by 
Συνθέτη κίνηση στερεού (α.α.τ – ομαλή περιστροφική)
Σώμα Σ σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου έχει μάζας Μ1 = 3 kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο πάνω μέρος του σώματος ισορροπεί διπλή τριγωνική βάση με την οποία εμφανίζει τριβές. Ομογενής δίσκος ακτίνας R = 0,2 m μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ με το επίπεδο του κάθετο σε αυτόν χωρίς να αναπτύσσονται τριβές. Ο άξονας είναι στερεωμένος στην επάνω κορυφή της διπλής τριγωνικής βάσης. Το σύστημα τριγωνική βάση – δίσκος έχει συνολική μάζα Μ2 = 1 kg. Στην δεξιά πλευρά του σώματος Σ είναι προσαρτημένο το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερός k = 100 N/m ενώ το δεξί άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σημείο κατακόρυφου τοιχώματος. Αρχικά το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί με το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος (ℓ0). Την χρονική στιγμή t0 = 0 προσδίδουμε με κατάλληλο τρόπο γωνιακή ταχύτητα στον δίσκο μέτρου ω = 5 rad/s και φοράς από τον αναγνώστη προς το επίπεδο του τετραδίου με αποτέλεσμα να εκτελεί ομαλή περιστροφική κίνηση και ταυτόχρονα δίνουμε στιγμιαία ώθηση στο σώμα με αποτέλεσμα να αποκτά ταχύτητα μέτρου υ0 και διεύθυνση ίδια με την διεύθυνση του ελατηρίου. Παρατηρούμε ότι στην διάρκεια της κίνησης του σώματος Σ η τριγωνική βάση δεν ολισθαίνει σε σχέση με αυτό και το ανώτερο σημείο (Α) του δίσκου αποκτά μέγιστο μέτρο ταχύτητας υΑ,max = 2υ0.
Θεωρήστε την αρχική ταχύτητα προς τα θετικά. Δίνεται g = 10 m/s2.
- Να αποδείξετε ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.
- Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συστήματος των σωμάτων από την θέση ισορροπίας του.
- Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος όταν η επιτάχυνση του κατώτερου σημείου (Ε) του δίσκου έχει μέτρο αΕ = 2,5√5 m/s2, η ταχύτητα του συστήματος των σωμάτων είναι θετική και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου αυξάνεται.
- Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σώματος Σ και τριγωνικής βάσης.
Καλημέρα Παύλο.
Πολύ ωραία η σύνθετη κίνηση!
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστώ για το σχόλιο, χαίρομαι που σου αρέσει!
Καλημέρα Παύλο και σε ευχαριστούμε για το ωραίο θέμα. Στο τελευταίο ερώτημα θα έγραφα ΣF = M2 α —> Τστ = -Μ2 ω’^2 x, αποφεύγοντας έτσι να αποδώσω ρόλο δύναμης επαναφοράς στη μη διατηρητική στατική τριβή. Βέβαια υπάρχει δεδικασμένο, αφού έχει ζητηθεί σε εξετάσεις η εύρεση σταθεράς επαναφοράς (2010, 2012) σε σώμα, που ανήκει σε σύστημα που ταλαντώνεται, όμως είναι ένα ερώτημα που κινείται σε γκρίζες ζώνες.
Καλημέρα Αποστόλη. Ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο σου. Έχεις δίκιο θα μπορούσα να αποφύγω την αναφορά στον όρο σταθερά επαναφοράς D2.
Γεια σου Παύλο, παρουσιάζεις μια “ιδιαίτερη” άσκηση με αυξημένη δυσκολία…
Κάποιες σκέψεις, περισσότερο για να γίνει κουβέντα και να ξεκαθαρίσω
και εγώ ορισμένα που με “ταλαιπωρούν”….
Το σύστημα είναι ι) το σώμα Σ ιι) η βάση ιιι) ο δίσκος
Ζητάς να δειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ
Δεν μπορώ να το δεχθώ έτσι…
Ο δίσκος, μέρος του συστήματος, εκτελεί σύνθετη κίνηση, της οποίας
η μία συνιστώσα είναι ομαλή περιστροφική
Άρα δεν μπορεί το σύστημα που περιλαμβάνει τον δίσκο να εκτελεί ΑΑΤ
Μία σκέψη
Το σύστημα σώμα Σ-βάση-δίσκος εκτελεί σύνθετη κίνηση.
Να δείξετε πως η μεταφορική συνιστώσα αυτής είναι αρμονική ταλάντωση
με εξίσωση απομάκρυνσης χ=Αημ(ωt+φο)
Θεωρώ πως ΑΑΤ είναι η κίνηση που εκτελεί το ΚΜ του συστήματος σώμα Σ-βάση-δίσκος
Καλό μήνα σε όλους
Καλό μήνα Θοδωρή και σε ευχαριστώ πολύ για τον σχολιασμό σου. Το κάθε σώμα του συστήματος ξεχωριστά συμμετέχει σε μια μεταφορική κίνηση που είναι α.α.τ.. Ταυτόχρονα ο δίσκος συμμετέχει και σε μια ομαλή περιστροφική κίνηση. Δεν νομίζω να μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το σύστημα εκτελεί συνθέτη κίνηση. Θεωρώ σωστή την σκέψη σου ότι το κέντρο μάζας των 3 σωμάτων εκτελεί α.α.τ, αλλά το σχολικό αναφέρεται σε κέντρο μάζας στερεού σώματος και όχι σε κέντρο μάζας πολλών σωμάτων. Αντί να αναφερθώ σε κέντρο μάζας συστήματος στερεών σωμάτων αναφέρθηκα στο σύστημα των τριών σωμάτων όσον αφορά την μεταφορική κίνηση.
Παύλο είσαι “πυροβόλο”….απαντάς με ταχύτητα “φωτός”….
Διαφωνώ σε αυτό:
“Το κάθε σώμα του συστήματος ξεχωριστά συμμετέχει σε μια μεταφορική κίνηση που είναι α.α.τ..”
Η μεταφορική κίνηση της βάσης οφείλεται στη στατική τριβή, η οποία είναι μη διατηρητική… Άρα δεν είναι ΑΑΤ….. Αυτό ακριβώς εννοεί και ο Αποστόλης με το σχόλιό του…..
Επιπλέον η κίνηση είναι μία για ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.
Όταν γράφεις “να δειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ”
φαίνεται η μία κίνηση να είναι ΑΑΤ….που δεν είναι….
Σε αυτά διαφωνώ, γνωρίζω πως πολλοί συνάδελφοι αποδέχονται τη διατύπωση που χρησιμοποιείς, αλλά πάντα είχα ενδοιασμούς ….
Περιμένω τον Κωνσταντίνο να διαφωνήσει….μαζί μου, αν διαβάζει
Θοδωρή δεν αναφέρθηκα στις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα. Διατύπωσα την σκέψη ότι εφόσον το σύστημα των σωμάτων ή κέντρο μάζας του συστήματος εκτελεί α.α.τ. όσον αναφορά την μεταφορική κίνηση συμπεραίνουμε πως και κάθε σώμα που αποτελεί το σύστημα θα εκτελεί την ίδια κίνηση. Θεωρώ πως το κέντρο μάζας κάθε σώματος εκτελεί α.α.τ. λόγω μεταφορικής κίνησης.
Καταλαβαίνω Παύλο τι εννοείς… γι αυτό έγραψα πως πολλοί συνάδελφοι
αποδέχονται τη διατύπωση…
Η διαφωνία που υπάρχει, είναι πως το είδος της κίνησης του ΚΜ καθορίζεται
από τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα….
Στη δική μου θεώρηση, η ΑΑΤ είναι κίνηση σημείου που οφείλεται αποκλειστικά
σε διατηρητικές δυνάμεις. Όταν δύο σώματα σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με το κάτω δεμένο σε ελατήριο ταλαντώνονται, το σύστημα των δύο εκτελεί ΑΑΤ. Κάθε ένα ξεχωριστά, παρακολουθεί την ΑΑΤ, γι αυτό έχει επιτάχυνση α=-ω^2χ , αλλά το κάθε ένα λόγω στατικής τριβής εκτελεί αρμονική ταλάντωση, δλδ κίνηση που περιγράφεται από τη γνωστή αρμονική εξίσωση, αλλά για κάθε ένα χωριστά, δεν ορίζεται δική του σταθερά επαναφοράς, αφού αυτή συνδέεται αποκλειστικά με ΑΑΤ….
Ο Κωνσταντίνος, ο Βαγγέλης, ο Γιάννης Κυρ (νομίζω) και άλλοι συνάδελφοι διαφωνούν… εκτιμώντας πως για την ΑΑΤ υπάρχει μόνο ο κινηματικός ορισμός του σχολικού…
Να “αντιγράψω” λίγο το Διονύση…
Η ελεύθερη πτώση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
Μια οποιαδήποτε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, είναι ελεύθερη πτώση;
Θα επιμείνω, χωρίς να προσπαθώ να σε πείσω, πως η κίνηση του συστήματος των τριών είναι μία…. δεν θα διάλεγα να την πω ΑΑΤ….
Καλημέρα Παύλο. Μια ερώτηση: την t=0 δίσκος απο ακινησία θα πάρει στροφορμή λογω περιστροφής. Το σύστημα λογω διατήρηση στροφορμής(αρχικά στροφορμή = 0), δεν θα κινηθεί προς τα δεξια αρχικά;
Αντιλαμβάνομαι το σκεπτικό σου και μου άρεσε το παράδειγμα – αντιγραφή. Έχω παρακολουθήσει κάποιες από τις συζητήσεις που έχουν γίνει πάνω στο θέμα αυτό και έχουν μεγάλο ενδιαφέρον. Νομίζω – θεωρώ πως για το σύστημα των σωμάτων – κέντρο μάζας σωμάτων είναι υποχρεωτικό η δύναμη επαναφοράς ως εξωτερική δύναμη να είναι συντηρητική ενώ για κάθε ένα σώμα του συστήματος αυτό δεν αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη.
Γεια σου Γιώργο και σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο. Αρχικά όλα τα σώματα είναι ακίνητα. Ασκούμε κάποια δύναμη στον δίσκο κρατώντας την διπλή βάση και το σώμα ακίνητα μέχρι μέσω της ροπής της δύναμης να αποκτήσει ο δίσκος την γωνιακή ταχύτητα που αναφέρεται στην εκφώνηση και τότε προσδίδουμε μέσω μιας δυναμης που ασκούμε στο σώμα και στην βάση μια δύναμη για μικρό χρονικό διάστημα ώστε να αποκτήσουν τα σώματα αρχική ταχύτητα υ₀.
Νομίζω ότι αυτό θα πρέπει να αναφέρεται στην εκφώνηση.(Τα ευκόλως εννοούμενα… ναι αλλά εδώ χωρίς αυτή την αναφορά προβληματίζει λίγο).
Έχεις δίκιο Γιώργο θα ήταν πιο ξεκάθαρο αλλά αναφέρω στην εκφώνηση πως ο δίσκος αποκτά την γωνιακή ταχύτητα με κατάλληλο τρόπο. Ο τρόπος που σου ανάφερα θεωρώ πως είναι κατάλληλος. Σε ευχαριστώ και πάλι για τον χρόνο σου και τα σχόλια σου.
Ηello Theodore 🙂