by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
Καλησπέρα σε όλους,
Διαβάζοντας τα σχόλια τέθηκε το ζήτημα ίσων πιέσεων αλλά διαφορετικών επιφανειών.
Αυτό δεν ισχύει αφού η εκάστοτε επιφάνεια διαγράφεται από την μάζα που εμπεριέχεται στην κεντρομόλο.
Δηλαδή η διαφορά πίεσης δp επί μιας επιφάνεις ρευστού δΑ θα δίνει την κεντρομόλο δύναμη δp. δΑ = δm. ω^2. r , με r την ακτίνα καμπυλότητας. Όμως δm=ρ.δΑ.δr, συνεπώς δp=ρ.δr.ω^2.r>0.
Άρα είναι σίγουρα p5>p4.
Αν πάμε ένα βήμα παρακάτω μάλιστα και θεωρήσουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή (χωρικά), τότε ολοκληρώνοντας προκύπτει ότι Δp=(1/2).ω^2.Δr^2.
Όπου το Δp είναι η διαφορά της πιο “εξωτερικής” από την “εσωτερικότερη” πίεση.
Άρα λοιπόν για έναν καμπυλωμένο σωλήνα διατομής Δr, έχουμε μεγαλύτερες πίεσεις στα πιο εξωτερικά σημεία από ότι στα εσωτερικά.
Μεταφέρω ένα απόσπασμα που έδωσε σε παλιότερη συζήτηση ο Παναγιώτης Κουμαράς:
«Κατά κανόνα, τα βιβλία Φυσικής δεν ασχολούνται με τη μελέτη της κάθετης επιτάχυνσης του ρευστού. Δεν συζητούν τις κλίσεις πίεσης που υπάρχουν κάθετα προς την ταχύτητα εάν οι ρευματικές γραμμές είναι καμπύλες. Η παραμέληση των κλίσεων πίεσης που σχετίζονται με καμπύλες γραμμές ροής είναι καταστροφική γιατί έτσι καθίσταται αδύνατο να κατανοηθεί ο μηχανισμός της παραγωγής χαμηλής πίεσης. Τα εμπόδια προκαλούν καμπύλες ρευματικές γραμμές και δημιουργούν κλίσεις πίεσης στον αέρα και κατά συνέπεια περιοχές με υψηλότερη ή χαμηλότερη πίεση. Η εκτροπή της ροής είναι η αιτία για τη δημιουργία κλίσεων πίεσης κάθετα προς τις γραμμές ροής και άρα η αιτία για τη δημιουργία διαφορών πίεσης» (Weltner, και Ingelman – Sundberg, 2011a)».
O Haliday αναφέρεται σε “sharply curved” και συμφωνώ σε αυτό(άλλωστε το ανέφερα ήδη ,μονο που ο Haliday υποστηρίζει ότι συνεχιζει η ροή να είναι αστρόβιλη ), σε ανοιχτές καμπυλες ο λόγος dp/dx πρέπει να ελαττώνεται αισθητά. Δεν έχω βάλει τις κάτω τις εξισώσεις , αλλά θα το κάνω αργότερα . Πάντως ευχαριστώ πολύ για την αναφορά στον Haliday. Δεν το θυμόμουνα καθόλου… Το γήρας ουκ έρχεται μόνον…εκτος από εγγόνια φέρνει και σχετική αμνησία…
Γιώργο δες το σχόλιό μου, λίγο πιο πάνω, εδώ, όπου υποστηρίζω ότι η ροή είναι αστρόβιλη.
Από κει και πέρα, να είμαστε καλά να γερνάμε … ομαλά (με σταθερό ρυθμό…) και ας ξεχνάμε και μερικά πράγματα.
Καλημέρα Διονύση, καλημέρα σε όλους τους υλικονετιστές.
Διονύση γράφεις παραπάνω
Μάλλον δεν διάβασες τι ακριβώς έχει γραφτεί.
Γιατί το μοντέλο της παρέλασης ισχύει στα ρευστά;
Υπάρχει κάποιος νόμος που λέει ότι “γραμμή” της παρέλασης ισχύει στα ρευστά;
Μια ακτίνα ενός δίσκου, πράγματι στρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, οπότε τα διάφορα σημεία της έχουν ταχύτητες υ=ωr. Ισχύει στο μηχανικό στερεό.
Ίδια συμπεριφορά έχουν και τα υγρά; Είναι με άλλα λόγια το ιδανικό ρευστό ένα rigid Body;
Απαντώ:
Θεωρούμε ότι δεν έχουμε τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα ούτε και μεταξύ των στοιχειωδών μαζών του υγρού που ρέει.
Στις περιοχές Α και Γ μπορούμε να πούμε ότι οι ταχύτητες όλων των μορίων είναι ίσες, ενώ στην περιοχή Β που κάμπτεται ο σωλήνας οι ταχύτητες μεταβάλλονται με μέτρα από υ1 (των μορίων που είναι σε επαφή με το εσωτερικό του σωλήνα) , έως υ2 (των μορίων που είναι σε επαφή με το εξωτερικό του σωλήνα).
Πώς μεταβλήθηκαν οι ταχύτητες των μορίων από την περιοχή Α στην περιοχή Β; Ποιες δυνάμεις τα ανάγκασαν να μεταβληθούν; Παράγουν έργο συνολικά στο ρευστό;
Τα μόρια του ρευστού που κινούνται σε επαφή με τα εξωτερικά τοιχώματα του σωλήνα στην περιοχή Β, δέχονται δυνάμεις από τα τοιχώματα αλλά και από τα γειτονικά μόρια εμπρός, πίσω και τα μόρια του εσωτερικού στρώματος που είναι σε επαφή, προκειμένου να αλλάξει και το μέτρο της ταχύτητάς τους και η διεύθυνσή τους.
Αυτό έχει ως συνέπεια , λόγω δράσης-αντίδρασης, να επιταχύνονται στο καμπύλο μέρος του σωλήνα τα μόρια από το κέντρο του σωλήνα έως το εξωτερικό μέρος του, ενώ τα μόρια που είναι από το μέσο του σωλήνα έως το εσωτερικό μέρος του, να επιβραδύνονται λόγω αντιτιθέμενων προς την κίνησή τους δυνάμεων.
Οι δυνάμεις από τα εξωτερικά τοιχώματα προς τα μόρια που εφάπτονται σε αυτά, είναι κάθετες στις ταχύτητές τους, δεν παράγουν έργο , αλλά αλλάζουν τη διεύθυνση της ταχύτητάς τους. Οι εσωτερικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων είναι αυτές που τροποποιούν τα μέτρα των ταχυτήτων , επιταχύνοντάς τα ή επιβραδύνοντάς τα. Όπως και στις τετράδες ή πεντάδες ή εξάδες,.., όταν στρίβουν σε μια παρέλαση, προκειμένου να είναι στην ίδια ευθεία της σειράς τους.
Έτσι οι δυνάμεις που αναπτύσσονται από τα τοιχώματα του δοχείου δεν παράγουν έργο, είναι αναγκαίες για τη μεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας . Η συνολική δύναμη που ασκεί το υγρό στο σωλήνα στο ημικυκλικό τμήμα, μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η δύναμη αυτή είναι μεγαλύτερη όσο πιο μεγάλη είναι η παροχή Π για δεδομένη διατομή Α του σωλήνα, ή αντιστρόφως ανάλογη της διατομής Α για δεδομένη παροχή Π.
Σύμφωνα με τις αρχικές παραδοχές που έκανα, δηλαδή μη ύπαρξη τριβών και απώλειες ενέργειας σε θερμική, η ροή είναι στρωτή και αστρόβιλη.
Συμπληρώνω: μετά από μισή στροφή, γίνεται το αντίστροφο, δηλαδή τα μόρια που είναι από την κεντρική φλέβα έως το εξωτερικό μέρος του σωλήνα, επιβραδύνονται λόγω των δυνάμεων από τα μόρια του περιβάλλοντος υγρού, ενώ αυτά που είναι από την κεντρική φλέβα έως το εσωτερικό μέρος του σωλήνα, επιταχύνονται. Όταν η σειρά των μορίων που είναι σε εγκάρσια διατομή στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα εισέλθουν στο μέρος Γ του σωλήνα, έχουν ξανά την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα υ που είχαν στην είσοδο.
Η παροχή Π παραμένει σταθερή σε όλη τη διαδρομή, και στο καμπύλο τμήμα.
Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου παραμένει σταθερή, απλά έγινε ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ των μορίων γειτονικών στρωμάτων προκειμένου να μεταβληθούν οι ταχύτητες για την καμπύλη τροχιά τους.
Αν πάρουμε μια εγκάρσια τομή πολύ μικρού πάχους στο καμπύλο τμήμα, μάζας dm και όγκου dV (dm=ρdV) , τότε αυτή δέχεται μια συνολική δύναμη από τα τοιχώματα με κατεύθυνση προς το κέντρο αυτής της τομής, που παίζει το ρόλο της κεντρομόλος δύναμης. Αυτή η δύναμη είναι κάθετη στην ταχύτητα υ του κέντρου, η οποία ως μέση ταχύτητα των ταχυτήτων και με δεδομένο ότι η παροχή Π είναι σταθερή, είναι ίση με την ταχύτητα υ των περιοχών Α και Γ.
Έχω την άποψη ότι θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Bernoulli μεταξύ δύο σημείων της ρευματικής γραμμής που συμπίπτει με τον άξονα του σωλήνα, όπου οι ταχύτητες παραμένουν σταθερές κατά μέτρο υ, εφόσον ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή.
Η πίεση μειώνεται καθώς πάμε από σημεία του εξωτερικού καμπύλου τμήματος του σωλήνα σε μια εγκάρσια διατομή, προς το εσωτερικό του.
Στα σημεία της ρευματικής γραμμής του άξονα του σωλήνα, η πίεση μένει σταθερή, εφόσον ο σωλήνας είναι σταθερής διατομής και οριζόντιος.
Αν εφαρμόσουμε Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Κ (περιοχή Α)της ρευματικής γραμμής που συμπίπτει με τον άξονα του σωλήνα, και ενός σημείου Λ (περιοχή Β), οι ταχύτητες είναι ίσες με υ , άρα και οι πιέσεις Ρ(Κ)=Ρ(Λ).
Συμπέρασμα: σε πολλές ασκήσεις που έχουμε κάμψη του σωλήνα ροής, και ζητάμε να βρούμε την πίεση στο σημείο καμπής, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο του Bernoulli μόνο κατά μήκος της ρευματικής γραμμής που συμπίπτει με τον άξονα του σωλήνα, και όχι άλλων σημείων. Κι αυτό γιατί οι πιέσεις σε μια εγκάρσια διατομή στο καμπύλο τμήμα είναι άνισες, με μεγαλύτερη προς το εξωτερικό μέρος του σωλήνα και μικρότερη προς το εσωτερικό μέρος, ενώ η μέση τιμή αυτών είναι ίση με την πίεση στο κέντρο μιας διατομής του σωλήνα
Καλημέρα παιδιά.
Είχα καταλάβει ότι δεν ξέρω τίποτα όταν έριξα μια ματιά στο βιβλίο ρευστών της ΑΕΝ.
Με προβληματίζει το “μοντέλο παρέλασης” καθώς και η αντίθετη θέση (μεγαλύτερη ταχύτητα μέσα). Έτσι ψάχνοντας βρήκα σε διάφορα πέηπερ για Μηχανικούς άγνωστες λέξεις, όπως δευτερεύουσα ροή. Κατάλαβα πως όταν αρχίζει το καμπύλο τμήμα γίνεται ο κακός χαμός.
Παραθέτω διάγραμμα από πέηπερ:
Δεν ξέρω αν το κατάλαβα.
Άλλο:
Άλλο:
Αντιφάσκουν;
Ένα πιο κατανοητό:
Στις 30 μοίρες μεγαλύτερη ταχύτητα τα μέσα στοιχεία ρευστού.
Στις 60 μοίρες τα έξω.
Αν πιστέψουμε το διάγραμμα, κάνουμε την εξής γκάφα:
Γιάννη ,στα paper αυτά αναφέρονται σε πραγματικά ρευστά (με τριβές εσωτερικές και με τα τοιχώματα κλπ). Αυτό μιλάει για ιδανικά ρευστά;
Γιώργο ετοιμαζόμουν να γράψω κάτι ώστε να προλάβω τέτοια αντίρρηση.
Δεν πρόλαβα.
Θα το γράψω με καθυστέρηση.
Νομίζω ότι αναφέρεσαι στο:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2215098615301610. Αυτό αν δεν κάνω λάθος μιλάει για εσωτερικές τριβές.Δεν το διάβασα με προσοχή επειδή με αποθάρρυνε η αναφορά στις τριβές.
Για εσωτερικές τριβές ενδιαφέρον είναι και αυτό:https://nptel.ac.in/content/storage2/courses/112104118/lecture-37/37-2_losses_pipe_bends.htm
Το είδα αυτό Γιώργο. Αναφέρομαι σε άλλο.
Για το ιδανικό υγρό:
Τι είναι το ιδανικό υγρό;
Τίποτα παραπάνω από ένα μοντέλο. Χρήσιμο αν θέλουμε να προβλέψουμε την συμπεριφορά νερού σε χοντρούς σωλήνες και όχι μεγάλες διαδρομές.
Το θεωρούμε μηδενικού ιξώδους και ασυμπίεστο. Κάνουμε μια χαρά τη δουλειά μας, αρκεί να μην παίζουμε με τα όρια του μοντέλου. Όταν παίξεις με αυτά, οδηγείσαι σε αδιέξοδα, όπως τότε με το κουτί που καταδύθηκε στον πάτο του ωκεανού και τα ψάρια που έσκαγαν όταν τάπωνες τη γυάλα τους. Οι παλιότεροι στο υλικονέτ θα θυμουνται τις μαραθώνιες διαφωνίες και το προβλημα του σωλήνα που τον ξαπλώνουμε.
Για να αντιμετωπίσεις τέτοια προβλήματα πρέπει να θεωρήσεις συμπιεστό το υγρό, να βρεις το ακριβές αποτέλεσμα και μετά να κάνεις τις προσεγγίσεις σου.
Υπάρχουν και άλλα παιχνίδια με διόλου ελαστικά σώματα, ελατήρια χωρίς μαζα κ.λ.π που αν τα πάρεις στα σοβαρά, φτιάχνεις όμορφα παράδοξα.
Μάλλον συμβαίνει και εδώ κάτι τέτοιο. Βρίσκεις το τι ισχύει στην περίπτωση μικρού ιξώδους, φαρδιού και κοντού σωλήνα και μετά κάνεις τις προσεγγίσεις σου. Διαφορετικά και παίζουμε με ένα άχρηστο μοντέλο χωρίς λόγο και οδηγούμαστε εύκολα σε παράδοξα.
Τα διαγράμματα που βρήκα σχετίζονται με φαρδιούς σωλήνες τροφοδοσίας στους οποίους κινείται νερό και όχι μέλι. Βλέπουμε ότι αναπτύσσεται τυρβώδης ροή. Εμείς την κάνουμε στρωματική για ασκησιακούς λόγους με προβλέψεις που απέχουν από την πραγματικότητα.
Έτσι ενώ είναι λογική η πρόβλεψη που λέει ότι η πίεση είναι μεγαλύτερη στην εξωτερική παρειά, είναι παρακινδυνευμένη η άλλη για τις ταχύτητες.
Δεν μπορεί να προβλέπεις κάτι που είναι το ακριβώς αντίθετο από την πραγματικότητα και να λες «Μα είναι ιδανικό υγρό». Το ιδανικό υγρό είναι μια προσέγγιση της πραγματικότητας. Το νερό είναι πολύ κοντά στο ιδανικό υγρό.