )
Επομενως βγαινουν τα συμπερασματα που εχω διατυπωσει .
Θεωρω λοιπον οτι καθε φορα , αναλογα με την συμβαση που εχουμε κανει , παντα θα υπαρχει μια τετοια αρχικη ταχυτητα ωστε να επιτυγχάνεται η οριακη ταχυτητα την στιγμη που διερχεται απο το σημειο βολης . Για αρχικες ταχυτητες μεγαλυτερη απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται πανω απο το σημειο βολης , ενω για αρχικες ταχυτητες μικροτερες απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται κατω απο το σημειο βολης.
Καλησπέρα Κώστα!
Καλημέρα σε όλους,
Κώστα δεν έχω ένσταση σε όσα γράφεις, συμφωνώ.
Η ένστασή μου είναι ότι οι 5τ είναι μια “αυθαίρετη” σύμβαση.
Σε 5τ η υ γίνεται 99,3% υο
σε 6τ, υ = 99,7% υο
σε 7τ, υ = 99,9% υο
κλπ.
Με τη σύμβαση 5τ μπορεί λοιπόν να βγαίνει αποτέλεσμα “πάνω από το σημείο βολής”
αλλά με σύμβαση 6τ μπορεί να βγει “κάτω από …”
Γι’ αυτό θα πρέπει να αναφέρεται η επιθυμητή προσέγγιση στην εκφώνηση,
και βέβαια θέλει δύσκολους υπολογισμούς η απάντηση.
Αν δεν αναφέρεται, τότε η ορθή απάντηση είναι πάντα “πολύ κάτω … “, αφού ο αγωγός πλησιάζει μόνο την υορ και θεωρητικά δεν την αποκτά ποτέ.
Καλημέρα Διονύση!
Έχω μια αντίρρηση:
Δεν υπάρχει καμία περίπτωση να πιάσει το 99,3 της τελικής τιμής πάνω από την θέση εκτόξευσης.
Δεν είναι θέμα προσέγγισης της οριακής ταχύτητας.
Μία λύση χωρίς Μαθηματικά:
Βαρέθηκα να λύσω την διαφορική εξίσωση και περιορίστηκα σε προσομοιώσεις.
Όταν επιστρέφει στο σημείο εκτόξευσης έχει ταχύτητα μεταξύ 3/4 (για ταχύτητα 10) και 3/5 της ταχύτητας εκτόξευσης για ταχύτητα 0,5). Πριν το σημείο εκτόξευσης έχει ακόμα μικρότερες ταχύτητες με βάση την εξήγηση που έγραψα παραπάνω.
Αφού θα πιάσει (αν θέλουμε προσεγγίσει άριστα) την οριακή ταχύτητα (ίση με την αρχική) θα το κάνει πιο κάτω.
Πολύ όμορφη λύση Γιάννη
Για του λόγου το αληθές:
Εκτοξεύεται με 10 m/s .Επιστρέφει με 6m/s. Πλησιάζει την οριακή ταχύτητα πολύ-πολύ-πολύ πιο κάτω.
Ίσως σκεφτεί κάποιος ότι έτυχε στην συγκεκριμένη προσομοίωση. Έχω κάνει πέντε.
Η κατάσταση δεν αλλάζει.
Μικρή διόρθωση:
Τώρα εκτοξεύεται με ταχύτητα 100 φορές μικρότερη:
Στην θέση ισορροπίας έχει ταχύτητα μικρότερη από τα 3/5 της οριακής.
Γεια σου Χριστόφορε, η άσκησή σου προφανώς ενεργοποίησε μυαλά.
«Θεωρω λοιπον οτι καθε φορα, αναλογα με την συμβαση που εχουμε κανει, παντα θα υπαρχει μια τετοια αρχικη ταχυτητα ωστε να επιτυγχάνεται η οριακη ταχυτητα την στιγμη που διερχεται απο το σημειο βολης . Για αρχικες ταχυτητες μεγαλυτερη απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται πανω απο το σημειο βολης , ενω για αρχικες ταχυτητες μικροτερες απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται κατω απο το σημειο βολης.»
Κώστας Ψυλάκος
«Κώστα δεν έχω ένσταση σε όσα γράφεις, συμφωνώ.
Η ένστασή μου είναι ότι οι 5τ είναι μια “αυθαίρετη” σύμβαση.
Σε 5τ η υ γίνεται 99,3% υο
σε 6τ, υ = 99,7% υο
σε 7τ, υ = 99,9% υο
κλπ.
Με τη σύμβαση 5τ μπορεί λοιπόν να βγαίνει αποτέλεσμα “πάνω από το σημείο βολής” αλλά με σύμβαση 6τ μπορεί να βγει “κάτω από …”
Γι’ αυτό θα πρέπει να αναφέρεται η επιθυμητή προσέγγιση στην εκφώνηση, και βέβαια θέλει δύσκολους υπολογισμούς η απάντηση.
Αν δεν αναφέρεται, τότε η ορθή απάντηση είναι πάντα “πολύ κάτω … “, αφού ο αγωγός πλησιάζει μόνο την υορ και θεωρητικά δεν την αποκτά ποτέ.»
Διονύσης Μητρόπουλος
Συμφωνώ με την τελική κοινή διαπίστωση των δύο φίλων (γεια σας παιδιά, να πούμε και γ@@ώ τον COVID 19 που μας καταδίκασε να επικοινωνούμε μόνο έτσι).
Όμορφη και η τσαχπινιά του Γιάννη αλλά όπως λέει και ο ίδιος, «μόνο στην περίπτωση των 2g)
Καλησπέρα Άρη. Γράφεις:
Με τη σύμβαση 5τ μπορεί λοιπόν να βγαίνει αποτέλεσμα “πάνω από το σημείο βολής” αλλά με σύμβαση 6τ μπορεί να βγει “κάτω από …”
Αποκλείεται. Σύμβαση 5τ σημαίνει πάνω από 99 %. Όταν επιστρέφει στο σημείο βολής έχει κάπου το 60% του μέτρου της αρχικής ταχύτητας. Αυτό σημαίνει προσέγγιση μίας σταθεράς χρόνου και όχι 5τ.
Γι αυτό έγραψα ότι έχω αντίρρηση στο ότι πρέπει να αναφέρεται η αρχική προσέγγιση.
Όταν λέμε “πιάνει οριακή ταχύτητα” εννοούμε μια καλή προσέγγισή της, αυτή των 5τ. Διαφορετικά η απάντηση είναι τετριμνμένη:
-Ποτέ και πουθενά δεν θα πιάσει την οριακή ταχύτητα!
Δεν υπάρχει περίπτωση να πιάσει την προσέγγιση των 5τ πάνω από το σημείο εκτόξευσης.
Μετά:
Για αρχικες ταχυτητες μεγαλυτερη απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται πανω απο το σημειο βολης , ενω για αρχικες ταχυτητες μικροτερες απο αυτη αυτο θα επιτυγχανεται κατω απο το σημειο βολης.
Δεν καταλαβαίνω τη φράση. Τι θα πει για αρχικές ταχύτητες μεγαλύτερες από αυτή;
Ποια αυτήν;
Την οριακή ταχύτητα δηλαδή;
Αν αυτό εννοεί η φράση, αποκλείεται. Διότι:
Όποια και αν είναι η αρχική ταχύτητα βολής η οριακή ταχύτητα είναι ίση με αυτήν με το δεδομένο της αρχικής επιτάχυνσης 2g.
Το γιατί φαίνεται στην πρώτη παράγραφο της λύσης μου.