by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
Γράφεις:Δεν μπορεί να προβλέπεις κάτι που είναι το ακριβώς αντίθετο από την πραγματικότητα και να λες «Μα είναι ιδανικό υγρό».
Συμφωνώ και επαυξάνω!!!!. Γι αυτό στην πρώτη μου αναφορά για αυτό το θέμα υποστηρίζω εντελώς ιδεατές συνθήκες,που απέχουν πολύ από την πραγματικότητα. Πιστεύω οτι κακώς ασχολούμαστε τόσο πολύ με τέτοιες “περίεργες” περιπτώσεις αν στο βάθος του μυαλού μας είναι τα παιδιά. Αν όμως είναι για μας το βρίσκω πολύ ενδιαφέρον θέμα.
Φυσικά είναι για μας πολύ ενδιαφέρον θέμα.
Αν μη τι άλλο θα ξέρουμε τι δεν θα ζητήσουμε από παιδιά.
Σωστά Γιάννη. Επίσης θα μάθουμε και αρκετά πράγματα παραπάνω με το ψάξιμο και την συζήτηση.
Αυτό θεωρώ ως το επωφελέστερο του υλικονέτ.
Συζητήσεις που σε μαθαίνουν κάτι.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Προσωπικοί λόγοι δεν μου επέτρεψαν να συμμετέχω στην συζήτηση που συνεχίστηκε τη χθεσινή μέρα.
Διαβάζοντας τα όσα γράφτηκαν, θα μου επιτρέψετε να διατυπώσω κάποιες σκέψεις, όσο μπορώ κωδικοποιημένα.
Κανείς δεν διατύπωσε διαφωνία.
Αλλά τότε δεν βλέπω για ποιο πράγμα συζητάμε παιδιά…
Τα παραπάνω αποτελούν μια συνεκτική θεώρηση, σύμφωνη με την θεωρία που διδάσκουμε και ερμηνεύει τη ροή. Θα διατυπώσουμε άλλη θεωρία εμείς εδώ;
Η μόνη αντίστοιχη θεώρηση, είναι του Στάθη, που καταλήγει σε αντίθετα συμπεράσματα και οδηγεί στην μη εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli, κατά την παραπάνω ροή, επειδή πραγματοποιείται σε καμπυλόγραμμο σωλήνα.
Από κει και πέρα Γιάννη, προσπάθησα να καταλάβω τι ακριβώς θέλεις να βγάλεις. Έφερες διαγράμματα ροών πραγματικών ρευστών για να απορρίψεις την παραπάνω θεώρηση, κάνοντας μάλιστα λόγο για το πώς από τα πραγματικά ρευστά στο όριο, φτάνουμε στα ιδανικά; Δεν είδα όμως να δίνεις αντίστοιχα διαγράμματα όταν μικραίνει το ιξώδες για να διαπιστώσουμε αν για πολύ μικρό ιξώδες τα διαγράμματα οδηγούν σε συμπεράσματα συμβατά με την θεώρηση αυτή ή έρχονται σε αντίθεση. Άρα;
Θα μου επιτρέψεις να μείνω σε δύο σχήματα:
Ερώτημα: Και τότε σε ποιους σωλήνες εφαρμόζεται η εξίσωση Bernoulli, αν εξαιρέσουμε τις δύο αυτές περιπτώσεις;
Και ένα τελευταίο Γιάννη. Γράφεις παραπάνω:
«Έτσι ενώ είναι λογική η πρόβλεψη που λέει ότι η πίεση είναι μεγαλύτερη στην εξωτερική παρειά, είναι παρακινδυνευμένη η άλλη για τις ταχύτητες. Δεν μπορεί να προβλέπεις κάτι που είναι το ακριβώς αντίθετο από την πραγματικότητα»
Από πού προκύπτει ότι αυτό που προτείνω για τις ταχύτητες, είναι «ακριβώς αντίθετο» από την πραγματικότητα; Ποια είναι η πραγματικότητα και από πού προκύπτει αυτή η πραγματικότητα;
Καλημερα Διονύση.
Τα σχήματα που παρέθεσα είναι από διάφορα πέηπερ που δεν συμφωνούν απολύτως μεταξύ τους.
Καλαβαίνεις ότι δήλωσα την άγνοιά μου στο θέμα της ταχύτητας.
Έψαα να βρω αν στέκει το μοντέλο παρέλασης ή όχι.
Στο θεμα της πίεσης συμφώνησα από την αρχή ότι ειναι μεγαλύτερη στο 5 λόγω κεντρομόλου. Εξ’ άλλου παρέθεσα και τμήμα από παλιά μου παρουσίαση που λέω το ίδιο.
Για το “αστρόβιλη” ας πω ότι τη στιγμή που διαφέρουν οι ταχύτητες στο 4 και στο 5 η ροή δεν είναι αστρόβιλη, ακόμα και αν είναι στρωματική. Αυτό έχει πει και ο Στάθης. Το επικαμπύλιο δεν είναι μηδέν ακόμα και αν είναι στρωματική.
Δεν γνωρίζω πως εφαρμόζεται η σχέση Bernoulli μεταξύ των σημείων του σχήματός σου. Πάντως μάλλον δεν εφαρμόζεται μεταξύ των 1 και 4.
Δεν ξέρω τίποτα. Όταν είδα βιβλίο και πήγα στις γωνίες, δεν καταλάβαινα όσα έγραφε. Αγνοώ την δευτερεύουσα ροή.
Είναι πριϊόν μόνο του ιξώδους ή και κάποιου είδους αδράνειας;
Στο σχήμα που έστειλα και παραθέτεις και εσύ, βλέπω μια φλέβα που καταλαμβανει όλο τον σωλήνα να στενεύει και να αποκτά άλλη ταχύτητα από το άλλο υγρό στο εσωτερικό της γωνίας. Απουσία ιξώδους ή με μικρό ιξώδες, θα συμβεί το ίδιο; Δεν ξέρω.
Αν συμβεί πάντως η ροή δεν είναι αστρόβιλη.
Καλημέρα και πάλι Γιάννη. Γράφεις:
“Για το “αστρόβιλη” ας πω ότι τη στιγμή που διαφέρουν οι ταχύτητες στο 4 και στο 5 η ροή δεν είναι αστρόβιλη, ακόμα και αν είναι στρωματική. Αυτό έχει πει και ο Στάθης. Το επικαμπύλιο δεν είναι μηδέν ακόμα και αν είναι στρωματική.”
Ο Στάθης έγραψε ότι η ροή δεν είναι αστρόβιλη, όταν έκανε την υπόθεση ότι ισχύει η εξίσωση υ=ωr, δηλαδή το μοντέλο του rigid body ή το μοντέλο της παρέλασης που υποστήριξε και ο Πρόδρομος.
Δεν το απέδειξε στην περίπτωση της δικής μου θεώρησης για υ4>υ5 Το έγραψα εδώ δίνοντας και το σχήμα:
Αυτό δεν αναιρέθηκε.
Διονύση όντως δεν μπορεί να αναιρεθεί αν οι ταχύτητες είναι όπως λες.
Εσύ περίπου λες ότι η ταχύτητα μειώνεται από το 3 στο 5 (λόγω αύξησης πίεσης) και αυξάνεται από το 2 στο 4 (λόγω μείωσης της πίεσης).
Δεν μπορώ να το αποκλείσω θεωρητικά.
Ψάχνοντας διαγράμματα βλέπω σε ένα μια μελαλύτερη ταχύτητα στο εξωτερικό της στροφής. Σε άλλα διαγράμματα βλέπω το αντίθετο. Δεν ξέρω τι ισχύει με πολύ μικρό ιξώδες.
Καλημέρα Διονύση.
Θα διάβασες το “μοντέλο της παρέλασης” που διατύπωσα παραπάνω. Προσπάθησα να εξηγήσω το τι συμβαίνει στο ημικυκλικό μέρος του σωλήνα, με τη θεώρηση ότι η ροή είναι στρωτή κι επομένως δεν έχουμε απώλειες ενέργειας.
Αυτό που ισχυρίζομαι είναι ότι έχουμε μια εσωτερική αλληλεπίδραση μεταξύ των μορίων του υγρού, προκειμένου να αλλάξουν οι ταχύτητές τους σε μέτρο και κατεύθυνση, χωρίς να αλλάξει η ρευματική γραμμή που βρίσκεται το καθένα, έτσι ώστε να κάνουν την καμπυλόγραμμη κίνηση τους.
Τα τοιχώματα του σωλήνα ασκούν δυνάμεις που δεν παράγουν έργο συνολικά, γιατί είναι κάθετες στις ταχύτητες των μορίων του υγρού που κινούνται σε επαφή με αυτά.
Έτσι μπορεί να γίνει αναδιάταξη των ταχυτήτων στο χώρο του καμπυλόγραμμου σωλήνα και να συνεχιστεί η ροή κανονικά μετά.
Μιλάμε πάντα για ιδανικό υγρό, και προσπαθούμε να εξηγήσουμε τη συμπεριφορά του στα σημεία που αλλάζει η διεύθυνση κίνησης τους.
Βλέπεις υπάρχουν πολλές ασκήσεις που ζητούν την πίεση ή την ταχύτητα σε τέτοια σημεία π.χ. σε σωλήνες που ανεβαίνει το υγρό και αντιστρέφεται η πορεία του προς τα κάτω λόγω κάμψης του σωλήνα κατά 180ο.
Εφαρμόζοντας το νόμο του Bernoulli βρίσκουμε την πίεση! Ποια πίεση; Νομίζω ότι την υπολογίζουμε σε σημείο που βρίσκεται στον άξονα του σωλήνα.
Έγραψα με αφορμή τη δική σου άσκηση ότι
μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Bernoulli κατά μήκος των σημείων του άξονα του σωλήνα θεωρώντας ότι η ροή είναι αστρόβιλη.
Όταν έχουμε λεπτούς σωλήνες οι ταχύτητες στα σημεία καμπής δεν διαφέρουν πολύ, κι αυτό αν η ακτίνα της κάμψης του σωλήνα είναι πολύ μεγαλύτερη από την διάμετρό του.
Η κεντρομόλος δύναμη που ασκείται σε μια στοιχειώδη μάζα που βρίσκεται στο εσωτερικό μέρος του σωλήνα σε σχέση με αυτή στο εξωτερικό μέρος του σωλήνα, θα διαφέρουν πολύ λίγο.
Fk1=dm•[u(1)^2]/r1 και
Fk2=dm•[u(2)^2]/r2
όπου r2-r1=δ πολύ μικρό.
Έτσι μπορούμε να μιλάμε για μία ταχύτητα και μια πίεση στο σημείο κάμψης.
Αν όμως η διάμετρος του σωλήνα είναι μεγάλη , τότε , όπως υποστηρίζω εγώ, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο νόμος του Bernoulli μόνο σε σημεία του άξονα του σωλήνα, αφού θα έχουμε διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές πιέσεις στα σημεία μιας εγκάρσιας τομής στο κέντρο της κάμψης, με μεγαλύτερες πιέσεις και ταχύτητες των σημείων που βρίσκονται προς τα έξω.
Καλησπέρα Διονύση, καλημέρα σε όλους.
Μετά από 24 σχεδόν ώρες χωρίς ρεύμα, μπορώ επιτέλους να σχολιάσω…
Διονύση δεν απέδειξα ότι αν υ5>υ4 η ροή είναι στροβιλώδης γιατί δεν είχα κάποιο προφίλ ταχύτητας για να το κάνω. Επιπλέον δεν υποστηρίζω ότι το προφίλ του rigid body είναι και το σωστό.
Εμμένω στην αρχική μου τοποθέτηση: μη χρήση της Bernoulli μεταξύ σημείων του ευθυγράμμου και του καμπύλου τμήματος σε ασκήσεις (σημεία 1 και 4).
Σκεπτόμενος όμως το παραπάνω σχόλιό σου, κατέληξα ότι στο ότι μπορεί να υπάρξει προφίλ ταχυτήτων με μη μηδενική κυκλοφορία στην στροφή, να ικανοποιεί το παραπάνω κριτήριο για τις ταχύτητες, και να είναι αστρόβιλη η ροή! Δίνω κάποιες σκέψεις (αν κάπου έχουν λάθος δικαιολογούμαι πως έγιναν χθες βράδυ με πολύ κρύο στο σπίτι) παρακάτω:
Προσωπικά δεν θα έπαιρνα στα σοβαρά ούτε το παραπάνω μοντέλο της αστρόβιλης ροής, ούτε το μοντέλο της στροβιλώδους (αυτό με προφίλ ταχύτητας στην στροφή υ=ωr).
Αρχικά και στα δύο μοντέλα είναι προβληματική (τουλάχιστον…) η αντιμετώπιση της ροής στην ένωση του καμπύλου κομματιού του σωλήνα με το ευθύγραμμο. Πιο σωστά κάθε πρόβλεψη για την ροή στα σημεία κοντά στην ένωση είναι αδύνατη.
Θεωρώ πως και τα δύο είναι χονδροειδέστατες προσεγγίσεις που αν αξίζουν σε κάτι είναι μόνον για εξάσκηση ή για πολύ γενικά συμπεράσματα. Ίσως σε κάποιες περιπτώσεις, αναλόγως των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του σωλήνα, να δίνουν κάποιες σωστές ποιοτικά προβλέψεις.
Θα κράταγα από το παραπάνω μοντέλο την πρόβλεψη μιας κατώτερης ακτίνας για να συνεχίσει η ροή να είναι ιδανική (μια ένδειξη ότι η γεωμετρία παίζει όντως ρόλο) και θα την κράταγα ως πρόβλεψη, όχι ποσοτικά.
Καλό μεσημέρι Πρόδρομε.
“Αυτό που ισχυρίζομαι είναι ότι έχουμε μια εσωτερική αλληλεπίδραση μεταξύ των μορίων του υγρού, προκειμένου να αλλάξουν οι ταχύτητές τους σε μέτρο και κατεύθυνση, χωρίς να αλλάξει η ρευματική γραμμή που βρίσκεται το καθένα, έτσι ώστε να κάνουν την καμπυλόγραμμη κίνηση τους.”
Δεν προβλέπει κάτι τέτοιο η θεωρία του ρευστού Πρόδρομε.
Δεν μελετάμε μόρια, ούτε μοριακές αλληλεπιδράσεις στο ιδανικό ρευστό, αλλά και γενικότερα στα ρευστά.
Μελετάμε την ροή με την βοήθεια των πιέσεων και των αντίστοιχων πιεστικών δυνάμεων. Και αν υπάρχει μια διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 3 και 5 (της άσκησης), αυτή η διαφορά πίεσης θα καθορίσει την μεταβολή της ταχύτητας ροής (κατά μέτρο, όπως προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli) μεταξύ των σημείων 3 και 5. Δεν παίρνει ενέργεια από τα διπλανά της πλευρικά στρώματα η φλέβα.
Από την άλλη, αυτή η πίεση στο σημείο 5, σε συνδυασμό με την αντίστοιχη πίεση στο σημείο 4, θα καθορίσει και την δύναμη που θα ασκηθεί κάθετα στην ταχύτητα, με αποτέλεσμα να αλλάξει κατεύθυνση η ταχύτητα ροής και η ρευματική γραμμή.
Νομίζω ότι αν αφήσουμε απέξω από την όποια συζήτηση τα εργαλεία φλέβα, πίεση, ρευματική γραμμή και ψάξουμε για άλλα ερμηνευτικά σχήματα, απομακρυνόμαστε από την θεωρία μας…
Πρόδρομε και ο Στάθης παραπάνω μελέτησε την ροή θεωρώντας ότι ισχύει η σχέση υ=ωr, που οδηγεί στο δικό σου μοντέλο της “παρέλασης” αλλά οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι αυτό συνεπάγεται ένα σπάσιμο της ροής και τελικά στροβιλώδη ροή. Αλλά τότε δεν μπορεί να εφαρμοστεί η εξίσωση Bernoulli.
Αν λοιπόν επιμένεις στην “παρέλαση”, μην μπλέκεις μηχανισμούς μεταφοράς ενέργειας και δέξου ότι δεν ισχύει η εξίσωση Bernoulli, χωρίς να θέτεις περιορισμούς και εξαιρέσεις, που δεν προκύπτουν με βάση τις εξισώσεις και την θεωρία.
Καλό μεσημέρι Στάθη και σε ευχαριστώ για την απάντηση, στο προηγούμενο σχόλιό μου.
Το ότι η ροή, στην περίπτωση που μελετάς, δεν έχει μηδενική κυκλοφορία, επειδή η συνάρτηση δεν ορίζεται στο r=0, μου φαίνεται πολύ “μαθηματικό”…
Όσον αφορά την ελάχιστη απόσταση, θεωρώ ότι είναι ένα καλό συμπέρασμα, αφού θα μου φαινόταν παράλογο να μην εξαρτάται η ροή και να διατηρούσε τα χαρακτηριστικά της για οσοδήποτε μικρή ακτίνα…
Τέλος να προσθέσω κάτι.
Αν δεχτώ ότι επειδή υπάρχει ένα καμπύλο μέρος σε ένα σωλήνα, όλα αυτά τα περί φλέβας, ρευματικής γραμμής αλλά κυρίως η εξίσωση Bernoulli, δεν εφαρμόζονται, μου φαίνεται ότι οδηγεί και σε εγκατάλειψη όλης της θεωρίας που εφαρμόζουμε.
Όπως έγραψα και το πρωί στο Γιάννη, αν είναι έτσι, τότε πού θα εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli;
Σε ευθύγραμμους σωλήνες σταθερής διατομής;
Είναι “μαθηματικό” Διονύση, αλλά συναντάται και αλλού.
Παρόμοια περίπτωση έχουμε στο επαγόμενο ηλεκτρικό πεδίο (ΗΠ) από ένα κυλινδρικό, ομογενές στον κύλινδρο, χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Το ΗΠ έχει μηδενικό στροβιλισμό στον χώρο εκτός του κυλίνδρου, αλλά η κυκλοφορία του κατά μήκος μίας κυκλικής τροχιάς θα είναι διαφορη του μηδενός!