by 
Από την 17η Ολυμπιάδα Μαθηματικών δημόσιων σχολείων στη Βραζιλία:
Έστω ότι και οι δύο προτάσεις που ακολουθούν είναι αληθείς:
- Ο Πινόκιο πάντοτε ψεύδεται.
- Ο Πινόκιο λέει, «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα».
Από τις παραπάνω δύο προτάσεις μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Α) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Β) Ο Πινόκιο έχει μόνο ένα πράσινο καπέλο.
Γ) Ο Πινόκιο δεν έχει καπέλα.
Δ) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον πράσινο καπέλο.
Ε) Ο Πινόκιο δεν έχει πράσινα καπέλα.
Ποια πρόταση επιλέγετε;
Καλημέρα Γιώργο.
Αυτό έκανα και εγώ όταν χθες πρωτοείδα το πρόβλημα.
Αντικατάστησα το “διά κάθε” με το υπάρχει και βρήκα τη λύση.
Γράφω σε προηγούμενο σχόλιο:
Είναι σχετικά απλό το να βρούμε μία σωστή λύση.
Αφού ο Πινόκιο ψεύδεται η λύση πρέπει να είναι η άρνηση της πρότασης «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα», ή έστω πρόταση που απορρέει από την άρνηση.
Πως φτιάχνουμε την άρνηση μιας πρότασης;
Βάζουμε εκεί που λέει «Υπάρχει» το «Διά κάθε» και όπου λέει «Διά κάθε» το «Υπάρχει». Προσθέτουμε έπειτα το «δεν» ή το «Μη».
Έτσι η άρνηση της πρότασης «Κάθε καπέλο μου είναι πράσινο» είναι η «Υπάρχει καπέλο μου μη πράσινο».
Αφού υπάρχει μη πράσινο καπέλο καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Η Α πρόταση είναι απόρροια της άρνησης της πρότασης που εκφέρει ο Πινόκιο. Η άρνηση είναι αληθής αφού ο Πινόκιο λέει πάντα λανθασμένες προτάσεις. Η πρόταση Α είναι σωστή ως απορρέουσα από αληθή.
Τελείωσα λοιπόν σε δευτερόλεπτα. Όμως αμέσως μετά κατάλαβα ότι αγνοούσα την “κενή αλήθεια”. Αν δεν υπήρχε η Γ και το “παράδοξο” που τη συνοδεύει δεν θα έκανα την ανάρτηση.
Πολλές φορές αναρτούμε μια άσκηση με δύο λύσεις. Μία απλή και προφανώς ορθή και μία άλλη που διαφωνεί. Καλούμε δε να βρεθεί το λάθος της δεύτερης. Ας πούμε το πρόβλημα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα.
Ξέρουμε ότι θα την προλάβει, όμως καλούμαστε να βρούμε το λάθος του συλλογισμού που παρέθεσε ο Ζήνων.
Δηλαδή έστω ότι ο Πινόκιο δεν είχε καπέλα και ήθελε να πει:
-Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα.
Θα μπορούσε να το πει αυτό με δεδομένο ότι είναι υποχρεωμένος να λέει ψευδείς προτάσεις;
Όχι διότι η πρόταση είναι αληθής. Όταν δεν έχεις καπέλα, όλα τα καπέλα σου είναι πράσινα. Όταν δεν έχεις κόρες, όλες οι κόρες σου είναι ξανθές.
Αυτό λέγεται “κενή αλήθεια”. Η απόδειξη του αληθούς της είναι πολύ απλή.
Καλημέρα σε όλους. Γιάννη από χθες το κοιτάω και το ξανακοιτάω. Αγνοούσα τα περί των εν κενώ αληθών προτάσεων. Πολύ ενδιαφέρον. Έψαξα στο διαδίκτυο κάτι στα ελληνικά, αλλά δεν βρήκα τίποτα. Από τα βίντεο στο youtube ξεχώρισα αυτό, που είναι γρήγορο και χιουμοριστικό.
Ωραίο το quiz , καλύτερη ακόμα η συζήτηση.
Είναι σίγουρα ερώτηση μαθηματικών, οι φυσικοί θα πρόσθεταν και την επιλογή Ζ. Ο Πινόκιο δεν υπάρχει (ξύλινο αγόρι που όταν λέει ψέματα, μεγαλώνει η μύτη του.. έλα τώρα).
Θα είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον να υπήρχε ένα μάθημα λογικής στην εκπαίδευση, οι μελλοντικοί πολίτες το έχουν ανάγκη , το θέμα είναι αν υπάρχει ή υπάρξει στο μέλλον κυβέρνηση (ακόμα και σε παγκόσμιο επίπεδο) που θα το τολμούσε..
Καλή συνέχεια.
Ωραίο το βίντεο Αποστόλη.
Ούτε εγώ που είχα; διδαχθεί τμήματα της Μαθηματικής Λογικής γνώριζα τα της κενής αλήθειας, πόσο μάλλον εσύ που είσαι νεότερος.
Κώστα σαν μαθητής διδάχτηκα Λογική στην Στ΄ Γυμνασίου.
Η φιλόλογος που το δίδασκε απορούσε πως εμείς του Πρακτικού βρίσκαμε τόσο γρήγορα και τυποποιημένα τις απαντήσεις. Ήταν διότι μαζί με τη θεωρία συνόλων κάναμε και στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. Επίσης η Γεωμετρία περιέχει στοιχεία Προτασιακού Λογισμού.
Θα συμφωνήσω πως η καταπολέμηση του ανορθολογισμού υποβοηθείται και από διδασκαλία Λογικής πέραν της παρεχόμενης καλλιέργειας στις θετικές επιστήμες.
Καλημέρα Γιάννη.
Συμφωνώ με τη φράση σου «Η μηχανική αντιμετώπιση προβλημάτων απομακρύνει από την κατανόηση.»
Ούτε εγώ ήξερα τα της “κενής αλήθειας” είναι τελικά πολύ αυστηρή αρχή μαθηματικά.
Ούτε την διαδικασία του προτασιακού λογισμού που χρησιμοποίησε ο Θρασύβουλος –καλημέρα Θρασύβουλε- ήξερα.
Πριν δω την σωστή απάντηση κατέληγα ….στο πουθενά.
Γεια σου Άρη.
Ο Θρασύβουλος χρησιμοποιεί τη μέθοδο του πίνακα αληθείας.
Θέλεις π.χ. να αποδείξεις μια λογική πρόταση.
Ή το κάνεις θεωρητικά (παίζοντας με θεωρία συνόλων περίπου) ή το κάνεις με πίνακα αληθείας, ή το κάνεις (σε κάποιες περιπτώσεις) με Άλγεβρα Μπουλ ή πίνακες Καρνώ.
Αυτό λεω και εγώ, Με τη φράση οχι όλα αν θεωρήσουμε κανένα τότ το επόμενο οχι πράσινα συμπεραίνει (λόγω αρνηση της άρνησης = κατάφαση)
όλα πράσινα . Αυτό ενοούσα από την πρώτη μου παρέμβαση.
Ναι κατάλαβα πως έλυσες το πρόβλημα.
Η κενή αλήθεια με εντυπωσίασε στον γρίφο.
Μην συγχέουμε την καθημερινότητα με τον προτασιακό λογισμό.
Για παράδειγμα ένας που ξέρουμε ότι δεν έχει αυτοκίνητο λέει:
-Όλα τα αυτοκίνητά μου είναι Λαμποργκίνι.
(Από το βίντεο που έστειλε ο Αποστόλης).
Τον χαρακτηρίζουμε τερατολόγο και καλά κάνουμε.
Όμως η πρότασή του είναι αληθής!!!!
(Η απόδειξη περί αληθείας, πολύ εύκολη)
Επίσης να προσέξουμε πως μια αλλαγή λέξεων προκαλεί μεγάλες αλλαγές στην πρόταση.
Αν π.χ. πω ότι έχω αυτοκίνητα και είναι όλα Λαμποργκίνι, τότε πρόφερα μια ψευδή πρόταση
Αν όμως πω:
-Όλα τα αυτοκίνητά μου είναι Λαμποργκίνι.
πρόφερα μια αληθή πρόταση, άσχετα με αν είμαι τερατολόγος ή όχι.