by 
Τι σχέση έχει ο φάντης με το ρετσινόλαδο, τα εσώρουχα με τις γραβάτες και η ενεργός μάζα ελατηρίου με τη ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου;
Καλύτερα να ρωτήσουμε «Τι κάνει ο άνθρωπος για να γλυτώσει τα ολοκληρώματα;».
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Τι σχέση έχει ο φάντης με το ρετσινόλαδο, τα εσώρουχα με τις γραβάτες και η ενεργός μάζα ελατηρίου με τη ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου;
Καλύτερα να ρωτήσουμε «Τι κάνει ο άνθρωπος για να γλυτώσει τα ολοκληρώματα;».
Ευχαριστώ Άρη.
Ακριβώς αυτό πιστεύω και εγώ Στάθη. Ότι έγραψε ο Διονύσης.
Στο κατακόρυφο δεν το έχω ψάξει.
Καλησπέρα Γιάννη , καλησπέρα σε όλους.
Έξοχη. Σε παρακαλώ Γιάννη, να βαριέσαι πιο συχνά τα ολοκληρώματα.
Καλησπέρα Γιάννη
Μια και είπες για κατακόρυφο ελατήριο θυμήθηκα ένα videaki που τράβηξε κάποτε ένας μαθητής και το ανέβασα μόλις στο youtube μη γνωρίζοντας άλλο τρόπο για το σχόλιο και σίγουρος πως θα ανεβεί ουκ είμαι
https://www.youtube.com/watch?v=iOX-jk9E144&feature=youtu.be
Ευχαριστώ Χριστόφορε και Παντελή.
Παντελή και αργή κίνηση!
Σαν τον ταχυδακτυλουργό που βγάζει κουνέλια από το καπέλο του, εσύ βγάζεις ιδέες που ξεφτιλίζουν τα ολοκληρώματα!!
ΕΥΓΕ!!!
Ευχαριστώ Πρόδρομε.
Πάντως η ιδέα ήρθε από την ομοιότητα δύο ολοκληρωμάτων.
Δηλαδή ενώ αντιμετώπισα πριν πολλά χρόνια το πρόβλημα με δυνάμεις, είπα να το δω με ενέργειες. Το ολοκλήρωμα του x^3 μου έφερε στο νου …. κ.λ.π.
Γι’ αυτό και το έγραψα. Διαφορετικά δεν θα άξιζε τον κόπο και δεν θα έγραφα κάτι.
Τα ίδια τα ολοκληρώματα δίνουν ιδέες “μη χρήσης τους”.
Πάρα πολύ καλό κ. Γιάννη.
Καλημέρα Σπύρο. Ευχαριστώ.
Γιάννη καλησπέρα. Βρήκα χρόνο και ξανακοίταξα τα περί της ενεργούς μάζας του ελατηρίου. Τελικά υπάρχει κάτι που με προβληματίζει. Συγκεκριμένα αυτό που γράφεις,
“Και εδώ όπως και στην προηγούμενη περίπτωση το άκρο Ο είναι
ακίνητο. Και εδώ το ελεύθερο άκρο έχει ταχύτητα υ.
Και εδώ το μέσον έχει ταχύτητα υ/2.”
Για να ξέρω ότι το μέσον του ελατηρίου κινείται με ταχύτητα υ/2, πρέπει να υποθέσω ότι κατά την κίνηση της μάζας m στο ελεύθερο άκρο του, η παραμόρφωση του ελατηρίου σε κάθε σημείο του, ισούται με Δy=(x/L), όπου L το ελέυθερο μήκος του ελατηρίου (x=0 το ακλόνητο άκρο).
Αλλά αν στο ελατήριο διαδίδεται μια διαμήκης διαταραχή καθώς η μάζα Μ ταλαντώνεται, τότε η παραπάνω σχέση δεν ισχύει. Και αν δεν ισχύει η σχέση αυτή, η συχνότητα ταλάντωσης δεν μπορεί να είναι η sqrt(k/(m/3+M)).
Δεν διαφωνώ σε αυτό που γράφετε εσύ και ο Διονύσης, “η συνολική ενέργεια είναι ίση με το έργο της δύναμης που πρέπει να του ασκήσουμε, για να το επιμηκύνουμε κατά x”.
Αυτό όμως δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η κίνηση πραγματοποιείται με την παραπάνω συχνότητα, ή ότι η δύναμη στο άκρο του ελατηρίου είναι σε κάθε χρονική στιγμή ίση με -kΔL.
Πρόσεξτε στην ανάρτηση του αειμνήστου Βαγγέλη Κορφιάτη, δύο σημεία:
Στην εισαγωγή του
“Σημαντικός προβληματισμός μου όσον αφορά το αποτέλεσμα αυτό ήταν το γεγονός ότι δεν μπορούσα να επαληθεύσω εκ των υστέρων την σχέση ΣF =− Mω^2x για το σώμα.”
και στην κατακλείδα,
“Υστερόγραφο: Η χρονική εξέλιξη της κίνησης μπορεί να θεωρηθεί ελλιπής. Δεν εξασφαλίζει ότι σε μελλοντικές χρονικές στιγμές δεν ενεργοποιούνται ανώτεροι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης (normalmodes).”
Στάθη συμφωνώ σε όλα. Είχα συμφωνήσει και τότε με τον Βαγγέλη.
Αν σε σημαντικού μεγέθους ελατήριο διαδίδεται κύμα, έχουμε εντελώς άλλη ιστορία.
Μπορεί η μάζα να κινείται ελάχιστα και το κύμα να πηγαινοέρχεται ανακλώμενο συνεχώς στα άκρα. Η περίπτωση που ουσιαστικά μελετάται είναι αυτή η απλή κατά την οποία κρεμάς ένα σώμα σε ελατήριο και η περίοδος βρίσκεται μεγαλύτερη από την “λυκειακή” διότι μπαίνει αυτό το m/3.
Γιάννη όπως το καταλαβάινω η θεμελιώδης συχνότητα της ταλάντωσης και η χρονική εξέλιξη του συστήματος εξαρτάται έντονα από τον λόγο των μαζών, το ελεύθερο μήκος του ελατηρίου και τις συνοριακές συνθήκες, δεν είναι πάντα η sqrt(k(M+m/3).
Επιπλέον, ο νόμος του Hooke δεν φαίνεται, στην γενική περίπτωση, να ισχυει σε όλο το ελατήριο, παρά μόνον σε στοιχειωδη τμήματά του (η σταθερά της δυναμικής ενέργειας δεν είναι η k). .
Αν τα βάλω όλα σε σειρά θα γράψω κάτι.
Καλημέρα Στάθη.
Δεν έχω μελετήσει το θέμα. Ο Βαγγέλης το έκανε και πιθανώς εσύ τώρα.
Προσομοίωση είχα κάνει και αυτή της κακιάς ώρας.
Η παρούσα ανάρτηση και άλλες παρόμοιες εστιάζουν στο απλό πείραμα με συνηθισμένο μικρό ελατήριο και το βαράκι. Όπως η παρακάτω:
Φαίνεται πως όλες οι σπείρες ταλαντώνονται με την συχνότητα του σώματος.
Δεν έχω μελετήσει την γενική περίπτωση.
Καλημέρα κ. Γιάννη και κ. Στάθη.
Γενικά δεν ισχύει η σχέση αυτή για την γωνιακή συχνότητα. Ισχύει για συγκριτικά μικρές μάζες ελατηρίου.
Όμως μπορούμε να κάνουμε όσο καλή προσέγγιση θέλουμε. Αν δείτε στην ανάρτηση μου, στο τελικό αποτέλεσμα που καταλήγω δεν έχει προκύψει κατευθείαν αλλά με Taylor στην εφαπτομένη για να γίνει μια σχετικά άριστη προσέγγιση.
Από εκεί και πέρα μπορούμε να έχουμε ακριβείς αριθμητικές λύσεις για όποια μάζα ελατηρίου και να έχουμε.