by 
Ζητήσαμε από τον κυρ Βασίλη τον ξυλουργό, να σκάψει σε ένα κυβικό κομμάτι ξύλου, ένα αυλάκι ημικυλινδρικού σχήματος κέντρου Ο και ακτίνας R = 0,8m, την κατακόρυφη τομή του οποίου βλέπουμε στο σχήμα 1. Δημιουργήθηκε έτσι το σώμα Σ1 μάζας m1. Στη συνέχεια το λούστραρε μέχρι να γίνει εντελώς λείο, ώστε να το χρησιμοποιήσουμε σε ένα πείραμα.
Τοποθετούμε το σώμα Σ1 κολλητά σε κατακόρυφο τοίχο και πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Από το ανώτερο σημείο του Α αφήνουμε ελεύθερο να ολισθήσει ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2 αμελητέων διαστάσεων, με m1 = 3m2. Τριβές αμελητέες και η βαρυτική επιτάχυνση g = 10m/s2.
α) Το σώμα Σ1 θα κινηθεί; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή που αποκτά το μέτρο της ταχύτητας του Σ2;
γ) Υπολογίστε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα Σ2 , μετρημένο από το κατώτερο σημείο Β του ημικυλίνδριου καθώς και τη γωνία φ, που σχηματίζει τότε η επιβατική ακτίνα με την κατακόρυφη.
δ) Καθ’ όλη τη διάρκεια του φαινομένου, τι συμβαίνει με το μέτρο της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου, πάνω στο Σ1; Μεταβάλλεται ή μένει σταθερό; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Άριστη!
Σε ευχαριστώ Γιάννη. Ο κυρ Βασίλης είναι υπαρκτό πρόσωπο και μου έχει επισκευάσει ρολά και κάσωμα…
Γεια σου Αντρέα.
Όμορφη κατασκευή, θέλει ψυχραιμία καλή γνώση δυνάμεων εσωτερικών-εξωτερικών και συνθήκες διατήρησης ορμής, από τον μαθητή/τρια.
Όποιος σκεφτεί πρακτικά μπορεί, νομίζω, να σχεδιάσει την στρατηγική της λύσης.
Καλή εβδομάδα.
Συμφωνώ με τον Γιάννη, ΑΡΙΣΤΗ!!
Σημειωτέον ότι το σώμα Σ1 δεν πρόκειται να φτάσει ξανά στον τοίχο. Γιατί; Μία δύσκολη ερώτηση για συζήτηση στην τάξη, που μπορεί να αναδείξει πολλά πράγματα.
Υ.Γ. στο τέλος γράφεις ότι η αντίδραση του εδάφους παίρνει την τιμή του βάρους του ημικυλινδρίου, ωραία λέξη.
Νομίζω ότι όταν σταματάει στιγμιαία είναι ίση με το άθροισμα των δύο βαρών. Δεν το έκανα στο χαρτί, αλλά εκείνη τη στιγμή που σταματά στιγμιαία στο μέγιστο ύψος, έχουν κοινή ταχύτητα, υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ τους, άρα υπάρχει και κατακόρυφη συνιστώσα της Ν2 που ασκεί το μικρό αντικείμενο στο ημικυλίνδριο.
Καλό βράδυ.
Ανδρέα καλησπέρα.
Πολύ καλή.
Καλημέρα Ανδρέα.
Ένα σύστημα που αλληλεπιδρά, όπως είναι το ημικυλινδρικό σώμα με ένα υλικό σημείο, είναι ένα άριστο διδακτικό εργαλείο.
Εσύ όμως το απογείωσες, τοποθετώντας το δίπλα στον τοίχο, οπότε το σύστημα δεν είναι μονωμένο αρχικά, ενώ “μονώνεται” αργότερα!
Συγχαρητήρια Ανδρέα!!!
Καλημέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ. Βρίσκομαι στο σχολείο, όπου τρέχουμε με διασταυρώσεις κρουσμάτων, βεβαιώσεις για αποστολή μαθητών για rapid, μόνο μάθημα δεν κάνουμε…
Άρη όντως δεν είναι εύκολη, αλλά νομίζω – ειδικά σε καλούς μαθητές – μπορεί να δείξει την αλληλεπίδραση σε ένα μερικώς μονωμένο σύστημα. Βέβαια στη Γ΄ περιέργως μας έχουν περιορίσει τέτοιες ασκήσεις…
Πρόδρομε σε ευχαριστώ. Με την έμπειρη ματιά σου βρήκες το λάθος, το οποίο έσπευσα να διορθώσω.
Μετά το μέγιστο ύψος, το φαινόμενο γιατί δεν επαναλαμβάνεται αντίστροφα; Χωρίς ενεργειακές απώλειες γιατί δεν επιστρέφει στον τοίχο;
Διονύση όντως το σύστημα περιμένει λίγο και μονώνεται με το πέρασμα στο δεξί τέταρτο του ημικυλίνδρου. Έχεις και συ τη γνώμη ότι το φαινόμενο δεν είναι περιοδικό;
Καλημέρα και πάλι Ανδρέα.
Τη στιγμή που το σώμα Σ2 φτάνει στο χαμηλότερο σημείο έχει μια ταχύτητα προς τα δεξιά και “ξεκινά η απομόνωση” του συστήματος. Άρα κάθε στιγμή από εκεί και πέρα η ολική ορμή θα έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά!
Τι σημαίνει αυτό; Ότι όταν επιστρέψει το Σ2 στο χαμηλότερο σημείο, το Σ1 θα έχει ταχύτητα προς τα δεξιά (και μεγαλύτερη κατά μέτρο ορμή από το Σ2), κινούμενο προς τα δεξιά. Έτσι όταν ο Σ2, αρχίζει να ανεβαίνει στην αριστερή πλευρά, το ημισφαίριο επιβραδύνεται, αλλά δεν μηδενίζεται ποτέ η ταχύτητά του, με αποτέλεσμα στο μέγιστο ύψος (μικρότερο του αρχικού) το σύστημα να έχει επίσης ταχύτητα προς τα δεξιά.
Να το πω αλλιώς.
Από τη στιγμή που αποσπάται το ημισφαίριο από τον τοίχο, το φαινόμενο είναι περιοδικό, ενώ το σύστημα κινείται πάντα προς τα δεξιά.
Την περιοδικότητα την “σπάει” το διάστημα επαφής με τον τοίχο.
Καλημέρα σε όλους.
κ. Ανδρέα πολύ όμορφη άσκηση!
Όσον αφορά το αν το ημικύκλιο θα ξαναφτάσει στον τοίχο, η απάντηση είναι ότι πράγματι δεν θα ξαναφτάσει. Ναι μεν η κίνηση είναι περιοδική αλλά το εύρος των τιμών της απόστασης του ημικυκλίου από τον τοίχο δεν ξεκινάει από μηδέν (μετά την πρώτη περίοδο).
Καλημέρα Χρήστο, σε ευχαριστώ για την αποδοχή.
Καλημέρα Ανδρέα. Ο κυρ Βασίλης έκανε καλή δουλειά με τη λείανση και εσύ μας έδωσες ένα εξαιρετικό θέμα!
Καλησπέρα – από το σπίτι, πλέον. Σας ευχαριστώ.
Διονύση όντως δε μπορεί να επιστρέψει… Έφτιαξα ένα πρόχειρο i.p. όπου φαίνεται η περιοδικότητα της κίνησης του ημικυλίνδριου, αλλά και και στιγμές όπου υ = 0.
Το i.p. ΕΔΩ
Σπύρο, χρόνια πολλά για τη γιορτή σου, πάντα υγιής και να επιτυγχάνεις ό,τι σε ευχαριστεί περισσότερο. Σε ευχαριστώ για τη μαθηματική επεξεργασία, που αποδεικνύει αυτό που λένε ο Πρόδρομος και ο Διονύσης.
Αποστόλη χαίρομαι που σου άρεσε το θέμα. Μην ξεχνάμε ότι ο μαραγκός έβαλε και ειδικής παραγγελίας λούστρο, για να σιγουρέψουμε μηδενικές τριβές…
Καλησπέρα Ανδρέα
Πραγματικά, ωραιότατη άσκηση!
Προσδιόρισα, προσεγγιστικά, κάποια μεγέθη.
Στον σύνδεσμο, εδώ.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλησπέρα Θρασύβουλε. Σε ευχαριστώ για την προσθήκη των αναλυτικών λύσεων. Τις έβαλα στο Wolframalpha και παρατήρησα ότι η θέση και χ και ψ του σώματος βγαίνει ίδια με αυτήν που δίνει η εξίσωσή σου, αλλά του ημικυλίνδριου είναι διαφορετική. Ίσως η προσέγγιση, που έχεις κάνει…
Συμπλήρωσα το i.p. ΕΔΩ με τα υπόλοιπα διαγράμματα.
Γεια σου Ανδρέα
Αντικατέστησα στους τύπους τα δεδομένα από την προσομοίωση και
τα πέρασα στο Desmos Graphing Calculator.
Παρατηρώ ότι βγάζει την ίδιες καμπύλες με το I.P. για τη θέση και ταχύτητα του ημικυλίνδριο.