by 
Διαθέτουμε ένα στερεό το οποίο αποτελείται από μια ομογενή ράβδο ΟΚ, μήκους l=2m και μάζας m=15kg, και, έναν ομογενή δίσκο μάζας Μ=40kg και ακτίνας R=1m απόλυτα συνδεδεμένο με τη ράβδο, με το άκρο Κ της ράβδου να είναι και το κέντρο του δίσκου. Το στερεό S μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου, ενώ συγκρατείται με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.
i) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το στερεό να περιστραφεί.
α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής.
β) Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού S, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.
ii) Κόβουμε και απομακρύνουμε τον μισό δίσκο, οπότε παίρνουμε το στερεό S1, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.
α) Στηριζόμενοι στον ορισμό της ροπής αδράνειας, να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας Ι1 του στερεού S1, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, εκμεταλλευόμενοι την ροπή αδράνειας του στερεού S.
β) Αν αφήσουμε το στερεό S1 να κινηθεί ξανά, από την θέση που η ράβδος είναι οριζόντια, να υπολογιστούν η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Κ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ι1=1/2 ΜR2 και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας για την ομογενή ράβδο Ι2= ml2/12 και g=10m/s2.
ή
Πολύ έξυπνο αυτό με το μισό.
Με το μισό δεν έχει Στάινερ. Το κέντρο μάζας δεν είναι το Κ.
Πρώτα το ολόκληρο με Στάινερ και μετά το μισό.
πολύ καλή, Διονύση,
το ii. α γίνεται εύκολα έξυπνο ερώτημα Β θέματος
Καλησπέρα Διονύση.
Πολύ καλό θέμα και πολύ καλά δομημένο για να οδηγηθεί κάποιος στη λύση. Αρχικά με το ολόκληρο και έπειτα με το μισό.Αλλωστε πάντα ο σκοπός σου είναι προφανής και κάθε άσκηση σου αποσκοπεί κάπου.
Καλησπέρα παιδιά.
Γιάννη, Βαγγέλη και Χρήστο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα σε όλους, καλησπέρα Διονύση,
Πολύ όμορφη!
Θα είχε ενδιαφέρον να ζητούσες και την επιτάχυνση του ανώτερου σημείου του δίσκου 🙂
Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλό το σπάσιμο, ως παράδειγμα εφαρμογής του ορισμού. Δυστυχώς οι μαθητές δεν διαβάζουν σωστά τους ορισμούς. Βαρέθηκα τα ΣΛ και τα κυκλωμένα στην τύχη θέματα πολλαπλής και είπα να βάλω και κανέναν ορισμό σε τεστ. Ακόμα προσπαθώ να συνέλθω από τα αποτελέσματα και σε καλούς μαθητές. Θα μάθουν κονσέρβα τον τύπο και τέρμα. Τους ζήτησα τον ορισμό ροπής δύναμης ως προς σημείο. 1 στους 20 έγραψε και για διεύθυνση, φορά. Οι περισσότεροι έγραψαν ότι ο μοχλοβραχίονας είναι η απόσταση της δύναμης από το κέντρο μάζας!!!
Εδώ, ο μισός δίσκος δεν είναι προφανές ότι θα έχει τη μισή ροπή αδράνειας, χωρίς τη χρήση του ορισμού.
Να είσαι καλά!
Καλημέρα Διονύση και Ανδρέα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Διονύση, πράγματι μπορούσαν να μπουν και άλλα ερωτήματα, αλλά θα “χάναμε” το στόχο!
Ανδρέα συμφωνώ με τον προβληματισμό σου. Γι΄ αυτό και στην εκφώνηση έδωσα:
“Στηριζόμενοι στον ορισμό της ροπής αδράνειας, να υπολογίσετε…” αφού θεωρώ δεδομένο ότι αν πέσει ένα τέτοιο ερώτημα, οι μαθητές θα άρχιζαν να “παίρνουν τον τύπο…” και να γράφουν εξισώσεις.
Καλημέρα Διονύση. Πολύ ωραία άσκηση! Ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας του μισού δίσκου αν γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας ολόκληρου ως προς έναν άξονα, όλα τα λεφτά.
Νομίζω ότι θα το έκαναν οι μαθητές που καταλαβαίνουν την ουσία του θεωρήματος του Steiner, χωρίς να πάρουν τα συμμετρικά στοιχειώδη τμήματα. Όπως και τη ροπή αδράνειας του μισού ως προς το κέντρο Κ του δίσκου.
Η δυσκολία είναι να βρουν τη θέση του κέντρου μάζας του μισού δίσκου.
Κάτι που θέλει μαθηματικό χειρισμό με ολοκληρώματα!
Εκτός κι αν έχεις κάτι άλλο μαθητικό…
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Πρόδρομε και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Αυτό ακριβώς ήθελα να αποφύγω Πρόδρομε.
Να ξεκινήσει ο μαθητής να ψάχνει το κέντρο μάζας και την ροπή αδράνειας αρχικά ως προς αυτό και στη συνέχεια εφαρμογή Steiner.
Γιατί;
Γιατί σε αυτό έχει προπονηθεί και το κάνει σε κάθε περίπτωση σαν το σκύλο του Παβλόφ…
Όπως έγραψα παραπάνω και στον Ανδρέα, ήθελα να οδηγηθεί στη λύση μέσω του ορισμού και όχι μιας μαθηματικής σχέσης…
Διονύση, καλημέρα.
Πολύ καλή και ειδικά η υποχρεωτική υπόδειξη που δίνεις στον υπολογισμό της ροπής αδράνειας του 2ου στερεού μέσω της σχέσης ορισμού της και της συμμετρίας των δύο περιπτώσεων. Βέβαια με τις γνώσεις των μαθητών δε μπορεί να γίνει αλλιώς ο υπολογισμός. Ο στόχος της ανάρτησης εμφανέστατος και δε χρειαζόταν άλλα ερωτήματα για να τη βαρύνουν.
Καλό μεσημέρι Ντίνο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα Διονύση, μερικές σκέψεις για την όμορφη ιδέα της ανάρτησης
Μπορεί εμείς να “στερηθήκαμε” το στερεό για δύο χρόνια αλλά τα παιδιά,
όπως και κάθε άλλη χρονιά, συναντούν το στερεό για πρώτη φορά…
Και όπως κάθε χρονιά έχουν να λύσουν απορίες στα βασικά….
π.χ γιατί στη μετάβαση από πλάγιο σε οριζόντιο επίπεδο συνεχίζοντας
την κύλιση χωρίς ολίσθηση, η στατική τριβή καταργείται…..
μια και αυτό εξηγούσα πριν λίγο…..
Θέλω να πω, πως δεν χρειάζεται να θυμίζουμε ναυτικούς που έπιασαν
στεριά μετά από δύο χρόνια ταξίδι…. γιατί τελευταία κάποιες αναρτήσεις
αυτό ακριβώς αποπνέουν….και δεν αναφέρομαι στη συγκεκριμένη που κρατάει
το μέτρο και έχει σαφή διδακτικό στόχο….
Τα παιδιά δύσκολα να εμβαθύνουν τόσο πολύ στους ορισμούς σε τόσο μικρό χρονικό διάστημα…..μην το ξεχνάμε αυτό…..
Κάποιες δικές μου σκέψεις….
Ο μισός δίσκος έχει τη μισή μάζα 20Kg και την ίδια ακτίνα
Αν αυτή η μάζα καταλάμβανε την επιφάνεια ολόκληρου δίσκου, θα είχε ροπή αδράνειας 10Kgm^2 σύμφωνα με το γνωστό τύπο ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο -ΚΜ
Αφού έχουμε το μισό δίσκο θα έχουμε τη μισή ροπή αδράνειας 5Kgm^2
Ο δίσκος είναι συμμετρικός ως προς μια διάμετρο και έχει ΚΜ το μέσο της διαμέτρου
Ο μισός δίσκος είναι συμμετρικός ως προς την κάθετη ακτίνα στη ράβδο που διέρχεται από το Κ. Το μέσο αυτής της ακτίνας θα είναι το ΚΜ, ως προς το οποίο η ροπή αδράνειας είναι 5 Kgm^2
Το σημείο αυτό απέχει από το Ο απόσταση d^2=2^2+(0,5)^2=4+0,25=4,25m^2
Εφαρμόζοντας Steiner ως προς το Ο έχουμε Ι=5+20*4,25=5+85=90Kgm^2
Σίγουρα λιγότερο γοητευτικό αλλά μια και το σκέφθηκα είπα να το γράψω…
Καλό απόγευμα
Αυτό με τους ναυτικούς μου άρεσε πολύ.
Άδικο δεν έχεις στο ότι συμβαίνουν αυτά. Και είναι λογικό να συμβαίνουν σε αναρτήσεις.
Ποιος είναι όμως ο ρόλος του Διονύση;
Με απλά υλικά στήνει ένα θέμα καλού γούστου με έκταση όση θέλει. Εν προκειμένω έκταση τετάρτου θέματος. Το θέμα αυτό θα διδάξει τους μαθητές ότι υπάρχουν και σύνθετες σκέψεις. Ότι δεν παίρνουμε Στάινερ διότι έτσι λέει η μεθοδολογία.
Ότι κατανοουμε το θεώρημα που εφαρμόζουμε.
Κυρίως όμως θα διδάξει σε συναδέλφους ότι πρώτον “ουκ εν τω πολλώ το ευ” και δεύτερον οτι η γρανίτα φράουλα δεν ταιριάζει με το σουβλάκι με γύρο.
Βλέπω ασκήσεις του τύπου:
Ράβδος κρέμεται σε δύο ελατήρια και διαρρέεται και από ρεύμα. Βρείτε τη θέση ισορροπίας.
Κόβεται το ρεύμα. Βρείτε το πλάτος της τάλάντωσης;
Την στιγμή ταδε που βρίσκεται και τι ταχύητα θα έχει;
Την επίμαχη στιγμή συγκρούεται ελαστικά με σώμα που έχει πέσει από ύψος δείνα.
Με δεδομενο ότι έχασε το 72% της ενέργειάς της, βρείτε τη μάζα του σώματος.
Μου είναι εύκολο να κατασκευάζω σατιρικές ασκήσεις, όμως δεν είμαι εγώ ο δράστης.
Η κακογουστιά έγινε ανεκτή και δυστυχώς απέκτησε οπαδούς και μεταξύ ημών.
Σε λίγο τέτοιες κατασκευές θα γίνουν μάστ και θα γεμίσουν τα βιβλία, τα φυλλάδια και τις αναρτήσεις. Η ΚΕΕ θα συνεχίσει να χρησιμοποιεί τα τέρατα και διότι είναι μαστ και διότι δεν μπορείς να αντιδράσεις σε θέματα προσιτά στους μαθητές.
Καλησπέρα Θοδωρή, καλησπέρα Γιάννη.
Θα συμφωνήσω με το Γιάννη στο γενικότερο πνεύμα, αλλά Θοδωρή με μπέρδεψες και με τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας…
Το μισό της χιλιάδας είναι πεντακόσια και το μισό του πεντακόσια διακόσια πενήντα ή τρεις το λάδι τρεις το ξύδι 🙂
Ο δίσκος έχει μάζα 40kg, πήρες τον μισό, 20kg, τον άπλωσες και τον έκανες ολόκληρο δίσκο και βρήκες ροπή αδράνειας 10Kgm^2 και μετά πήρες ξανά τον μισό για να βρεις 5 που με Steiner θα προέκυπτε το σωστό αποτέλεσμα, αν το κ.μ. ήταν στο μέσον της ακτίνας!
Πραγματικά δεν βγάζω άκρη με το μισό του μισού, αλλά επίσης δεν καταλαβαίνω γιατί το κέντρο μάζας του ημικυκλικού δίσκου, θα είναι σε απόσταση 0,5m από το Κ. Δεν είναι στο μέσον της ακτίνας του…
Σωστά, Διονύση έχεις δίκιο…
Καλησπέρα Γιάννη