by 
Σε μια ταινία περιπέτειας, ο πρωταγωνιστής Hawkeye – δεινός τοξότης – φτάνει μπροστά από τον περιστρεφόμενο ακτινωτό τροχό ενός αεραγωγού και έχει στόχο να περάσει ένα λεπτό βέλος στην άλλη πλευρά. Ο τροχός έχει οκτώ ακτινωτά ευθύγραμμα πτερύγια και κάθε ένα έχει μήκος R = 30cm. Κάθε πτερύγιο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αμελητέου πάχους και πλάτους l = 6cm, με το επίπεδό τους κάθετο στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα κάθετο στο επίπεδό του, με σταθερή συχνότητα f = 2,5Hz. To βέλος μήκους d = 24cm θα πρέπει να κινηθεί παράλληλα με τον άξονα περιστροφής και να διαπεράσει κάθετα το επίπεδο του τροχού, χωρίς να χτυπήσει κάποιο από τα πτερύγια. Η κίνησή του θεωρείται ευθύγραμμη ομαλή.
(α) Υπολογίστε την περίοδο και τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού και σχεδιάστε στο σχήμα τα αντίστοιχα διανύσματα.
(β) Ποιο είναι το ελάχιστο μέτρο υ της ταχύτητας εισόδου, που πρέπει να έχει το βέλος;
(γ) Αν η αρχική απόσταση του βέλους από τον τροχό είναι s = 1,2m και τη στιγμή που εκτοξεύεται έχει απέναντί του πτερύγιο, τι θα συναντήσει φτάνοντας στον τροχό;
(δ) Έχει σημασία, πού θα περάσει οριακά το βέλος, ανάμεσα στον άξονα και την περιφέρεια του τροχού; Αν ναι, πού είναι το καλύτερο σημείο;
Μπράβο Γιώργο!
Τόσο το βρήκα κι εγώ με λίγο διαφορετικό τρόπο.
Το μήκος του τόξου ακτίνας R/2 για γωνία π/4 που αντιστοιχεί στη γωνία δύο διαδοχικών ακτίνων είναι
Δs=(π/4)•R/2=πR/8
Η διάμετρος του βέλους “χωράει ” σε αυτό το τόξο
Ν=Δs:δ=(πR/8):δ=πR/8δ
Έτσι έχουμε Ν θέσεις από τις οποίες θα μπορούσε να περάσει το βέλος με την ταχύτητα 6m/s που βρήκε ο Ανδρέας.
Η πιθανότητα λοιπόν είναι
Ρ=1/Ν=8δ/πR=
=8•1cm/π•30=0.085=8.5%
Έθεσα το πέρασμα του βέλους στο μισό της ακτίνας R/2 γιατί αν πάμε προς το κέντρο, έτσι ώστε το βέλος να εφάπτεται των διαδοχικών ακτίνων, δεν θα είχαμε διέλευση του.
Να είσαι καλά.
Παρ’ όλα αυτά έχω ένα ερώτημα.Αυταθσ πρέπει να ισχύουν αν οι θέσεις είναι “κβαντισμένες”. Εδώ έχουμε συνέχεια στις διάφορες θέσεις που κάνει αυτή τη πιθανότητα πολύ μικρή.
Καταλαβαίνω Γιώργο τι θέλεις να πεις! Για να βγει το βέλος από τον τροχό χωρίς να χτυπήσει, πρέπει να μπει με ταχύτητα 6 m/s στη θέση που εφάπτεται της αριστερής ακτίνας. Σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του τόξου ακτίνας R/2 αν εισχωρήσει στον τροχό, θα χτυπήσει στην επόμενη ακτίνα. Μία είναι η θέση, όλες οι άλλες αποκλείουν την έξοδό του.
Οι θέσεις μή εξόδου είναι άπειρες και βρίσκονται στην περιοχή μήκους
πR/8-δ=10.78cm.
Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να μιλάμε για πιθανότητα, επειδή το πλήθος των δυνατών σημείων εισόδου είναι άπειρες!
Θα μπορούσαμε να μιλάμε για πιθανότητα 8.5% αν οι θέσεις εισόδου είναι “κβαντισμένες”.
Κάτι που δεν μπορεί να γίνει.
Μπράβο για τη σκέψη σου!
Συμφωνώ .Αυτό ακριβώς λέω.Μου κάνει εντύπωση που αρχικά το μυαλό πάει σε “κβαντισμένες” καταστάσεις!!!
Καλησπέρα Πρόδρομε και Γιώργο. Βλέπω νέο προβληματισμό. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα
Η γωνία που έχει στη διάθεσή του το βέλος μειώνεται. Τώρα έχει περιθώριο π/4 – θ, όπου θ η γωνία που σχηματίζει η αριστερή ακτίνα με την εφαπτόμενη στην περιφέρεια του βέλους. Άρα χρειάζεται αυξημένη ελάχιστη ταχύτητα. Αν την έχει δε θα περάσει;
Καλησπέρα Ανδρέα.
α) Αν προσέξεις αναφέρομαι στην ελάχιστη ταχύτητα. Προφανώς αφού θεωρούμε ότι το βέλος έχει διαστάσεις θα έχει αυξημένη ελάχιστη ταχύτητα.
β) Εσύ θεωρείς ότι οπωσδήποτε θα περάσει ξυστά από την ακτίνα. Ο Πρόδρομος λέει για τυχαία βολή σε απόσταση R/2 από το κέντρο, ποιά πιθανότητα έχει να περάσει ξυστά από την ακτίνα ωστε να είναι δυνατόν με την ελάχιστη αναγκαία ταχύτητα να περάσει το βέλος.
Η ενδιαφέρουσα περίπτωση όμως είναι ότι τοσο το δικά μου μυαλό όσο και του Προδρομου (και δεν ξέρω αν και σε άλλους συναδέλφους ) στην αρχή θεώρησε τις θέσεις “κβαντισμένες”.
Καλημέρα Γιώργο.
Το γεγονός ότι σκεφτήκαμε ότι οι θέσεις είναι κβαντισμένες, είναι γιατί το Σύμπαν είναι…κβαντισμένο!
Χαχαχα….
Καλημέρα Πρόδρομε. Μπορεί! Παντως απο μικροι μαθαίνουμε πρώτα τους φυσικούς αριθμούς και κάνουμε πράξεις με αυτούς, μετα μαθαίνουμε. Ομαλές κινήσεις (σταθερή ταχύτητα και επιτάχυνση
Ετσι μοιαζει το μυαλο αυθόρμητα να οδηγειται πρώτα προς τα εκεί.
Γιώργο Χριστόπουλε και συνάδελφοι, έχω σκεφτεί κάτι διαφορετικό για την εύρεση της πιθανότητας να περάσει το βέλος τον τροχό χωρίς να χτυπήσει στην επόμενη ακτίνα.
Η ταχύτητα είναι υ=6m/s όσο την υπολόγισε και ο Ανδρέας. Η σκόπευση γίνεται σε απόσταση R/2=15cm από το κέντρο.
Ας θεωρήσουμε ένα
μέρος κυκλικού δακτυλίου μεταξύ δύο διαδοχικών ακτίνων , με πλάτος μεταξύ R/2-δ/2=15cm-0.5cm=14.5cm και R/2+δ/2=15.5cm που έχει εμβαδό
Ε=(1/8)•{π•15.5^2-π•14.5^2}=30π/8 cm^2
Το εμβαδό Ε1 που αντιστοιχεί σε μέρος αυτού του δακτυλίου που εφάπτεται της αριστερής ακτίνας, γιατί τότε μόνο θα περάσει έχοντας ταχύτητα υ=6m/s, είναι
Ε1=Ε:{[(2π•R/2):8]/δ}=Ε:(8πR/δ)=
=Ε•(δ/8πR) =>
Η πιθανότητα είναι
Ρ=Ε1/Ε=δ/8πR=1/240π=0.001326=>
Ρ=0.1326%
Σκέφτηκα ότι σε οποιαδήποτε θέση της ζώνης εμβαδού Ε-Ε1 και να εισέλθει το βέλος,θα χτυπήσει στην επόμενη ακτίνα.
Μόνο αν εισέλθει στην περιοχή Ε1 μπορεί να βγει.
Πιστεύω ότι δεν έκανά λάθος!
Νομίζω ότι αυτή είναι η πιθανότητα.
Θα ήθελα να το εξετάσουν κι άλλοι συνάδελφοι .
Διόρθωση στις πράξεις
Ε1=Ε:{[(2π•R/2):8]/δ}=Ε:(πR/8δ)=
=Ε•(8δ/πR) =>
Η πιθανότητα είναι
Ρ=Ε1/Ε=8δ/πR=8/30π=0.0848=>
Ρ=8.48%~8.5%
Δηλαδή όσο το είχαμε υπολογίσει εγώ και ο Γιώργος.
Πρόδρομε καλησπέρα. Πιστεύω οτι η παραπάνω ανάλυση αφορα βελος ασήμαντου εμβαδου εγκαρσιας διατομής που σκοπεύει σε κυκλικη περιοχη ακτίνας 0,5cm σε απόσταση R/2 απο το κεντρο. Βεβαια η ελάχιστη ταχύτητα θα πρέπει να αυξηθεί.
Διαφωνώ Γιώργο. Έλαβα υπόψη την ακτίνα της εγκάρσιας διατομής ίση με 0.5cm . Αν το εμβαδό Ε στην περιοχή μεταξύ δύο διαδοχικών ακτίνων σε απόσταση R/2 τη χωρίσουμε σε δύο μέρη Ε1 που εφάπτεται της αριστερής ακτίνας και στην Ε2= Ε-Ε1, τότε αν το βέλος εισέλθει με ταχύτητα υ=6m/s στην περιοχή Ε2, είναι σίγουρο ότι θα χτυπήσει στην επόμενη ακτίνα.
Μόνο αν εισέλθει στην Ε1 με ταχύτητα υ=6m/s μπορεί να βγει χωρίς να χτυπήσει.
Άρα η πιθανότητα είναι Ρ=Ε1/Ε=8,5%
Δεν έχουμε κβαντισμενες καταστάσεις, εκτός κι αν θεωρήσουμε ως κβαντισμένες για το ερώτημα που έθεσα, τις Ε1 και Ε2.
Νομίζω ότι είναι σωστός ο συλλογισμός μου.
Λες :Μόνο αν εισέλθει στην περιοχή Ε1 μπορεί να βγει.
Αυτό σημαίνει μια μόνο συγκεκριμένη θεση. (ξαναπέφτουμε στην “κβαντισμένη” περίπτωση). Ελαχιστα πιο δεξια είναι μια άλλη θέση που δεν κάνει. Τέτοιες περιπτώσεις έχουμε άπειρες.
Πιστεύω για να έχουμε 8,5/100 πρέπει να συμβαίνει αυτό που σου προανέφερα (με το βέλος ασήμαντου εμβαδο διατομής).