by 
Δίδεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.
Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουμε δύο γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ
ίσες με 15ο η κάθε μία.
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.
(για τη φουκαριάρα τη Γεωμετρία, που έχει, κάπως, πέσει στα αζήτητα τελευταία…)
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Πολύ καλή Βαγγέλη.
Καλησπερα σας.Kαποιος ρομαντικος που διαβαζε τα βιβλια των : Lemaire, Κανελλου,Τογκα, Ιησουητων,κλπ θα μπορουσε να γραψει μια κομψη Ευκλειδια λυση. Και εγω ετσι την ειχα λυσει παλια μετα απο πολλες πολλες ωρες προσπαθειας.Ενας φυσικος θα μπορουσε να βεβαιωθει αμεσως για το οτι ισχυει η προταση αφου το αντιστροφο ειναι προφανες και επισης ειναι προφανες οτι υπαρχει 1-1 αντιστοιχια μεταξυ των δυο γωνιων ΒΑΟ και ΔΓΟ των δυο ισοσκελων τριγωνων το ενα απο τα οποια ειναι το υποψηφιο ισοπλευρο.
Βαγγέλη καλησπέρα
Μπορούμε να φέρουμε το ύψος ΟΕ του τριγώνου ΟΓΔ το οποίο είναι ταυτόχρονα και διάμεσος αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και να το προεκτείνουμε ώστε να τμήσει την ΑΒ στο Ζ (έστω)
Εύκολα παίρνουμε ότι η ΟΖ είναι ύψος και διάμεσος του ΟΑΒ άρα το ΟΑΒ ισοσκελές.
….και συνεχίζουμε…
ευχαριστώ Γιάννη
Κωνσταντίνε, γίνε πιο σαφής
Κατερίνα, ισοσκελές όχι ισόπλευρο
Διονύση, μια εικόνα εκεί ψηλά, please…
Γεια σου Βαγγέλη
Είπα…και συνεχίζουμε…
Είπα μια πρώτη σκέψη, μετά θέλει χαρτί και μολύβι 🙂
μεταφέρω και εδώ το σχόλιο που έκανα στον δικό μου χώρο
“1967.
Καλοκαίρι, δύο μήνες, όλο κι όλο Φροντιστήριο στην Αθήνα, για Ακαδημαϊκό Απολυτήριο, εγώ ο επαρχιώτης από τα Βάτικα Λακωνίας, ναι, μάλιστα 19,5 Απολυτήριο στη Γ Λυκείου, αλλά από Κλασσικό Σχολείο, ρε, φίλε, πάρα πολύ καλό Σχολείο, ναι, δύσκολο, απαιτητικό, αυστηρότατο, αλλά Κλασσικό, πώς θα γίνεις Φυσικός, ρε, φίλε;
Αθήνα, οδός Μπενάκη, Φροντιστήριο “Φιλίππου-Γούναρη” (Παύλος Φιλίππου, εξαιρετικός Μαθηματικός, Νίκος Γούναρης εξαιρετικός Φυσικός, μουσειακά βιβλία),
Λέει, λίγο πριν το τέλος, που θα φεύγαμε για Πάτρα για τις εξετάσεις, όλοι οι Πελοποννήσιοι εκεί δίναμε εξετάσεις, έχουμε δίωρο κολλητό Γεωμετρίας, ο Σπύρος ο Δεληβοριάς εξαιρετικός και αγαπημένος Γεωμέτρης, που δυστυχώς, “έφυγε” πολύ νωρίς: “10 χρόνια βάζω αυτήν την άσκηση, αλλά δεν, κανένας, τίποτα…,
αν, πάντως, κάποιος τη λύσει μέχρι το τέλος του δίωρου θα του πληρώσω εγώ τα μισά δίδακτρα”, τα δίδακτρα ήταν 1500 δραχμές
ε, ναι, πλήρωσα 750 δραχμές μόνο!
Δεν το ξέχασα ποτέ, Δάσκαλε Σπύρο, διότι ήμουν πάμφτωχος …
Την άλλη μέρα θα πήγαινα Πάτρα, με φίλησε, ο Σπύρος ο Δεληβοριάς, ο Δάσκαλος, ο Γεωμέτρης, και θυμάμαι τί μου είπε: “καλή σου επιτυχία, Βαγγέλη, και καλή μου επιτυχία ταυτόχρονα”
Μερικά χρόνια μετά, προσπάθησα να γίνω Δάσκαλος σαν κι αυτόν,
Οι μαθητές μου θα κρίνουν, αν, μακάρι τα κατάφερα…
(για την ιστορία, έδωσα τότε την πρώτη απάντηση) “
Κατασκευαζω ισοπλευρο τριγωνο ΓΔΖ οπου το Ζ ειναι εκτος του τετραγωνου.Αποδεικνυεται πολυ ευκολα οτι ΑΟΖΓ ρομβος αρα ΑΒΟ ισοπλευρο. (Ο.Ε.Δ)
Το να συμπληρωσει κανεις τα κενα ειναι μια ευκολη ασκηση πρωτης λυκειου.
Αλλη λυση:
Η προταση ειναι προφανης αν δεν περιοριστουμε στην ευκλειδια γεωμετρια αφου οι προτασεις:
“Αν οι προσκειμενες στην βαση γωνιες του ΓΟΔ ειναι 15 μοιρες η καθε μια τοτε το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο”
και
“Αν το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο τοτε το ΟΓΔ ειναι ισοσκελες με τις προσκειμενες στην βαση του γωνιες 15 μοιρες η καθε μια” ,
ειναι ισοδυναμες προτασεις η μια εκ των οποιων ειναι προφανης!
Η ισοδυναμια των δυο προτασεων αποδεικνυεται ευκολα με αναλυτικες μεθοδους θα ελεγα ομως οτι ειναι προφανης.
Βαγγέλη, πολύ συγκινητικό…μπράβο!!
Μετά από αυτό όμως, αν δεν έχει χρηματικό έπαθλο, δεν συνεχίζω…..
Βαγγέλη, έτοιμη και η εικόνα.
Και μια αφιέρωση:
μόνο φιλιά διαθέτει το κατάστημα, Κατερίνα,
από λεφτά nothing,
κάτι ο κορωνοϊός, ο ανταγωνισμός,
η μείωση μισθών, τα λόγια του παπά…
Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε η πρώτη απόδειξη του Βαγγέλη είναι αυτή που περιγράφεις.
Κατασκεύασε το ισόπλευρο κει έδειξε ότι η γωνία είναι 15 μοίρες.
Έβαλε και άλλες αποδείξεις.
Υ.Γ.
Δεν είμαι σίγουρος αν λύση με αναλυτικές μεθόδους θα μηδενιζόταν όταν εμείς εξεταζόμασταν στην Γεωμετρία. Ίσως όχι αλλά δεν είμαι σίγουρος.
ευχαριστώ Διονύση
και για την εικόνα και για την αφιέρωση
(εννοείται η λέξη είναι “κλεμμένη” από εκείνην την ταινία,
γιος ο Νίκος Ξανθόπουλος, μάνα η Ελένη Ζαφειρίου)
Μια αρκετά σύντομη λύση:
Δεν θέλω να κλέβω με εφαπτόμενες και ημίτονα.
Μια διόρθωση στην 3η σειρά:
Τα τρίγωνα ΑΓΟ και ΒΔΟ είναι ισοσκελή.