by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
Γράφω ενδεικτικά τιμές ταχυτήτων σε όλα τα σημεία:
Τι θα γίνει στη συνέχεια;
Το 3 και το 5 θα ξαναγίνουν 4;
Αν στη συνέχεια ο σωλήνας ξαναγίνει ευθύγραμμος θα επιστρέψουμε στις τιμές 4m/s… αφού μια μικρή μάζα από το σημείο 5, με λίγο αυξημένη πίεση θα φτάσει στο σημείο 7 με την ίδια πίεση όπως στο 3, αλλά τότε θα επιταχυνθεί μεταξύ 5 και 7 ξανα-αποκτώντας την ταχύτητα των 4…
Τότε όμως θα έχουν ίδιες ταχύτητες έχοντας διανύσει άνισες διαδρομές.
Το ένα την 1-2-4-6 < 3-5-7 (αν στα 6 και 7 που ανήκουν στην ίδια διατομή οι ταχύτητες είναι ίσες).
Καταλαβαίνουμε ότι για να συμβεί αυτό πρέπει η ταχύτητα στο 4 να είναι μικρότερη αυτής στο 5.
Τότε όμως η ροή είναι στροβιλωδης.
Εκτός εάν τα στοιχεία ρευστού που θα έχουν ίδιες ταχύτητες την ίδια στιγμή στα 6 και 7 δεν είναι τα ίδια που είχαν ίδιες ταχύτητες την ίδια στιγμή στα 1 και 3.
Δηλαδή οδηγείς στο δρόμο και συμβαδίζεις αρχικά με ένα λεωφορείο, σε προσπερνά πιο κάτω και μετά συμβαδίζεις με ένα αγροτικό.
Στρωματική η ροή των οχημάτων φυσικά.
Γιατί όχι;
Παντρεμένα είναι τα διπλανά σωματίδια και πρέπει να βαδίζουν για πάντα μαζί; 🙂
Αν είναι έτσι τότε νόμος Bernoulli μόνο σε μία γραμμή και αυστηρά εκεί.
Επίσης αν είναι έτσι τότε η ταχύτητα στο 5 είναι μικρότερη αυτής του 4.
Είναι όμως έτσι;
Καλησπέρα στην παρέα. Κάτι τελευταίο:
Αν η κατανομή των ταχυτήτων στην καμπύλη περιοχή είναι όπως στο σχήμα, όπως προκύπτει με την αιτιολόγηση του Διονύση , δηλαδή μεγαλύτερες ταχύτητες των εσωτερικών σημείων από ότι των εξωτερικών, και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα ασκείται η ίδια δύναμη F ως συνισταμένη των δυνάμεων του εξωτερικού τοιχώματος του σωλήνα F2 (η στοιχειώδης μάζα 2 με κόκκινο), και του εσωτερικού τοιχώματος F1 (η στοιχειώδης μάζα 1 με μωβ), οι οποίες μεταφέρονται ως δράση-αντίδραση στις στοιχειώδεις μάζες από 1 έως 2, F= F2– F1= Fκεντρ. Τότε
Γεια σου Πρόδρομε.
“και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα ασκείται η ίδια δύναμη F”
Προφανώς η συνισταμένη δύναμη σε κάθε σωματίδιο ρευστού είναι διαφορετική, αφού διαγράφουν διαφορετικές τροχιές και με διαφορετικές ταχύτητες. Αλλά δες κάτι άλλο:
Αφαιρώντας τις F2 και F1 απλά βρίσκεις τη συνισταμένη που ασκείται σε όλα τα σωματίδια μεταξύ κόκκινου και μαύρου, από τα πλευρικά τοιχώματα του σωλήνα, δεν βρίσκεις την δύναμη που ασκείται σε κάθε σωματίδιο ρευστού.
ΥΓ
Και αν καταλήξεις σε άτοπο, απλά το άτοπο αφορά την υπόθεση που έχεις κάνει “και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα…”
Σωστά Διονύση.
Η συνισταμένη δύναμη ασκείται στο κέντρο μάζας του δίσκου πολύ μικρού πάχους dx, μάζας dm=ρdV=ρ(δ^2/4)dx .
Αν η ταχύτητα του κέντρου του παραμένει σταθερή και ίση με υ, όση και μακριά από την καμπυλότητα, τότε η συνισταμένη δύναμη στο δίσκο είναι
F=F2-F1=Fk=dm•(υ^2)/R.
Έχω την αίσθηση ότι κατά μήκος του ισοδιαμετρικου οριζόντιου και σχετικά μικρής διατομής σωλήνα, τα σημεία του άξονά του έχουν σταθερή ταχύτητα υ, που θα μπορούσε να είναι η μέση ταχύτητα όλων των στοιχειωδών μαζών του δίσκου.
Μπορούμε τότε να εφαρμόζουμε το νόμο Bernoulli σε σημεία του άξονα και όχι άλλα.
Δεν μπορούμε να ξέρουμε πώς κατανέμονται οι ταχύτητες στο καμπύλο τμήμα.