by 
Το ελατήριο έχει σταθερά k=200 N/m. Η μάζα του εμβόλου είναι 1 kg.
Η διατομή του σωλήνα είναι 10 cm2 και το μήκος του νερού στον σωλήνα είναι 1 m. Δηλαδή 1 kg νερό.
Εκτρέπουμε κατά 20 cm προς τα δεξιά το έμβολο και το αφήνουμε.
Θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση; Θα είναι αμείωτη ταλάντωση;
Η δεξαμενή ας είναι πολύ μεγάλη.
Το ιξώδες ας αμεληθεί.
Προτιμότερο είναι να δούμε το θέμα ποιοτικά.
Δεν είναι και τόσο απαραίτητη η ακριβής λύση που φυσικά απαιτεί γενικευμένο νόμο Bernoulli.
Ας δούμε σαν φιλμάκι την εξέλιξη, έστω χωρίς υπολογισμούς.
Γιάννη, εγώ βλέπω φθίνουσα ταλάντωση, με την πρώτη ματιά.
Το έργο ανά μονάδα όγκου που υπολογίζεται από το ∫ραdx δεν μετράει την απώλεια μηχανικής ενέργειας;
Γεια σου Διονύση.
Το ίδιο αισθάνομαι και εγώ.
Φθίνουσα διότι η δυναμική του ελατηρίου μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του νερού της δεξαμενής. Στον ταλαντωτή επιστρέφεται η κινητική ενέργεια του εμβόλου. Όμως το νερό ανακατεύεται. Αυτή η κινητική ενέργεια δεν επιστρέφει.
Ούτε αρμονική βλέπω, χωρίς να πιάσω μολύβι. Η μάζα που ταλαντώνεται δεν είναι σταθερή.
Καλησπέρα Γιάννη. Του..Αγίου Βαλεντίνου σήμερα, διάλεξες και έβαλες μια άσκηση-ερώτηση, ερωτεύσιμη!!!
Θεωρώ ότι η ταλάντωση είναι καραμπινάτη φθίνουσα, και μάλιστα με πολύ μεγάλο συντελεστή απόσβεσης. Κατά πάσα πιθανότητα, μάλλον α-περιοδική!
Με δεδομένο ότι η δεξαμενή που ακολουθεί είναι μεγάλη, το νερό που θα εισέλθει σε αυτή,ΔΕΝ θα αυξήσει εξαιρετικά τη στάθμη του νερού, και επειδή δεν υπάρχει ουσιαστική υψομετρική διαφορά μεταξύ του εμβόλου και της ελεύθερης επιφάνειας του νερού, το έμβολο θα ισορροπήσει κοντά στο φυσικό μήκος του ελατηρίου, χάνοντας την αρχική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, σε κινητική ενέργεια διάχυσης του νερού του σωλήνα στη μεγάλη μάζα του νερού της δεξαμενής.
Αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του νερού, λόγω θερμικής κίνησης θα έλεγα…
Νομίζω ότι το σύστημα κάνει το πολύ τα 3/4 της ταλάντωσης, και μετά τίποτα, κι ας μην έχουμε τριβές του εμβόλου με τα τοιχώματα, ούτε ιξώδες!
Δρόμος χωρίς.. επιστροφή θα έλεγα!!
Μάλλον ναι Πρόδρομε.
Καλησπέρα. Αν το νερό είναι ιδανικό (μηδενικός συντελεστής ιξώδους) και ασυμπίεστο, ποιος ο μηχανισμός που θα καταστήσει την ταλάντωση φθίνουσα;
Το μόνον που απομένει είναι η ροή μέσα στο δοχείο να γίνει έντονα στροβιλώδης, οπότε η οργανωμένη κινητική ενέργεια του νερού στον οριζόντιο σωλήνα να μεταραπεί σε κινητική ενέργεια των εμφανιζομένων δινών και να διαχυθεί στην δεξαμενή. Και τότε η φθίνουσα ταλάντωση δεν θα είναι κατ’ ανάγκην αρμονική.
Κατά την γνώμη μου αυτήν η κίνηση δεν περιγράφεται από αυτό που αποκαλούμε γενικευμένη εξίσωση Bernoulli.
Δεν μπορώ να δω πώς είναι δυνατόν να λυθεί αναλυτικά ένα τέτοιο πρόβλημα με αυτές τις παραδοχές.
Εκτός βέβαια και αν κάποιος δουλέψει “ανάποδα”: Υποθέσει αρχικά ένα συγκεκριμένο προφίλ για την ταχύτητα στον οριζόντιο σωλήνα και από εκεί υπολογίσει το πεδίο της πίεσης σε αυτόν. Αυτο μπορεί να γίνει σχετικά απλά, αλλά θα είναι υπόθεση, όχι απ’ ευθείας περιγραφή του φαινομένου.
Καλησπέρα Στάθη.
Στην παραπάνω τοποθέτησή μου, θεώρησα ότι η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του ελατηρίου, οφείλεται στη διάχυση των μορίων του σωλήνα στη μάζα του νερού στο δοχείο.
Κατά κάποιον τρόπο γίνεται” μοίρασμα” της κινητικής ενέργειας του νερού στο σωλήνα, σε ”θερμική” κίνηση των μορίων όλης της μάζας του νερού στο δοχείο, μια μη αντιστρεπτή μεταβολή, άρα και μη επιστροφή αυτής της ενέργειας στο σύστημα .
Δεν είπα για δίνες, αλλά για άλλο φαινόμενο απώλειας μηχανικής ενέργειας.
Πρόδρομε σύμφωνοι, αλλά αυτήν η διάχυση γίνεται με κάποιον μηχανισμό. Σε αυτό αναφέρομαι και το ερώτημα είναι, ποιος ο μηχανισμός σε μία ιδανική, ασυμπίεστη ροή, η οποία στο οριζόντιο σκέλος είναι και ομοιόμορφη;
Κατάλαβα το πνεύμα σου Στάθη, νομίζω! Αν επικεντρωθούμε στο σύστημα έμβολο-ελατήριο-ρευστό στον σωλήνα, ψάχνεις να βρεις με ποιο μηχανισμό μπορεί να χάσει την αρχική μηχανική του ενέργεια.
Έχω την εντύπωση ότι κατά την εκτόνωση , μπορεί να αποδοθεί μεγάλο μέρος της αρχικής δυναμικής ενέργειας, σε οργανωμένη κινητική του ρευστού στο σωλήνα, για όση ώρα είναι εντός του, και την απόδοσή της σε όλα τα μόρια του υγρού στο δοχείο, όταν εισέλθει.
Επειδή το δοχείο είναι μεγάλης χωρητικότητας , και το ύψος του υγρού είναι στο ίδιο ύψος σχεδόν με το έμβολο, δεν μπορεί να επιστραφεί πάλι στο ελατήριο. Αν ο σωλήνας κάμπτονταν το υγρό θα αύξανε τη δυναμική του ενέργεια , που θα μπορούσε να επιστραφεί στο σύστημα. Αυτό όμως θα ήταν μια άλλη άσκηση , εφικτή να συντηρεί την ταλάντωση χωρίς απώλειες.
Στάθη με τις διατομές του “προβλήματος” το νερό είναι εξαιρετικά ιδανικό υγρό.
Το ιξώδες ουδένα ρόλο θα παίξει.
Το νερό ανακατεύεται από τα πηγαινέλα του εμβόλου. Το ιξώδες απλώς θα μετατρέψει την ενέργεια σε θερμική. Ας υποθέσουμε ότι δεν γίνεται η μετατροπή αυτή.
Η ανοργάνωτη κινητική ενέργεια του νερού δεν επιστρέφει πίσω στον ταλαντωτή, όπως επιστρέφει η κινητική ενέργεια μιας μάζας στερεωμένης σε ελατήριο.
Απλά διότι όταν ο απλός αρμονικός ταλαντωτής φτάνει στη θέση ισορροπίας, η αδράνεια της μάζας αναγκάζει να συνεχιστεί η ταλάντωση.
Το νερό που ανακατεύεται έχει κινητική ενέργεια. Αυτή όμως δεν μπορεί να εκτρέψει τον ταλαντωτή από τη θέση ισορροπίας λόγω αδρανείας.
Το ιδανικό υγρό δεν είναι κάτι εξωπραγματικό. Περιγράφει με καλή προσέγγιση το νερό όταν οι διατομές είναι μεγάλες και οι ταχύτητες σχετικά μικρές. Σε αντίθετη περίπτωση το μοντέλο του ιδανικού υγρού θα είχε εγκαταλειφθεί. Ποιος χρειάζεται ένα μοντέλο που προβλέπει ταλάντωση σε περιπτώσεις σαν αυτήν;
Γιάννη όλα αυτά δεν περιγράφονται από καμία εξίσωση Bernoulli, γενικευμένη ή μη. Επιπλέον το ιξώδες δεν περιορίζεται μόνον στο να μετατρέπει την κινητική ενέργεια σε θερμότητα, αλλά και στο να δημιουργεί στροβιλώδη ροή μέσα στο δοχείο (από την αστρόβιλη ροή στον σωλήνα).
Αλλά όταν δεχόμαστε ένα μοντέλο, περιοριζόμαστε από αυτό, άρα θα πρέπει η πορεία από την οργάνωση μέσα στο σωλήνα προς το τυχαίο μέσα στο δοχείο να εξηγηθεί μέσα από το ιδανικό ρευστό. Θυμίζω δε ότι πολλές φορές η ροή ως φλέβα συνεχίζει να είναι οργανωμένη και μέσα στο δοχείο (θυμαμαι μία δική σου φωτογραφία με χρωματισμένο νερό). Δεν μου είναι εύκολο, άλλες φορές να επικαλούμαστε το ένα και άλλες το άλλο, για το ίδιο μοντέλο υγρού (προφανώς θα παίζει ρόλο και η γεωμετρία των τοιχωμάτων).
Το μόνο που μπορούμε να κάνουμε σε αυτήν την περίπτωση είναι να περιγράψουμε αυτό που βλέπουμε, και να το “εξηγήσουμε” ποιοτικά όπως έγραψες στο πρώτο σου σχόλιο.
Στάθη αν προχωρούσε το έμβολο 20 πόντους θα έμπαιναν μέσα στη δεξαμενή 200 γραμμάρια νερό. Δεν θα έμπαιναν όλα με την ίδια ταχύτητα. Ας υποθέσουμε ότι αποκτούν κινητική ενέργεια 1 J.
Αυτό το 1J από που προέρχεται;
Δεν προέρχεται από την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου;
Το ελατήριο δεν έχασε 1J;
Με ποιο τρόπο θα πάρει πίσω αυτό το 1J ώστε να εκτελέσει αμείωτη ταλάντωση;
Θα κινηθεί νερό να βομβαρδίσει το έμβολο ώστε να ξαναπάρει το ελατήριο την ενέργεια που έχασε;
Δεν χρησιμοποιώ κάποιο μοντέλο ή κάποια γεωμετρία τοιχωμάτων σε όσα είπα παραπάνω. Όσα είπα ισχύουν και απουσία τριβών. Και απουσία στροβίλων.
Δεν θα δεχθούμε ότι το εισερχόμενο στην μεγάλη δεξαμενή νερό (γιατί όχι πισίνα;) θα γυρίσει πίσω να σπρώξει το έμβολο, αν το νερό είναι ιδανικό υγρό.
Για να δείξω τη σκέψη μου μια προσομοίωση.
Μόλις εκτοξεύει τα μπαλάκια έχει χάσει ενέργεια.
Επειδή θα ρουφάει μπαλάκια (νερό) θα χάσει ενέργεια και την επόμενη φορά.
Εκτός του ότι θα χάσει ενέργεια και ρουφώντας μπαλάκια.
Το υγρό (ιδανικό ή όχι) δεν παύει να είναι σύστημα σωμάτων.