by 
Ένα σώμα Σ μάζας m (αμελητέων διαστάσεων) τοποθετείται στην εσωτερική λεία επιφάνεια, ενός κενού κυλίνδρου, μάζας Μ=2m και ακτίνας R=1m, όπως στο σχήμα, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας, ενώ ο κύλινδρος συγκρατείται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερα το σώμα Σ και τον κύλινδρο να κινηθούν. Δίνεται ότι ο κύλινδρος κυλίεται, ενώ τη στιγμή που το σώμα Σ φτάνει στην κατώτερη θέση της τροχιάς του, έχει ταχύτητα μέτρου υ1, ενώ ο άξονας του κυλίνδρου έχει ταχύτητα μέτρου υcm=υ2.
- Το οριζόντιο επίπεδο είναι ή όχι λείο;
- Για τα μέτρα των δύο ταχυτήτων ισχύει:
α) υ1=υ2, β) υ1=2υ2, γ) υ1=3υ2, δ) υ1= 4υ2.
3) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητα υ1 του σώματος Σ, στην κατώτερη θέση της τροχιάς του.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ η μάζα του κυλίνδρου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του.
ή
Δυο παραλλαγές. Η 2η … δύσκολη.
Δυο παραλλαγές. Η 2η … δύσκολη.
Καλησπέρα σε όλους. Η συνέχεια της … εύκολης εκδοχής.
Η αλήθεια είναι ότι αυτήν ξεκίνησα, σαν μια προσαρμογή θέματος Ολυμπιάδας στο Καζακστάν, πριν 7 χρόνια.
Για να λειάνω τον δρόμο, έγραψα την προηγούμενη με λείο επίπεδο…
Διονύση καλησπέρα.
Εξαιρετικό το πέρασμα από την προηγούμενη εύκολη εκδοχή που έστρωσε το δρόμο με ροδοπέταλα και όχι από αποκαΐδια…
εξαιρετική ιδέα και πανέμορφη λύση
Καλησπέρα Χρήστο και Μανόλη.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα κ. Διονύση,
Πολύ ωραία άσκηση!
Ας πάω το θέμα ένα κλικ παρακάτω. Δεν περιέχει φυσική λυκείου οπότε δεν χρειάζεται να διαβαστεί από λυκειακά ενδιαφερόμενους.
Στην άσκηση εξετάζετε την συμπεριφορά του συστήματος όταν το σώμα m φτάνει στην κατώτατη θέση, ήτοι όταν έχει μηδενική κατακόρυφη ταχύτητα.
Τι γίνεται όμως σε μια τυχαία θέση στροφής κατά θ? Το σώμα έχει και κατακόρυφη ταχύτητα, συνεπώς τα πράγματα αλλάζουν.
Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε τα πάντα για το σύστημα (διαφορικές συστήματος), πρέπει να βρούμε ουσιαστικά την παράγωγο της γωνίας θ που σχηματίζει το σώμα m με τον ορίζοντα. Αν την βρούμε, (δηλαδή την σχετική γωνιακή ταχύτητα του m γύρω από το Ο), όπως θα φανεί από τις εξισώσεις που παραθέτω τότε μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα του m, την ταχύτητα του M, τις δυνάμεις, τα έργα κτλ.
Παρακάτω δίνω τον τρόπο μου για τον υπολογισμό των εξισώσεων κίνησης του συστήματος. Χρησιμοποιώ αναλυτική μηχανική και ορισμένα βήματα χρειάζονται αρκετή εμπειρία (κυρίως στην λύση της διαφορικής εκεί που πολλαπλασιάζω με θ’) και δεν είναι εύκολο να βρεθούν με σκέψη. Θεωρώ για ευκολία ότι M=m, όπου M=m1 και m=m2.
Επαναλαμβάνω ότι ξεφεύγει από τους σκοπούς της άσκησης, οπότε δεν χρειάζεται να διαβαστεί από όλους.
Καλημέρα Σπύρο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, αλλά και τον εμπλουτισμό της άσκησης με την μελέτη για τυχαία γωνία.
Μόνο άλλαξε την εικόνα, είναι πολύ μικρή και δεν διαβάζεται (μεγαλώνοντάς την χάνεται η ευκρίνεια…), δίνοντας μεγαλύτερη διάσταση.
Καλύτερα δίνοντας κάθε σελίδα χωριστά.
Παρακάτω δίνω τις δύο σελίδες απόδειξης, σαν εικόνες:
.
.
Ευχαριστώ Σπύρο.
Διονύση, θα άλλαζα τον τίτλο
“Δυο παραλλαγές. Η 2η …..εύκολη, για όποιον εμβάθυνε στην 1η”
Σε ευχαριστούμε για την καλοκαιρινή εκγύμναση
Καλημέρα Θοδωρή.
Θα επιμείνω ότι η παρούσα είναι δύσκολη…
Τι θα κάνει κάποιος “γυμνασμένος”, βλέποντας την άσκηση;
Δοκιμάζω ΑΔΟ… Ωχ δεν είναι μονωμένο σύστημα.
Μήπως ισχύει η ΑΔΟ στον ένα άξονα; Όχι.
Μμμ, μήπως να δοκιμάσω ΑΔΣ; Δεν βγαίνει…
Τότε;
Τότε καταφεύγει στην δυναμική. Αλλά “βλέπει” το υλικό σημείο να διαγράφει κύκλο (άσχετα αν η τροχιά δεν είναι κυκλική…). Ξέρει ότι η επιτάχυνση που τον ενδιαφέρει είναι η επιτρόχια, λες ότι είναι εύκολο να σκεφτεί την οριζόντια επιτάχυνση του Σ;
Νομίζω ότι αυτό το σημείο καθιστά την άσκηση πολύ δύσκολη.
Έχεις δίκιο Διονύση. Έκανα το λάθος που κάνουν όλοι οι “ειδικοί του καναπέ”….
Δεν πήρα χαρτί και μολύβι για να λύσω, αλλά διάβασα κατ’ ευθείαν τη λύση, η οποία προχωρά τόσο στρωτά και μεθοδικά που νομίζεις πως και μόνος σου θα έφτανες αβίαστα σε αυτήν.