by 
40. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές (Σ), ή λανθασμένες (Λ).
– Τη χρονική στιγμή που ξεκινά ένα ποδήλατο η ταχύτητά του είναι μηδέν.
– Τη χρονική στιγμή που ξεκινά ένα ποδήλατο η επιτάχυνσή του είναι μηδέν.
– Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν την ίδια διεύθυνση στην ευθύγραμμη κίνηση.
– Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε την ίδια φορά στην ευθύγραμμη κίνηση.
Η ασκηση σωστου λαθους ειναι απο το βιβλιο της Α Λυκειου. Τι απαντατε συναδελφοι στην δευτερη προταση? Να μην εχετε περιορισμο στα μαθηματικα που θα χρησιμοποιησετε για την δικαιολογηση και ας ειναι απο το βιβλιο της Α. Σαν να απευθυνεστε σε φοιτητη του Φυσικου. Εμας μας ενδιαφερει αν η προταση ειναι Σωστή η Λάθος.
Καλημέρα κι από μένα Κωνσταντίνε,
Οι συζητήσεις δεν γίνονται μόνο στις βόλτες, γίνονται και με συνοδεία καφέ ή/και οίνου 🙂
Μού ‘βαλες πολλά ερωτήματα, θα προσπαθήσω να τα πάρω με τη σειρά.
Συμφωνώ κατ’ αρχήν προφανώς με τη μαθηματική μελέτη του μοντέλου.
Η 2η παράγωγος της x(t) παρρουσιάζει ασυνέχεια στη θέση t=to.
Γι’ αυτό δεν ευθύνεται η φύση όμως, αλλά το απλοποιημένο μοντέλο που χρησιμοποιούμε για την περιγραφή του φαινομένου.
Θεωρούμε ότι κάποια δύναμη ασκείται ακαριαία, ενώ αυτό δεν μπορεί να συμβεί. Ακόμα και σε μια σφοδρή κρούση απαιτείται κάποιος χρόνος Δt για να αυξηθεί η κρουστική δύναμη από 0 σε max και πίσω σε 0.
Ακόμα και στο κόψιμο ενός νήματος όπως έχραψες χρειάζεται κάποιος χρόνος Δt για τη μετάβαση από Τν σε 0.
Θεωρώντας αυτό το χρόνο Δt αμελητέο και ίσο με μηδέν για την απλότητα του μοντέλου, εισάγουμε εμείς τις ασυνέχειες.
Στις κρούσεις, επειδή οι ασυνέχειες παρουσιάζονται στις ταχύτητες, το αντιμετωπίσαμε μιλώντας για το “πριν” και το “μετά” της κρούσης (και ξεχνάμε τις … άπειρες επιταχύνσεις 🙂 )
Στο θέμα μας, έχουμε ένα σώμα που κάποια στιγμή t1 ήταν ακίνητο (υ=0) και αρχίζει να επιδρά πάνω του μια δύναμη. Το σπρώχνει κάποιος; Παίρνει εμπρος κάποιο μοτέρ; Πάντως, μια ρεαλιστική απεικόνιση των α,υ,x – t θα ήταν σε μεγένθυση κάπως έτσι (οι συνεχείς γραμμές):
Αν δηλαδή θεωρήσουμε ότι η κίνηση “άρχισε” τη στιγμή t1 όπου είναι υ=0 και α=0, τότε και λίγο μετά την t1 μέχρι κάποια επόμενη στιγμή t2 θα είναι ακόμα πρακτικά υ≈0.
Μα τότε, η διακεκομένη πράσινη, που δεχόμαστε ότι ισχύει θεωρώντας ότι Δt=t2-t1≈0, δεν είναι σωστή.
Εμείς δηλαδή εισάγουμε την ασυνέχεια θεωρώντας τη σωστή.
Ποιά στιγμή άρχισε επομένως η κίνηση; Την t1; Την t2; Κάπου ανάμεσα;
Αφού από t1 έως t2 η υ ήταν πρακτικά μηδενική.
Γι’ αυτό πιστεύω ότι πρέπει να υπάρχει ένα “πριν” και ένα “μετά”.
Πριν τη στιγμή t1 το είναι ακίνητο, ενώ μετά τη στιγμή t2 κινείται.
Αφού θεωρούμε ότι η t1 και η t2 συμπίπτουν σε to, άρα η έκφραση:
“ξεκίνησε την to” υπονοεί το “μετά”, την t2
ενώ η έκφραση “ξεκίνησε μετά την to” υπονοεί ότι η to ήταν το “πριν”, η t1.
(Ελπίζω να μην το παράκανα! 🙂 )
Τώρα σχετικά με με την ακραία θέση της ταλάντωσης,
Νομίζω ότι κι εδώ παρόμοιο είναι το πρόβλημα, αλλάζει απότομα η κλίση της υ(t). Η δύναμη επαναφοράς -kx ασκείται ήδη. Πόσο “ακαριαία” είναι όμως η συγκόλληση;
Τα σώματα πρέπει να υποστούν πρόσθετη παραμόρφωση για να σπρώξει ή να τραβήξει το ένα το άλλο.
Επομένως υπάρχει κι εδώ “πριν” και “μετά”
Αν το κινούμενο σώμα φτάνει την to, τότε αμέσως μετά την to κινούνται ως ένα σώμα. Δηλαδή για t=to είναι α=-kA/m1.
Αν πάλι τη στιγμή to αρχίζει το συσσωμάτωμα να κινείται, τότε η άφιξη συνέβη ακριβώς πριν την to. Οπότε για t=to είναι α=-kA/(m1+m2).
Οπότε Διονύση στο νήμα που κόβεται θα πούμε ότι επιμηκύνεται πριν κοπεί (ως ελατήριο) και αίρεται η ασυνέχεια στην επιτάχυνση;
Δεν διαφωνω Διονύση. Το κοκκινο το πρασινο και το μπλε διαγραμμα ειναι ρεαλιστικα του πραγματικου κοσμου.Εμεις εισαγουμε τις ασυνεχειες και μετατρεπουμε την πραγματικοτητα σε μοντελο που εχει μονο πριν και μετα.Στον πραγματικο κοσμο ομως οπως φαινεται και στα τρια διαγραμματα σου την χρονικη στιγμη t1που ειναι η στιγμη εναρξης της κινησης παντα η επιταχυνση ειναι μηδεν. Αυτο ηταν και το βασικο point της αρχικης ερωτησης.
Καλημέρα Γιάννη,
“Η επιτάχυνση της Ώντρεϋ ακριβώς πριν ξεκινήσει είναι μηδέν.
Τη στιγμή που ξεκινά είναι διάφορη του μηδέν” 🙂
Δες αυτό:
… Ποιά στιγμή άρχισε επομένως η κίνηση; Την t1; Την t2; Κάπου ανάμεσα;
Αφού από t1 έως t2 η υ ήταν πρακτικά μηδενική.
Γι’ αυτό πιστεύω ότι πρέπει να υπάρχει ένα “πριν” και ένα “μετά”.
Πριν τη στιγμή t1 το είναι ακίνητο, ενώ μετά τη στιγμή t2 κινείται.
Αφού θεωρούμε ότι η t1 και η t2 συμπίπτουν σε to, άρα η έκφραση:
“ξεκίνησε την to” υπονοεί το “μετά”, την t2
ενώ η έκφραση “ξεκίνησε μετά την to” υπονοεί ότι η to ήταν το “πριν”, η t1.
Γιατί να επιμηκύνεται, αφού είναι μή εκτατό; Δt μικρό όχι Δx.
Καταλαβαίνω Κωνσταντίνε, αλλά με α=0, περιμένει κανείς μηδενική κλίση για την υ τη στιγμή to=0, ενώ η κλίση της τη στιγμή συτή είναι απροσδιόριστη.
Αν με ζορίσεις να απαντήσω μαθηματικά θα απαντούσα ότι δεν γνωρίζουμε πόση είναι η α την to.
Αν δεχτώ α=0 για tο=0 τότε περιμένω στη υ(t) να υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη στο to, οπότε και τη στιγμή to+dt θα είναι ακόμα υ=0.
Γι αυτό επιμένω στις διατυπώσεις:
1) “Το σώμα ξεκινά τη στιγμή to”
Τη στιγμή to είναι υ=0 και α≠0.
ή
2) “Το σώμα ξεκινά μετά τη στιγμή to”
Τη στιγμή to ήταν υ=0 και α=0.
Χρησιμοποιώ την λογική που επικαλείσαι (σωστή μάλλον).
Αν το νήμα κοβόταν ακαριαία (μοντέλο) , θα είχαμε την ασυνέχεια που επικαλείσαι. Όταν κοπεί ένα μέρος του νήματος, πριν κοπεί το άλλο, μένει ένα λεπτότερο τμήμα το οποίο (δεχόμενο ίδια δύναμη με το ολόκληρο) επιμηκύνεται. Έτσι η κίνηση αρχίζει πριν η τελική δύναμη στο κρεμασμένο σώμα εξισωθεί με το βάρος.
Διαφορετικά, αν κοπεί την ίδια στιγμή όλο το νήμα, η επιτάχυνση θα γίνει ακαριαία g.
Πιο συγκεκριμένα:
Διαφορετικά ασυνέχεια.
Θα διαφωνήσω με τις διατυπώσεις:
1) “Το σώμα ξεκινά τη στιγμή to”
Τη στιγμή to είναι υ=0 και α≠0.
ή
2) “Το σώμα ξεκινά μετά τη στιγμή to”
Τη στιγμή to ήταν υ=0 και α=0.
Καταλαβαίνω την λογική “Με μηδέν επιτάχυνση δεν μεταβάλλεται η ταχύτητα, άρα δεν έχει κινηθεί”. Όμως θεωρώ ότι η έκφραση “Ξεκινάει την στιγμή to” σημαίνει:
-Για κάθε t>to, οσοδήποτε κοντά στην to, η θέση του κινητού διαφέρει της θέσης που είχε την στιγμή to.
Όντως αν την στιγμή to υ=0 και α=0, αλλά α=κ.(t-to) ισχύει το παραπάνω.
Δηλαδή όποια στιγμή και να πάρεις (μετά την to) θα βρεις κάποια μετατόπιση. Απειροελάχιστη αλλά όχι μηδενική.
Δες και τα σχήματα από προσομοίωση που παρέθεσα πριν.
Έτσι έχει λογική να μιλάμε για ξεκίνημα την στιγμή to ακόμα και αν τη στιγμή to ήταν υ=0 και α=0.
Γιάννη με αυτο συμφωνω απολυτως.“Ξεκινάει την στιγμή to” σημαίνει: -Για κάθε t>to, οσοδήποτε κοντά στην to, η θέση του κινητού διαφέρει της θέσης που είχε την στιγμή to.Μου φαινεται προφανες.
Κατάλαβα που το πας Γιάννη,
Θέλεις να δικαιολογήσεις τη μη ακαριαία μείωση της τάσης στο μηδέν. Δεκτό.
Το θέμα μας είναι όπως επισημαίνει κι ο Κωνσταντίνος, αν τη στιγμή tο που το σώμα αρχίζει να κινείται, είναι υ=0 και α=0 ή είναι υ=0, α≠0.
Απάντησα πιο πάνω στον Κωνσταντίνο αλλά φοβάμαι ότι δεν το διατύπωσα με σαφήνεια.
Ας κάνω κι εδώ μια προσπάθεια να το διατυπώσω πιο σύντομα:
Αν θεωρήσουμε ότι τη στιγμή to το σώμα έχει υ=0 και α=0,
τότε και τη στιγμή to+dt θα έχει ακόμα υ=0.
Επομένως, η στιγμή to δεν μπορεί να θεωρηθεί ως “η στιγμή που άρχισε να κινείται”, αφού αμέσως μετά είναι ακόμα ακίνητο.
Θα πρέπει τη στιγμή to+dt να έχει υ≠0 άρα την to είχε επιτάχυνση α≠0.
Παιδιά γράφουμε πάνω – κάτω και έχω μπερδέψει τις απαντήσεις.
Γιάννη διαφωνώ, διότι με α=0, η ταχύτητά του σε dt θα είναι
υ = 0+dυ = 0+αdt = 0 και dx = υdt = 0 .
Επομένως τη στιγμή to+dt θα είναι ακόμα ακίνητο στην ίδια θέση.
Δεν σε καταλαβαινω Διονυση. Παρε x(t) =0 για t μικροτερο η ισο του to και x(t)=c(t-to)^3 για t μεγαλυτερο του to.Tοτε ισχυουν τα εξης:
1) Ξεκιναει την στιγμη to.
2) Οι υ(t) και α(t) ειναι συνεχεις συναρτησεις (γραψε τες)
3) υ(to)=0 και α(to)=0.
Συμφωνώ στις εξισώσεις Κωνσταντίνε,
Το σώμα ξεκίναει όμως τη στιγμή to ή αμέσως μετά τη στιγμή to;
Τη στιγμή to δεν είναι ακόμα ακίνητο;
(και το θεωρώ ακίνητο, διότι τη στιγμή αυτή η υ(t) είναι ακόμα οριζόντια)
Nαι ειναι ακινητο και την στιγμη to+ε με ε οσοδηποτε μικρο,δεν ειναι πια ακινητο. Αυτο θα πει ξεκιναει την στιγμη to
Διονύση πάιζω με το α-t το δικό σου:
Το μπλε γραμμοσκιασμένο εμβαδόν είναι ίσο με την μεταβολή της ταχύτητας, δηλαδή με την ταχύτητα που έχει την στιγμή t+dt.
Η ταχύτητα αυτή είναι απειροστή αλλά όχι μηδενική.
Έτσι το διαγραμμα υ-t είναι:
Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν στο υ-t είναι ίσο με την στοιχειώδη μετατόπιση dx. Αυτή είναι απρειροστή αλλά όχι μηδενική.
Δηλαδή για κάθε στιγμή, οσοδήποτε κοντά στην to , υπάρχει μετατόπιση από την αρχική θέση xo.
Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση ξεκινάει την στιγμή to.
Είναι μια οριακή κατάσταση.
Καταλαβαίνεις ότι δεν μπορώ να το δείξω με το i.p.
Όμως ακριβείς γραφικές παραστάσεις με το γκραφ θα έδειχναν ότι σε κάθε στιγμή, οσοδήποτε κοντά στην to, υπάρχει μετατόπιση.