by 
Ο αγωγός ΚΛ του σχήματος μάζας m και μήκους ℓ, είναι οριζόντιος και μπορεί να κινείται κατακόρυφα, σε επαφή με δυο παράλληλους αγωγούς Αx και Γy χωρίς τριβές, μέσα σε ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο έντασης Β (με φορά προς τον αναγνώστη και κάθετο προς τους Αx και Γy). Ο αγωγός ΚΛ και οι Αx και Γy δεν παρουσιάζουν αντίσταση, ενώ μεταξύ των άκρων Α και Γ συνδέεται αντιστάτης με αντίσταση R. Ο αγωγός εκτοξεύεται την χρονική στιγμή t0=0 με κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ0 κι εκείνη την στιγμή, το μέτρο της επιτάχυνσής του είναι 2g ( g η επιτάχυνση της βαρύτητας). Όλες οι τριβές, θεωρούνται αμελητέες.
Ο αγωγός κατά την κάθοδό του , θα αποκτήσει σταθερή ( οριακή ) ταχύτητα:
α) Πιο πάνω από την αρχική θέση εκτόξευσης.
β) Ακριβώς στην αρχική θέση.
γ) Πιο κάτω από την αρχική θέση εκτόξευσης.
Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Στάθη συμφωνώ στο ότι αν η υο είναι μεγαλύτερη της υορ θέλει ψάξιμο.
Η απάντηση είναι ότι πιάνει το 0,993 της οριακής ενίοτε πάνω από την θέση αρχικής βολής.
Έχω γράψει αναλυτικά:
Άρη αυτό που γράφεις είναι η ιδέα της απάντησης.
Έγραψα κάτι σχετικό πρόσφατα. Κάτι με “γραβάτα”.
Τελικά όταν περιορίζεσαι στο πρόβλημα που έθεσε ο Χριστόφορος η απάντηση έρχεται απλά.
Χαίρετε
Επειδή μου άρεσε το πρόβλημα του Χριστόφορου, είπα να ασχοληθώ . . .
Η διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση του αγωγού ΚΛ είναι:
-g-(g/υο)υ=dυ/dt (αντικατέστησα Β2l2/R=mg/υ0)
Η λύση είναι: υ(t)= 2υο exp(-gt/υο)-υο
Ενώ για τη θέση: y(t) = (2υ02 /g)(1- exp(-gt/υο))-υ0t
Αρχικές συνθήκες είναι υ(0)= υο και y(0)=0 , με θετική φορά προς τα πάνω.
Η συνάρτηση y(t) είναι αύξουσα στο διάστημα 0≤t≤tαν , όπου tαν = (υ0/g) ln2 ο χρόνος ανόδου.
Η y(t) είναι φθίνουσα για tαν≤t
Παρομοίως η συνάρτηση υ(t) είναι φθίνουσα για tαν≤t με υ(t)≤0
Έστω ότι ο αγωγός περνάει από την αρχική θέση με ταχύτητα υ=-λυ0 με 0<λ<1
Θέτουμε το ερώτημα : Ποια είναι η τιμή του λ όταν ο αγωγός περνάει ξανά από την αρχική θέση τη χρονική στιγμή – ας την πούμε – tλ ;
Λύνουμε το σύστημα: y(tλ)=0 και υ(tλ)=-λυ0 .
Προκύπτει ή εξίσωση: (1-λ)exp(1+λ)-2=0 .
Η μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1) είναι λ≈0,5936 .
Άρα ο αγωγός θα περάσει από την αρχική θέση με ταχύτητα ίση περίπου με το 59,36% της οριακής.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλημέρα Θρασύβουλε. Σ΄ ευχαριστώ για την λύση. Είναι εξαιρετική. Συμφωνεί δε, με τις προσομοιώσεις του Γιάννη.
Να είσαι καλά. Καλή εβδομάδα.
Ευχαριστώ και εγώ. Ένα καλό πρόβλημα αποτελεί “τροφή για σκέψη” . Καλή εβδομάδα.