Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, έχουν προσδεθεί δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m₁=3kg και m₂=1kg, οι οποίες αντιμετωπίζονται ως υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, δημιουργώντας ένα στερεό S. Στηρίζουμε τη ράβδο στο σημείο Ο, με αποτέλεσμα το στερεό να ισορροπεί με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι (ΑΟ=x=d/4. Ποιο σημείο είναι το κέντρο μάζας του στερεού S;

Αφαιρούμε τις δυο σφαίρες από την ράβδο και τις συνδέουμε στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=88cm. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, οπότε κάθε σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ=π/2 s, γύρω από το κέντρο μάζας Κ του συστήματος των δύο σφαιρών, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη).

ii) Να υπολογιστούν οι ακτίνες των δύο κυκλικών τροχιών, που διαγράφουν οι δυο σφαίρες.

iii) Πόση ενέργεια  απαιτήθηκε για να τεθεί το παραπάνω σύστημα σε περιστροφή;

iv) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών.

v) Ποια η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών, ως προς το κοινό κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, που διαγράφουν.