by 
Δίδεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.
Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουμε δύο γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ
ίσες με 15ο η κάθε μία.
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.
(για τη φουκαριάρα τη Γεωμετρία, που έχει, κάπως, πέσει στα αζήτητα τελευταία…)
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Αφιερωνεται στον Γιάννη Κυριακόπουλο.
Παραθετω μια λυση που ειχα προτεινει στον καθηγητη μου οταν ημουνα μαθητης 1ης Λυκειου.
Λήμμα:
Εστω δυο κυκλοι (Κ,ρ) και (Λ,ρ) οπου ο ενας διερχεται απο το κεντρο του αλλου.Αν Ο ειναι ενα σημειο τομης τους και η κοινη εξωτερικη εφαπτομενη η πλησιεστερη στο Ο εφαπτεται στους κυκλους (Κ,ρ) και (Λ,ρ) στα σημεια Μ,Ν αντιστοιχα,τοτε:
i) Tο τριγωνο ΚΛΟ ειναι ισοπλευρο.
ii) To ΚΛΜΝ ειναι τετραγωνο.
iii) Το τριγωνο ΝΟΜ ειναι ισοσκελες με τις προσκειμενες στην βαση ΜΝ γωνιες ισες με 15 μοιρες.
Απόδειξη: ι) προφανές.
ii) Ειναι ΝΚ=ΚΛ=ΛΜ=ρ και ΝΚ // ΛΜ ως ακτινες καθετες στην κοινη εξωτερικη εφαπτομενη.Αρα ΚΛΜΝ ρομβος με μια εκ των γωνιων του ορθη. Αρα ΚΛΜΝ τετραγωνο.
iii) Λογω των i),ii) η γωνια ΟΚΝ ειναι 30 μοιρες ως συμπληρωματικη της γωνιας του ισοπλευρου τριγωνου. H γωνια ΟΝΜ ειναι η γωνια μεταξυ της χορδης ΝΟ και της εφαπτομενης ΝΜ.Αρα ειναι ιση με καθε εγγεγραμμενη γωνια στον κυκλο (Κ,ρ) η οποια βαινει στο τοξο ΝΟ, λογω γνωστου θεωρηματος.
Ως γνωστον ομως, καθε επικεντρη γωνια ενος κυκλου ειναι διπλασια μιας εγγεγραμμενης η οποια βαινει στο ιδιο τοξο ή σε ισο τοξο του κυκλου.Η γωνια ΟΚΝ ομως ειναι επικεντρη που βαινει στο τοξο ΝΟ.Αρα η γωνια ΟΝΜ ειναι το μισο της ΟΚΝ αρα ΟΝΜ=15 μοιρες. Ομοια ΟΜΝ=15 μοιρες (Ο.Ε.Δ)
Λογω του πιο πανω λήμματος η προς αποδειξη προταση ειναι προφανης.
τριτη σειρα λήμματος: (στα σημεια Ν,Μ αντίστοιχα)
Καλημέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε ευχαριστώ.
Πολύ όμορφη λύση.
πολύ καλή λύση, και μάλιστα, από μαθητή της Α Λυκείου
δεν γνωρίζω αν διάβασες την παραπομπή στον δικό μου χώρο,
μοιάζει πολύ με την πρώτη από τις τρεις απαντήσεις μου
Την διαβασα.Μοιαζει αρκετα. Υπαρχουν πολλοι τροποι να διατυπωσει κανεις τη λυση. Η πιο ισχυρη παρατηρηση για να λυσει κανεις την ασκηση ειναι οτι η προταση:”15 μοιρες αρα ισοπλευρο” ειναι ισοδυναμη με την προταση :”Ισοπλευρο αρα 15 μοιρες”.Η αλλοιως:
“Iσοπλευρο αν και μονο αν 15 μοιρες”
Καλημερα!
Βαγγελη την εχω δει απο την αρχη δεν ειχα ομως τον χρονο που αυτη χρειαζονταν .
Εχουν προταθει πολυ ομορφες λυσεις τοσο απο την πλευρα σου (λιγο συνθετες) οσο και απο την πλευρα του Γιαννη αλλα και του Κωνσταντινου αλλα και του Διονυση Σκια .
Προσθετω και εγω μια σκεψη ακομη ….
Σωστός,
θα τον βγάλουμε με χρέος τον αγαπημένο Γεωμέτρη της νιότης μου…
Ωραίο πρόβλημα Βαγγέλη.
Μία λύση και με μετρικές σχέσεις, εδώ.
Φιλικά,
Θ.Π.
Ωραία!
Θρασύβουλε, ομολογώ ότι δεν γνωρίζω γενικευνένο Πυθαγόρειο θεώρημα
“γενικευμένο”
Βαγγέλη είναι ο πρόδρομος του θεωρήματος του συνημιτόνου.
καλημέρα, Γιάννη, δεν το θυμόμουν
καλημέρα σε όλους
μου έστειλε μια, επίσης πολύ καλή, απάντηση ο Διονύσης ο Σκιάς
απέδειξε, αρχικά, με την εις άτοπον, ότι η γωνία ΒΟΔ δεν μπορεί να είναι ούτε μεγαλύτερη ούτε μικρότερη από 75ο
προσπαθείστε την
Είναι πραγματικά συγκινητικό να βλέπεις ανθρώπους διαφορετικών ηλικιών και ειδικοτήτων να ασχολούνται με τη Γεωμετρία και να προτείνουν τόσο όμορφες λύσεις. Άλλη μια λύση για τον κύριο Βαγγέλη για την ωραία άσκηση, την ιστορία που τη συνόδευε, τις άλλες ιστορίες που μοιράστηκε μαζί μας και με τις οποίες μας θύμισε τις δικές μας ηρωικές μέρες πριν τις Γενικές Εξετάσεις αλλά και τα ανέμελα φοιτητικά χρόνια μας, στα οποία και εμείς γυρνούσαμε στις αίθουσες της Νομικής και στα αμφιθέατρα της Φιλοσοφικής αναζητώντας …την ομορφιά. Έχουμε λοιπόν:
Το Ο ανήκει στην κοινή μεσοκάθετο των τμημάτων ΓΔ και ΑΒ και άρα ΑΟ= ΒΟ.
Άρα το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές (με ΟΑΒ = ΟΒΑ = φ). Για να δείξω ότι είναι ισόπλευρο, αρκεί να δείξω ότι φ = 60.
Τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι ίσα γιατί έχουν 3 πλευρές ίσες (ΑΓ=ΒΔ, ΑΟ=ΒΟ και ΓΟ= ΔΟ). Άρα για τη γωνία ΑΟΓ ισχύει ΑΟΓ = ΒΟΔ = ω.
Αρκεί να δείξω ότι ω = 75 (διότι τότε η γωνία ΟΒΔ = 30 και θα είναι 90-φ = 30 και άρα φ = 60).
Έστω ότι ω > 75.
Τότε για το τρίγωνο ΟΒΔ ισχύει ΒΔ > ΒΟ (σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες γωνίες, βρίσκονται αντίστοιχα άνισες πλευρές) δηλαδή α > ΒΟ.
Επίσης, στο σημείο Ο έχουμε (αφού οι 4 γωνίες έχουν άθροισμα 360) ότι η γωνία ΑΟΒ < 60.
Έτσι, για το τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ότι η γωνία φ > 60 και άρα ΑΟΒ < φ. Έτσι, για τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές έχουμε ΑΒ < ΒΟ δηλαδή α < ΒΟ. Άτοπο.
Έστω ότι ω < 75.
Τότε για το τρίγωνο ΟΒΔ ισχύει ΒΔ < ΒΟ (σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες γωνίες, βρίσκονται αντίστοιχα άνισες πλευρές) δηλαδή α < ΒΟ.
Επίσης, στο σημείο Ο έχουμε (αφού οι 4 γωνίες έχουν άθροισμα 360) ότι η γωνία ΑΟΒ > 60.
Έτσι, για το τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ότι η γωνία φ < 60 και άρα ΑΟΒ > φ. Έτσι, για τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές έχουμε ΑΒ > ΒΟ δηλαδή α > ΒΟ. Άτοπο.
Άρα ω = 75. Όπερ έδει δείξαι.
Διονύσης Σκιάς