by Ανελαστική Κρούση: Η Μέγιστη Τιμή της Παραγόμενης Θερμότητας
Σώμα συγκρούεται κεντρικά και ανελαστικά με ακίνητο σώμα ίσης μάζας. Κατά την κρούση μέρος της κινητικής ενέργειας K του προσπίπτοντος σώματος μετατρέπεται σε θερμότητα. Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η θερμότητα είναι:
(α) 1/4 K
(β) 1/2 K
(γ) 3/4 K
(δ) K
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και επιχειρηματολογήστε για την επιλογή σας.
Υπόδειξη: Θα πρέπει να ισχύει η ΑΔΕ και η ΑΔΟ. Γράψτε τις εξισώσεις που προκύπτουν από αυτές. Απαλείψτε την ορμή που αποκτά το προσπίπτον σώμα μετά την κρούση. Θα προκύψει μια δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστη την ορμή που απόκτησε το δεύτερο σώμα. Η διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Από αυτή την ανίσωση θα προκύψει η σωστή απάντηση.
Παρατήρηση για τους διδάσκοντες: Επιλέχθηκε η περίπτωση των ίσων μαζών ώστε η μαθηματική επεξεργασία να είναι απλούστερη. Στην περίπτωση των άνισων μαζών η λύση είναι παρόμοια αλλά οι εξισώσεις είναι πιο πολύπλοκες. Το αποτέλεσμα ωστόσο είναι πιο ενδιαφέρον, διότι μπορούμε να διερευνήσουμε περιπτώσεις, όπως τι συμβαίνει όταν η μάζα του ακίνητου σώματος είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του προσπίπτοντος
Γεια σου Ανδρέα.
Δίνω παρακάτω μία λίγο διαφορετική προσέγγιση από την υπόδειξή σου.
Καλησπέρα παιδιά.
Αν η κρούση είναι πλαστική το συσσωμάτωμα αποκτά διπλάσια μάζα και τη μισή ταχύτητα. Δηλαδή τη μισή κινητική ενέργεια, οπότε η άλλη μισή έγινε θερμότητα.
Γιατί όμως η μέγιστη θερμότητα παράγεται στην πλαστική κρούση;
Μπορούμε να το αποδείξουμε χωρίς καμμία σχέση και πράξη;
Μπορούμε, μπορούμε αλλά αφήνεται λίγη ώρα εν είδει κουίζ.
Διοτι ενας παρατηρητης πανω στο κεντρο μαζας βλεπει ολη την κινητικη ενεργεια να γινεται θερμοτητα στην περιπτωση της πλαστικης κρουσης.
Κωνσταντίνε είναι το μόνο που δεν σκέφτηκα. Μου αρέσει.
Καλησπέρα Ανδρέα, Μίλτο,
καλησπέρα σε όλους,
Μια και δεν μας διαβάζουν πλέον μαθητές, να προτείνω κι εγώ μια λύση … “εκτός ύλης”, που αναδεικνύει και τις συνέπειες του … “κόψε – ράψε” και κυρίως “κόψε” στο αναλυτικό πρόγραμμα.
Στο στερεό όταν ήταν … εντός, λέγαμε ότι η κινητική του ενέργεια μπορεί να υπολογιστεί ως άθροισμα της μεταφορικής κινητικής του ενέργειας (λόγω της κίνησης δηλαδή του CM) και της στροφικής του (λόγω της περιστροφής ως προς το CM).
Αυτή η τελευταία, είναι η κινητική ενέργεια λόγω της σχετικής ως προς το CM κίνησης των δομικών λίθων του στερεού.
(Ναι, σχετικής … αυτό που αναφέρουμε στην αρχή των κινήσεων στην Α΄ Λυκείου και μετά το … ξεχνάμε!)
Αυτό ισχύει γενικότερα, σε οποιοδήποτε σύστημα υλικών σημείων.
Η κινητική ενέργεια μπορεί να βρεθεί ως άθροισμα δύο όρων:
α) Της κινητικής ενέργειας του CM του συστήματος, και,
β) της κινητικής ενέργειας λόγω των σχετικών κινήσεων ως προς το CM.
Σε ένα μονωμένο σύστημα όμως δύο συγκκρουομένων σωμάτων, λόγω της ΑΔΟ, η κινητική ενέργεια του CM παραμένει αμετάβλητη.
Αυτή που ενδέχεται να μετατραπεί μερικά ή ολικά σε θερμική, είναι η (β) ανάλογα με την “ελαστικότητα” ή μη των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των συγκρουομένων σωμάτων.
Επομένως η μέγιστη Q εκλύεται όταν η (β) χαθεί όλη.
Όταν δηλαδή οι σχετικές ταχύτητες ως προς το CM μετά την κρούση είναι μηδενικές, τα σώματα μετά την κρούση δεν κινούνται ως ρος το CM, έχει δημιουργηθεί μ’ άλλα λόγια συσσωμάτωμα!
Οπότε:
Κπριν = Κ1 + 0 = ½mυ² = Κ
Kμετά = ½(2m)υκ² = ½(2m)(υ/2)² = ½ Κ
και Qmax = Κπριν – Kμετά = ½ Κ
Πολύ καλό!
Ουσιαστικά υπάρχει συμφωνία και με τον Διονύση παρακάτω.
Γεια σου Διονύση.
Ομορφότατη λύση!
Η δική μου λύση έλεγε ότι όλες οι κρούσεις έχουν ένα κοινό στάδιο. Αυτό της εξίσωσης των ταχυτήτων. Μέχρι αυτό χάνεται η ίδια κινητική ενέργεια.
Το στάδιο όμως αυτό είναι το τελικό στην πλαστική κρούση, Δηλαδή μετά από αυτό δεν έχουμε επιστροφή κινητικής ενέργειας όπως έχουμε στις άλλες κρούσεις.
(Το στάδιο ίσων ταχυτήτων το έχουμε τη στιγμή των μέγιστων παραμορφώσεων.)
Πολύ έξυπνο.
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα Κωνσταντίνε,
Έκανα ανανέωση και είδα τα σχόλιά σας αφού ανέβασα το δικό μου 🙂
Πως δικαιολογεις οτι απο την χρονικη στιγμη εξισωσης των ταχυτητων και μετα,αν η κρουση δεν ειναι πλαστικη θα εχουμε αυξηση της κινητικης ενεργειας του συστηματος?
Καλησπερα Διονύση.
Απόλαυσα τα σχόλιά σας! Ανταλλάχθηκαν φοβερές πάσες!
Το εξηγώ ως εξής Κωνσταντίνε.
Μετά το στάδιο εξίσωσης ταχυτήτων (αν η κρούση δεν είναι πλαστική) υπάρχουν παραμορφώσεις, δηλαδή δυναμική ενέργεια η οποία επιστρέφει, κατά ένα μέρος, σαν κινητική ενέργεια.
Εχω την εντυπωση Γιάννη οτι δεν πρεπει να αναφερθουμε σε παραμορφωσεις και δυναμικες ενεργειες.Η Φυση της ερωτησεως ειναι οτι αν το συστημα των δυο σωματων εχει σταθερη ορμη,τοτε αποδειξτε οτι την χαμηλοτερη κινητικη ενεργεια την εχει οταν οι ταχυτητες ειναι ισες.Θελει επαρκως αφηρημενη απαντηση η οποια δεν μπαινει σε χωραφια αλληλεπιδρασεων.