by 
Ο ομογενής δίσκος του σχήματος ακτίνας R=1m και μάζας m=20kg κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση της πλάγιας δύναμης F, με σταθερή επιτάχυνση αcm=1m/s2. Ποια η συνολική ροπή των ασκούμενων δυνάμεων στο δίσκο, ως προς το σημείο Α, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=1,4m από το έδαφος;
Απάντηση:
Αφού κυλίεται ο δίσκος με σταθερή επιτάχυνση αcm, δέχεται συνισταμένη δύναμη, ίδιας κατεύθυνσης (οριζόντια), μέτρου:
ΣF=m∙αcm=20∙1Ν=20Ν.
Αλλά τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων, ως προς το σημείο Α, ίσο και με την ροπή της συνισταμένης δύναμης, είναι ίσο:
ΣτΑ=|ΣF|∙d= |ΣF|∙(h-R) = 20∙0,4Ν∙m=8Ν∙m.
Τι λέτε; Συμφωνείτε συνάδελφοι, με την παραπάνω απάντηση;
Καλησπέρα Διονύση.
Φυσικά το εφάρμοσες λάθος.
Έγραψα ποιο είναι το λάθος, αλλά δεν πρόσεξες το σχόλιο.
Αυτή που σχεδίασες δεν είναι η συνισταμένη. Είναι μια δύναμη ίση με την συνισταμένη και παράλληλη σ’ αυτήν αλλά όχι η συνισταμένη.
Η δύναμη είναι ολισθαίνον διάνυσμα.
Σχήμα απόλυτης ακρίβειας:
Η συνισταμένη είναι το πιο πάνω διάνυσμα με τον τίτλο Fολ.
Καλησπέρα Γιάννη, το σημείο εφαρμογής της Fολ μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε σημείο της διεύθυνσης y=2, αυτό εννοούσε ως ολισθαίνoν διάνυσμα σε προηγούμενο σχόλιό σου;
Διονύση ανεβάζω αναλυτικά την λύση
Καλησπέρα παιδιά.
Γιώργο, δεν είπα ότι έκανες λάθος υπολογισμό! Πράγματι τόση είναι η ροπή, δεξιόστροφη μέτρου 2Nm.
Γιάννη, είδα τα πρώτα σου σχόλια, δεν τα σχολίασα, γιατί ήθελα να επιμείνω στην βασική ερώτηση για το θεώρημα των ροπών. Δεν διαφωνώ σε κάτι από αυτά που έγραψες.
Στάθη, πράγματι η wikipedia αναφέρεται σε συγγραμμικές δυνάμεις. Από την Ελληνική έκδοση:
“Η ροπή ως προς ένα δεδομένο σημείο της συνισταμένης αρκετών συν τρεχουσών δυνάμεων ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της δύναμης ως προς το ίδιο σημείο”.
Όμως βρίσκουμε και άλλες διατυπώσεις, που δεν μιλάνε για συντρέχουσες δυνάμεις, όπως την διατύπωση που έδωσα παραπάνω.
Ας θυμηθούμε για λίγο και τον Ανδρέα Κασσέτα:
Ροπή δύναμης ως προς σημείο και Ροπή
“Η συνισταμένη δύο παραλλήλων δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα μπορεί να προσδιοριστεί με το θεώρημα των ροπών. Το εφαρμόζουμε επιλέγοντες γεωμετρικό σημείο, ένα σημείο Α από το οποίο ανήκει στον φορέα της συνισταμένης, οπότε τολ = 0 .”
ΥΓ
Αφορμή για το ερώτημα, αποτέλεσε η χθεσινή παρέμβαση του Κώστα Ψυλάκου εδώ, όπου έφερε στο προσκήνιο το γενικευμένο θεώρημα των ροπών.
Αλλά γι΄ αυτό πρέπει να επανέλθω … το πρωί.
Ακριβώς Στάθη.
Πάνντως δεν είναι διάνυσμα της ευθείας y=0.
Kαλημερα.Οι αλγεβρικες τιμες των ροπων της συνισταμενης ως προς τα Α και Ο πρεπει να διαφερουν κατα 8 διοτι 20 times 0,4=8 αρα αν η ροπη ως προς το Α ηταν 8Νm τοτε ως προς το Ο αναγκαστικα θα ηταν μηδεν.Ατοπον διοτι ο δισκος επιταχυνεται γωνιακα.Αν θελουμε να βρουμε την απαντηση τοτε αφου το μετρο της ροπη ως προς το κεντρο προφανως ειναι 10Νm τοτε ως προς το Α αναγκαστικα ειναι 2Νm.
Καλημέρα σε όλους.
Διονύση ωραίο ερώτημα για ξύπνημα.
Συμφωνώντας με τους άλλους, νομίζω ότι το κλασικό (αντι)παράδειγμα για τις συντρέχουσες δυνάμεις που πρέπει να εφαρμοστεί το θεώρημα των ροπών είναι το ζεύγος δυνάμεων, που η συνισταμένη ροπή προφανώς ΔΕΝ είναι Fολ επί R.
Κατά τα άλλα οι συνάδελφοι κάλυψαν το θέμα.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Ας δούμε λίγο το θεώρημα των ροπών και το αντίστοιχο γενικευμένο θεώρημα.
Έστω ο ομογενής δίσκος του σχήματος στον οποίο ασκείται η δύναμη F. Θέλουμε την ροπή της ως προς το σημείο Α. Αυτή είναι θετική με μέτρο τΑ=F(d1+d2).
Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα.
Αν όμως θέλουμε να βάλουμε στο παιχνίδι το κέντρο μάζας Ο;
Γιατί να το κάνουμε;
Γιατί συνήθως δουλεύουμε με το κέντρο μάζας, μελετώντας την σύνθετη κίνηση του δίσκου.
Παίρνοντας τις δυνάμεις να ασκούνται στο κέντρο μάζας, έχουν συνισταμένη 2F, ενώ η ροπή του ζεύγους κατά την μεταφορά της F2 έχει ροπή τz,ο=F2∙R=F∙R. Αλλά τότε η ολική ροπή ως προς το Α θα είναι ίση:
τΑ=τΣF+τz,ο=2F∙d1+F∙R
Το τελευταίο αποτέλεσμα, εκφράζει το λεγόμενο «γενικευμένο θεώρημα των ροπών», το οποίο διατυπώνεται:
Αν σε ένα στέρεό ενεργούν πολλές δυνάμεις τότε η ολική ροπή αυτών ως προς ένα σημείο Ο είναι ίση με την ολική ροπή των δυνάμεων ως προς το C.M. του σώματος , συν την ροπή ως προς το Ο της συνιστάμενης που θα προκύψει από την αναγωγή των δυνάμεων στο C.M. του σώματος.
τολ(Ο) = τολ(c.m.) + [R x Fολ] (Ο)
Αν κάποιος θέλει μια πιο τυπική μαθηματική απόδειξη, μπορεί να δει ένα αρχείο του Παναγιώτη Μουστάκα, με κλικ εδώ.
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση όταν ήμασταν μαθητές είχαμε μάθει την συνισταμένη δύο παραλλήλων και αντιρρόπων δυνάμεων.
Έτσι η συνισταμένη των Fx και T είναι “έξω” ,προς τη μεριά της μεγάλης, έχει μέτρο Fx-T και απέχει από τις Fx και Τ αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες των δυνάμεων.
Συνεπώς απέχει 1, μέτρο από το έδαφος και 10 πόντους από το σημείο Α.
Ο υπολογισμός της ροπής είναι ιδιαίτερα εύκολος.
Είναι αρνητική και έχει μέτρο (Fx-T).0,1m=ΣF.0,1m=m.α.0,1m=2 N.m.
Καλημέρα Γιάννη.
Προφανώς θυμάμαι τι κάναμε… παιδιά.
Και προφανώς συμφωνώ με την εύρεση της συνισταμένης, όπως περιγράφεις.
Το έκανα παραπάνω στο 2ο παράδειγμα που έδωσα.
Το ζήτημα είναι ότι αυτή η συνισταμένη δεν ασκείται στο κέντρο μάζας (μπορεί να “ασκείται” ακόμη και εκτός του σώματος, οπότε ίσως να χρειάζεται και αλλαγή του όρου “συνισταμένη”…).
Έτσι αν θέλουμε να πάμε στο κέντρο μάζας, δεν πρέπει να μας διαφεύγει η επιπλέον ροπή …ζεύγους.