by Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R. Είναι κατακόρυφος και από το κέντρο του περνάει ο οριζόντιος άξονας ΟΚ ο οποίος έχει επίσης μήκος R.
Ο άξονας ΟΚ περιστρέφεται αρθρωμένος στο Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, όπως στο σχήμα.
Ο τροχός κυλίεται.
Να υπολογστούν οι ταχύτητες των αντιδιαμετρικών σημείων Α και Β, αν το ΑΒ είναι την στιγμή εκείνη οριζόντιο.
Αντιλαμβάμομαι την κύλιση ως την κατάσταση κατά την οποία η ταχύτητα του σημείου επαφής είναι μηδέν.
Αυτο το υ=0 του σημειου επαφης ειναι πολυ υπουλο σαν υποθεση.Το σημειο αυτο πριν γινει σημειο επαφης ειχε συνιστωσα ταχυτητας που δεν ανηκε στο επιπεδο του τροχου.Σου τα γραφω ετσι διοτι εσυ ειδικα καταλαβαινεις απο Γεωμετρια.Φαντασου το σαν στιγμιαια πλαγια κρουση σωματος με τοιχο οπου η συνιστωσα ταχυτητας που ειναι παραλληλη στον τοιχο δεν μηδενιζεται ποτε.Στην γνωστη μας κυλιση του Λυκειου,το κυκλοειδες ειναι καθετο στην επιφανεια στην οποια συμβαινει η κυλιση οποτε τοτε οντως η ταχύτητα του σημείου επαφής είναι μηδέν.Στην περιπτωση μας η τροχια του σημειου ειναι ενα στρεβλωμενο κυκλοειδες.Αυτα βεβαια ειναι πολυ λεπτα και δυσκολα θεματα αλλα τι να συζηταμε? Ειναι τα παραπλευρα θεματα που οπως εχεις πει μπορει να εχουν ενδιαφερον.Γιαννη αυτο δεν λεγεται κυλιση αν βαλουμε κατω τα μαθηματικα.Εχω γραψει πολλα πανω σε αυτο το θεμα αλλα ειναι καπως βαρια για να τα ανεβασω.
Διονύση και εγώ θα το ονόμαζα έτσι.
Κωνσταντίνε πολυ σωστό αυτό.
Ανήκει σε διαρκώς διαφορετικό επίπεδο.
Το επίπεδο αυτό στρέφεται. Τη στιγμή της επαφής ταυτίζεται με το οριζόντιο.
Καλησπερα σε ολους.Εδω εχουμε δυο γωνιακες ταχυτητες (Στην παρουσα ασκηση).
Μια γωνιακη ταχυτητα οφειλεται στην ιδιοπεριστροφη του τροχου και μια γωνιακη ταχυτητα καθετη στο οριζοντιο επιπεδο.Το αθροισμα τους δεν παραλληλο στο οριζοντιο επιπεδο.. Ομως στον κωνο που κυλιεται,η κυκλικη βαση παλι εχει δυο ω ομως τωρα αν κανει κανεις υπολογισμους(εγω τους εκανα),βρισκει οτι το αθροισμα των δυο γωνιακων ταχυτητων,ειναι παραλληλο στο οριζοντιο επιπεδο .Αυτο θα ονομαζα εγω κυλιση .Αυτο μπορει κανεις να το δει και αν παρατηρησει οτι ο αξονας επαφης του κωνου με το οριζοντιο επιπεδο ειναι στιγμιαιος αξονας περιστροφης και αρα η συνολικη γωνιακη ταχυτητα ω ειναι αναγκαστικα παραλληλη στο οριζοντιο επιπεδο και το μετρο της ικανοποιει τις εξισωσεις:υ=ωhsinα=ωRcosα.η υ=ωr οπου ω ειναι το αθροισμα των δυο γωνιακων ταχυτητων.Δηλαδη υ=ωΧr οπου ω ειναι η συνολικη γωνιακη ταχυτητα,και r ειναι ενα διανυσμα καθετo στο οριζοντιο επιπεδο με μετρο Rcosα.Αυτη ειναι η αναγκαια και ικανη συνθηκη για κυλιση.Αν θεωρησουμε ως συνθηκη για κυλιση την μηδενικη ταχυτητα του σημειου επαφης,τοτε αυτη η συνθηκη δεν ισχυει στην περιπτωση μας.Αυτο για τις περιπτωσεις του σχολικου συμπιπτει με το απλο υ=ωR που γραφουμε συνηθως..Αυτα τα ειχα διαβασει σε ενα βιβλιο engineering του Timoshenko οταν ημουνα φοιτητης.Ψαχνω να τα βρω.αλλα εχω και προσωπικες σημειωσειςΒεβαια αυτα ειναι αρκετα εξεζητημενα και δυσκολα θεματα,για οποιον εχει το ενδιαφερον τον χρονο και την διαθεση και να τα παρακολουθησει.Κατα την γνωμη μου η εννοια της κυλισης πρεπει να χρησιμοποιειται στο επιπεδο του Λυκειου,μονο για σωματα που κινουνται σε ευθεια.Εχουμε ξεφυγει απο το Λυκειακο επιπεδο αλλα δεν πειραζει καθολου συζηταμε στο φορουμ και την αφορμη την εδωσε ο Κυριακοπουλος.Το καφενειο μας οπως εχετε πει. (Ξαναβαζω την εικονα για να μην την ψαχνετε.)
Ακριβως!Εχω αποδειξει οτι αν παρουμε ταχυτητα σημειου επαφης μηδεν καταληγουμε σε ατοπο.Για μενα ειναι απο τα πιο ωραια παραπλευρα θεματα που εχουν προκυψει.Και οπως συνηθως η γεωμετρια θα μας δωσει την λυση…
Οχι Διονύση το εκαστοτε σημειο επαφης δεν εχει μηδενικη ταχυτητα κανεις λαθος.
Και; Αυτό δεν αναιρεί οτι σε αυτά που λες δεν χρησιμοποιεις αφ’ ενός στερεομετρία αφ’ εταίρου προυοθέσεις στις οποίες στηρίζεται η αποδειξη ( μια τουλάχιστον) του θεωρήματος.
Κωνσταντίνε ένας παρατηρητής στο Κ (που διατηρεί τον προσανατολισμό του όμως) βλέπει δύο περιστροφές για τον δίσκο.
Η μία γίνεται περί τον κατακόρυφο άξονα. Το σημείο επαφής Ε βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα και αυτή η κίνηση “δεν του προσδίδει” κάποια ταχύτητα.
Η άλλη περιστροφή περί τον οριζόντιο άξονα του προσδίδει ταχύτητα ίση με ω.R και ανήκει στο επιπεδο του δίσκου. Είναι προς τα αριστερά.
Η ταχύτητα του Ε είναι ίση με υΚ-ω.R.
Αν υΚ=ω.R τότε η ταχύτητα του Ε είναι μηδέν.
Θα δοκιμάσω να φτιάξω στο geogebra την όλη υπόθεση, έτσι ώστε να μετακινούμε ένα σημείο και να βρίσκουμε την ταχύτητά του.
Γιώργο το μόνο από Στερεομετρία που επικαλέστηκα ήταν ότι ηυΑ2 ήταν κατακόρυφη και η υΑ1 οριζόντια, άρα κάθετες μεταξύ τους.
Ναι Γιάννη μαλλον εχεις δικιο.
Πού κάνω λάθος Κωνσταντίνε;
Τι ταχύτητα έχει το σημείο επαφής, του κώνου που έδωσα;
Ας δούμε στο διπλανό σχήμα τι βλέπει ένας παρατηρητής που βρίσκεται ακίνητος στη διεύθυνση του άξονα.
Τι διαφορετικό βλέπει ο παρατηρητής μας, από όταν βλέπει έναν τροχό να κυλίεται;
Αυτό δεν είναι κύλιση;
Το αρχείο geogebra:
Μετακινήστε μόνο το σημείο Α και μόνο προς τα δεξιά.
Διονύση δες το geogebra που έστειλα.
Μηδέν βγαίνει.
Οχι Διονυση δεν κανεις λαθος.Η ταχυτητα του σημειου επαφηε ειναι μηδεν Ειχα στο μυαλο μου μια γεωμετρικη εικονα που δεν ηταν σωστη.Εγω εκανα λαθος.Κατι αλλο ειχα εντοπισει και θα το βαλω στο φορουμ αργοτερα.