by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
Γιώργο θα συμφωνήσω με τον Στάθη.
Ένα στοιχείο ιδανικού ρευστού που δεν ακουμπάει στο τοίχωμα στρίβει επίσης.
Αυτό σημαίνει ότι δέχεται δύναμη (κεντρομόλο) από τα γειτονικά του και όχι από τα τοιχώματα. Τότε όμως αλλάζει η πίεση.
Ο Στάθης έχει δώσει παλιότερα το περιεχόμενο της στροβιλώδους και το αποσύνδεσε από τους όποιους στροβίλους. Ο Στάθης εννοεί ότι αν πάρεις ένα επικαμπύλιο από το 5 στο 4 στο Ζ, στο Θ στο…. στο 5, αυτό δεν θα βγεί μηδέν ακόμα και αν η ροή γίνεται σε στρώματα.
Καλησπέρα Στάθη. Λες:
Εννοείς ότι σε όλα τα σημεία του οριζόντιου σωλήνα έχουμε διαφορετικές ταχύτητες στα σημεία 1. και 2. ή μόνο αν αυτά τα σημεία είναι κοντά στο καμπύλο τμήμα;
Γιατί στην αρχική εκδοχή της ανάρτησης τα σημεία 1 και 2 υποτίθεται ότι είναι μακριά από την στροφή…
Διονύση αναφέρομαι σε οποιαδήποτε σημεία αν υπάρχει η ρευματική γραμμή από το 1 στο 4 και από το 3 στο 5. Το φαινόμενο της ανάμειξης βέβαια θα είναι πιο έντονο κοντά.Μακριά οι ταχύτητες θα γίνουν ίσες (σε χαμηλές ταχύτητες ροής και όχι πολύ μικρή διατομή σωλήνα).
Σε κάθε όμως περίπτωση δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου μακριά στο ευθύγραμμο τμήμα, και ενός σημείου στο καμπύλο, ενώ παρεμβάλλεται ανάμειξη στην περιοχή κοντά στην σύνδεση των δύο τμημάτων. Η αντιστοιχη ρευματική γραμμή 1 έως 4 δεν υπάρχει…
Καλησπέρα και πάλι Στάθη.
Η παραπάνω πρότασή σου, δικαιολογεί την κατάσταση.
Θα μου επιτρέψεις όμως να μεταφέρω από το σύνδεσμο που έδωσε ο Παντελής παραπάνω, μια τοποθέτηση του Βαγγέλη Κορφιάτη, τροποποιώντας τα σημεία αναφοράς να ταιριάζουν με τα σημερινά:
“Έτσι, υποθέτοντας ότι η ροή είναι ομογενής πολύ πίσω από το Α είμαστε βέβαιοι ότι, μακριά από την «κούρμπα», η ροή είναι αστρόβιλη.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Kelvin., θα είναι αστρόβιλη σε όλη την έκταση της ροής.”
και παρακάτω:
“Επειδή η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός στοιχείου ρευστού προϋποθέτει κεντρομόλο δύναμη, η πίεση στο 5 είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο 4. Συνεπώς, η ταχύτητα στο 5 είναι μικρότερη από την ταχύτητα στο 4.”
Και αυτή η ερμηνεία δικαιολογεί επίσης την κατάσταση…
Η διαφορά έχει να κάνει με τις ταχύτητες και όχι τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, όπου υπάρχει συμφωνία και παραπάνω στην ανάρτηση, στις πιέσεις αναφερόμουν.
Κατέβασα όμως την απάντηση, επειδή υπάρχει αυτό το πρόβλημα με τις ταχύτητες και της εφαρμογής ή όχι της εξίσωσης Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 4…
Καλησπέρα σε όλους.
Να δώσω και εγώ ένα σύνδεσμο.
Καλημέρα συνάδελφοι και καλή Κυριακή.
Επανέρχομαι στο θέμα, γράφοντας μερικές σκέψεις ακόμα.
Καλημέρα και από εδώ Διονύση.
Δεν μπορώ να απαντήσω ποιο από τα δύο μοντέλα είναι πιο σωστό αναλυτικά. Έχω δε την εντύπωση ότι αυτό θα εξαρτάται έντονα από τις συνοριακές συνθήκες που επικρατούν σε κάθε πρόβλημα (για αυτό γράφω πιο σωστό). Για τον λόγο αυτό έγραψα πριν πως είναι ασφαλέστερο να εφαρμόζεται η εξίσωση είτε πριν είτε μέσα στην “στροφή”.
Στο μοντέλο που περιγράφεις η ροή είναι όντως μη στροβιλώδης και μόλις έδειξες ότι σε μη στροβιλώδη ροή μπορούμε να εφαρμόσουμε επ’ ευθείας την εξίσωση μεταξύ δύο σημείων που ανήκουν σε διαφορετικές ρευματικές γραμμές (4 και 5). Σε αυτήν την περίπτωση θα υπάρχει μια συνάρτηση “δυναμικού” από την οποία θα ξεπηδά το πεδίο της ταχύτητας (όπως έγραφε και ο αείμνηστος Βαγγέλης).
Αν η καμπύλωση των ρευματικών γραμμών πραγματοποιούταν από δύο κυλινδρικά εμπόδια σε μία ομοιόμορφη μακριά τους ροή, όπως στο forum δίπλα, θα μπορούσαμε να βρούμε αυτό το “δυναμικό” (καλείται συνάρτηση ροής) και να περιγράψουμε επακριβώς το πεδίο της ταχύτητας.
Τώρα που το λές, το μπουκάλι σε ένα ποτάμι με την πιο μικρή ακτίνα στροφής, μου φαίνεται (καθαρά διαισθητικά) ότι θα αποκτήσει στιγμιαία στην στροφή μεγαλύτερη ταχύτητα.
Στάθη Καλημέρα! Αν η γωνία είναι ορθή (με δύο πλευρές κάθετες τότε θα συμφωνησω μαζί σου ότι δημιουργούνται ,συνοριακά, στρόβιλοι και οι ταχύτητες διαφέρουν.(Αλλά αυτό είναι ¨εκτός ενδιαφέροντος ύλης Γ Λυκείου) . Στο παράδειγμα όμως του Διονύση τα όποια συνοριακά προβλήματα ελαχιστοποιούνται και θεωρούνται αμελητέα.
Επίσης διαφωνώ με το συμπέρασμά σου στην εξίσωση που παραθέτεις,
γιατί μπορεί όλες οι πιέσεις να είναι ίσες άρα και οι ταχύτητες.
Καλημέρα Γιώργο.
Ανάμειξη θα έχουμε ακόμη και αν η γωνία δεν είναι ορθή, αρκεί να έχει μεγάλη καμπυλότητα (μικρή ακτίνα). Θα παίζει επίσης ρόλο το σχήμα της στροφής (κυκλική ή οποιαδήποτε άλλη καμπύλη). Γενικά όμως συμφωνούμε ότι όσο πιο “απότομη” είναι τόσο πιο έντονο το πρόβλημα.
Όσον αφορά τις πιέσεις, διαφωνούμε. Μία ποσότητα νερού (φαντάσου την πολύ μικρή και όχι σε επαφή με τα τοιχώματα) δεν μπορεί να στρίβει αν δεν δεχτεί κεντρομόλο δύναμη. Άρα οι πιέσεις στην κεντρομόλα διεύθυνση διαφέρουν.
Αν φανταστούμε δύο στοιχειώδεις μάζες που στρίβουν η εξωτερική θα έχει “απλώσει πιο πολύ από την εσωτερική . Έτσι θα έχει μεγαλύτερη επιφάνεια κάθετη στη δύναμη που ασκείται από την” ϋπερκείμενη” μάζα. Η δε δύναμη θα είναι και αυτή μεγαλύτερη. Έτσι οι πιέσεις θα είναι ίδιες απλά θα αλλάξει η ακτίνα καμπυλότητας.
Καλημέρα Γιώργο.
?
Δες τι γράφουν οι Halliday-Resnick σε εικόνα του Παντελή εδώ, σε ανάλογη συζήτηση πριν χρόνια…
Καλή Κυριακή συνάδελφοι.
Διάβασα “διαγώνια” τα όσα γράφετε, και η διαίσθησή μου μου λέει ότι στη στροφή τα σημεία που έχουν μικρότερη ακτίνα, δηλ τα εσωτερικά, έχουν μικρότερη ταχύτητα από τα σημεία με μεγαλύτερη ακτίνα. Μιλάμε για σημεία που είναι στη διεύθυνση της ίδιας ακτίνας,π.χ. τα σημεία 4 και 5, όπου θεωρώ ότι υ4<υ5.
Η μνήμη μου με παρέπεμψε στις παρελάσεις που κάναμε στο σχολείο στο τεραιν γηπέδου όπου τρέχουν αθλητές.
Προκειμένου η τετράδα της γραμμής στην παρέλαση να είναι στην ίδια γραμμή μετά τη στροφή, η ταχύτητα του κάθε μαθητή ήταν διαφορετική αναλογικά, με μεγαλύτερη του εξωτερικού μαθητή .
Μάλιστα ο εσωτερικός στη στροφή, βάδιζε σχεδόν “σημειωτόν”.
Πιστεύω να καταλάβατε τι θέλω να πω!
Αν αντιστοιχισουμε την κίνηση των σημείων του υγρού με το παράδειγμα με τους μαθητές στην παρέλαση, νομίζω ότι είναι το ίδιο “φαινόμενο”!!
Έτσι εξασφαλίζεται και η σταθερότητα της παροχής στη στροφή.
Τα τοιχώματα του σωλήνα ασκούν δύναμη στις στοιχειώδεις μάζες μιας ρευματικής γραμμής, έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η κεντρομόλος δύναμη Fk=dm•u^2/R .
Αυτή δεν παράγει έργο αλλά εξασφαλίζει την καμπυλόγραμμη κίνηση.
Η στοιχειώδης μάζα dm του ρευστού δέχεται και δύναμη ακτινική προς τα έξω από μια άλλη στοιχειώδη μάζα της εσωτερικής ρευματικής γραμμής. Έτσι η συνισταμένη αυτών δίνουν την κεντρομόλο στη θέση αυτή.
Με αυτό τον τρόπο έχουμε δραση-αντιδραση από κάθε στοιχειώδη μάζα προς τις γειτονικές της , της ίδιας ακτίνας, ώστε να μπορούν να στρίβουν.
Άρα οι πιέσεις από έξω προς τα μέσα σε σημεία της ίδιας ακτίνας, θα μειώνονται καθώς και οι ταχύτητες.
Ελπίζω να σας έδωσα να καταλάβετε τι θέλω να πω. Γράφω με το κινητό και δεν μπορώ να ς σχήμα.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Μάλλον δεν διάβασες τι ακριβώς έχει γραφτεί.
Γιατί το μοντέλο της παρέλασης ισχύει στα ρευστά;
Υπάρχει κάποιος νόμος που λέει ότι “γραμμή” της παρέλασης ισχύει στα ρευστά;
Μια ακτίνα ενός δίσκου, πράγματι στρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, οπότε τα διάφορα σημεία της έχουν ταχύτητες υ=ωr. Ισχύει στο μηχανικό στερεό.
Ίδια συμπεριφορά έχουν και τα υγρά; Είναι με άλλα λόγια το ιδανικό ρευστό ένα rigid Body;
Γιωργό αυτό δεν το είχα σκεφτεί. Άρα λες ότι η κεντρομόλος οφείλεται στην διαφοροποίηση του σχήματος της ποσότητας νερού, και όχι στην διαφορά πίεσης. Είναι μια σκέψη που δεν είχα κάνει.
Αλλά αν οι πιέσεις είναι παντού οι ίδιες, γιατί “απλώνει η ποσότητα του νερού από την έξω πλευρά; Για να αλλάξει σχήμα δεν πρέπει να της ασκηθούν δυνάμεις λόγω διαφοράς στην πίεση;